Merhaba sevgili öğrencim! Gönderdiğin görseldeki alıştırmaları senin için adım adım, kolayca anlayacağın bir dille çözeceğim. Hazırsan başlayalım!
1. Soru: Aşağıdaki üçgenlerin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Bu soruyu çözmek için aklımızda tutmamız gereken çok basit bir kural var: Bir üçgende, küçük açının karşısında kısa kenar, büyük açının karşısında ise uzun kenar bulunur. Yani açıları sıraladığımızda, kenarları da sıralamış oluruz!
a)
Adım 1: Verilmeyen açıyı bulalım.
Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180°‘dir, bunu unutmayalım. ABC üçgeninde A ve C açılarını biliyoruz. Haydi B açısını bulalım:
m(A) = 95°
m(C) = 12°
m(A) + m(C) = 95° + 12° = 107°
m(B) = 180° – 107° = 73°
Adım 2: Açıları küçükten büyüğe sıralayalım.
m(C) < m(B) < m(A)
12° < 73° < 95°
Adım 3: Kenarları sıralayalım.
Şimdi kuralımızı uygulayalım. Açıların karşısındaki kenarları aynı sıraya koyacağız:
- En küçük açı olan C açısının karşısında |AB| kenarı var.
- Ortanca açı olan B açısının karşısında |AC| kenarı var.
- En büyük açı olan A açısının karşısında |BC| kenarı var.
Sonuç: |AB| < |AC| < |BC|
b)
Adım 1: Verilmeyen açıyı bulalım.
Yine aynı şekilde, üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğu için F açısını bulalım:
m(D) = 74°
m(E) = 46°
m(D) + m(E) = 74° + 46° = 120°
m(F) = 180° – 120° = 60°
Adım 2: Açıları küçükten büyüğe sıralayalım.
m(E) < m(F) < m(D)
46° < 60° < 74°
Adım 3: Kenarları sıralayalım.
Açıların karşısındaki kenarları sırayla yazalım:
- E açısının karşısında |DF| kenarı var.
- F açısının karşısında |DE| kenarı var.
- D açısının karşısında |EF| kenarı var.
Sonuç: |DF| < |DE| < |EF|
c)
Adım 1: Verilmeyen açıyı bulalım.
GHI üçgeninde H köşesindeki kare sembolü, o açının 90° (dik açı) olduğu anlamına gelir. Şimdi G açısını bulabiliriz:
m(H) = 90°
m(I) = 24°
m(H) + m(I) = 90° + 24° = 114°
m(G) = 180° – 114° = 66°
Adım 2: Açıları küçükten büyüğe sıralayalım.
m(I) < m(G) < m(H)
24° < 66° < 90°
Adım 3: Kenarları sıralayalım.
Açıların karşısındaki kenarları sırayla yazalım:
- I açısının karşısında |GH| kenarı var.
- G açısının karşısında |IH| kenarı var.
- H açısının (dik açı) karşısında |IG| kenarı var. (Bu kenara hipotenüs diyoruz ve her zaman en uzun kenardır!)
Sonuç: |GH| < |IH| < |IG|
2. Soru: Aşağıdaki üçgenlerin kenar uzunluklarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız.
Bu sefer de aynı kuralı kullanacağız ama sıralamayı büyükten küçüğe doğru yapacağız. Yani en büyük açının karşısındaki kenar en uzundur diyerek başlayacağız.
a)
Adım 1: Verilmeyen açıyı bulalım.
GHI üçgeninde G açısı 90° olarak verilmiş. I açısını bulalım:
m(G) = 90°
m(H) = 15°
m(G) + m(H) = 90° + 15° = 105°
m(I) = 180° – 105° = 75°
Adım 2: Açıları büyükten küçüğe sıralayalım.
m(G) > m(I) > m(H)
90° > 75° > 15°
Adım 3: Kenarları sıralayalım.
- En büyük açı olan G açısının karşısında |IH| kenarı var.
- Ortanca açı olan I açısının karşısında |GH| kenarı var.
- En küçük açı olan H açısının karşısında |GI| kenarı var.
Sonuç: |IH| > |GH| > |GI|
b)
Adım 1: Verilmeyen açıları bulalım.
Bu üçgende |DF| ve |EF| kenarlarında tek çizgi işareti var. Bu, bu iki kenarın birbirine eşit olduğu anlamına gelir. Yani bu bir ikizkenar üçgendir.
İkizkenar üçgenlerin kuralı şudur: Eşit kenarları gören açılar da birbirine eşittir. Yani m(D) = m(E).
Önce bu iki açının toplamını bulalım: 180° – 74° (F açısı) = 106°
Bu 106 derece, D ve E açılarının toplamı. İkisi de eşit olduğuna göre 2’ye bölelim: 106° / 2 = 53°. Demek ki m(D) = 53° ve m(E) = 53°.
Adım 2: Açıları büyükten küçüğe sıralayalım.
m(F) > m(D) = m(E)
74° > 53° = 53°
Adım 3: Kenarları sıralayalım.
- En büyük açı olan F açısının karşısında |DE| kenarı var.
- Eşit olan D ve E açılarının karşısında ise |EF| ve |DF| kenarları var. Bu kenarlar da birbirine eşittir.
Sonuç: |DE| > |EF| = |DF|
c)
Adım 1: Verilmeyen açıyı bulalım.
m(A) = 112°
m(B) = 24°
m(A) + m(B) = 112° + 24° = 136°
m(C) = 180° – 136° = 44°
Adım 2: Açıları büyükten küçüğe sıralayalım.
m(A) > m(C) > m(B)
112° > 44° > 24°
Adım 3: Kenarları sıralayalım.
- En büyük açı olan A açısının karşısında |BC| kenarı var.
- Ortanca açı olan C açısının karşısında |AB| kenarı var.
- En küçük açı olan B açısının karşısında |AC| kenarı var.
Sonuç: |BC| > |AB| > |AC|
3. Soru: Yandaki şekli oluşturan her bir doğru parçasının uzunluğu santimetre cinsinden bir doğal sayıdır. Buna göre |AB| + |AD|’nun alabileceği en büyük değer kaçtır?
Bu soruda “üçgen eşitsizliği” dediğimiz çok önemli bir kuralı kullanacağız. Kural şöyle der:
Bir üçgende herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır. Aynı zamanda herhangi iki kenarın farkının mutlak değeri de üçüncü kenardan küçük olmalıdır.
Kısaca: (Fark) < Kenar < (Toplam)
Şekilde iki tane üçgen var: ADC üçgeni ve ABD üçgeni. İkisi için de bu kuralı uygulayacağız.
Adım 1: ADC üçgeni için |AD|’nin alabileceği değerleri bulalım.
Kenarlar: |AC|=7, |CD|=8 ve |AD|.
Kuralımızı uygulayalım: |8 – 7| < |AD| < 8 + 7
1 < |AD| < 15
Soru bize kenar uzunluklarının doğal sayı olduğunu söylüyor. Bu durumda |AD|’nin alabileceği en küçük değer 2, en büyük değer ise 14’tür. Bizden toplamın en büyük değerini istediği için, |AD|’yi olabildiğince büyük seçmeliyiz. O zaman |AD| en fazla 14 cm olabilir.
Adım 2: ABD üçgeni için |AB|’nin alabileceği en büyük değeri bulalım.
Artık |AD|’nin en büyük değerini 14 olarak biliyoruz. Bu değeri kullanarak ABD üçgeni için eşitsizliği yazalım.
Kenarlar: |AD|=14, |DB|=4 ve |AB|.
Kuralımızı uygulayalım: |14 – 4| < |AB| < 14 + 4
10 < |AB| < 18
Bu aralıkta |AB|’nin alabileceği en büyük doğal sayı değeri 17‘dir.
Adım 3: En büyük değerleri toplayalım.
|AB| + |AD| toplamının en büyük değerini bulmak için her iki kenarın da bulduğumuz en büyük değerlerini kullanırız.
|AD|’nin en büyük değeri = 14
|AB|’nin en büyük değeri = 17
En büyük toplam = 14 + 17 = 31
Sonuç: |AB| + |AD|’nun alabileceği en büyük değer 31‘dir.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Takıldığın bir yer olursa çekinme, tekrar sorabilirsin. Başarılar dilerim!