Merhaba sevgili öğrencim, matematik dersimize hoş geldin! Gönderdiğin görseldeki geometri soruları, üçgenlerde eşlik ve benzerlik konularını ne kadar iyi anladığını pekiştirmek için harika bir fırsat. Ben de 8. Sınıf Matematik Öğretmenin olarak bu soruları sana adım adım, en anlaşılır şekilde çözeceğim. Hazırsan başlayalım!
Soru 3: Yukarıda verilen KLM ve PRS ile ilgili KLM ≅ PRS olduğu bilinmektedir. Buna göre PRS’nin verilmeyen kenar uzunluklarını ve açı ölçülerini bulunuz.
Bu soruda bize iki üçgenin eş olduğu söyleniyor. Eş üçgenler, hem açıları hem de kenar uzunlukları birebir aynı olan, adeta birbirinin kopyası olan üçgenlerdir. KLM ≅ PRS yazımındaki harf sırası çok önemlidir, çünkü hangi köşenin hangisiyle eşleştiğini bize söyler.
Çözüm:
Adım 1: Eşleşen Köşeleri Belirleyelim
KLM ≅ PRS ifadesine göre eşleşme şöyledir:
- K köşesi ↔ P köşesi
- L köşesi ↔ R köşesi
- M köşesi ↔ S köşesi
Bu eşleşme sayesinde hangi açıların ve hangi kenarların birbirine eşit olduğunu kolayca bulabiliriz.
Adım 2: KLM Üçgenindeki Eksik Açıyı Bulalım
Biliyorsun ki bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180°’dir. KLM üçgeninde M ve L açılarını biliyoruz. K açısını bulalım:
m(M) = 50°
m(L) = 70°
m(K) = 180° – (50° + 70°) = 180° – 120° = 60°
Adım 3: PRS Üçgeninin Açılarını Bulalım
Şimdi Adım 1’deki eşleşmeyi kullanarak PRS üçgeninin açılarını yazabiliriz:
- m(P) = m(K) = 60°
- m(R) = m(L) = 70°
- m(S) = m(M) = 50°
Adım 4: PRS Üçgeninin Kenar Uzunluklarını Bulalım
Yine aynı eşleşmeyi kullanarak kenar uzunluklarını bulalım:
- |PR| kenarı, |KL| kenarına eştir. |KL| = 3 cm ise |PR| = 3 cm‘dir.
- |RS| kenarı, |LM| kenarına eştir. |LM| = 7 cm ise |RS| = 7 cm‘dir.
- |PS| kenarı, |KM| kenarına eştir. |KM| = 8 cm ise |PS| = 8 cm‘dir.
Sonuç:
PRS üçgeninin verilmeyen ölçüleri şunlardır:
Açılar: m(P) = 60°, m(R) = 70°, m(S) = 50°
Kenarlar: |PR| = 3 cm, |RS| = 7 cm, |PS| = 8 cm
Soru 4: ABC ≅ KNT olduğuna göre |KT| + |AB| kaç santimetredir?
Yine bir eşlik sorusu! Eşlik varsa, karşılıklı kenarların uzunlukları birbirine eşittir. Haydi bu bilgiyi kullanarak soruyu çözelim.
Çözüm:
Adım 1: Eşleşen Kenarları Belirleyelim
ABC ≅ KNT eşliğine göre kenar eşleşmeleri şöyledir:
- |AB| = |KN|
- |BC| = |NT|
- |AC| = |KT|
Adım 2: |KT| Uzunluğunu Bulalım
Yukarıdaki eşleşmeye göre |AC| kenarı |KT| kenarına eşittir. Soruda bize |AC| = 7 cm olarak verilmiş. O zaman:
|KT| = |AC| = 7 cm
Adım 3: |AB| Uzunluğunu Bulalım
Şimdi de |AB| kenarını bulmamız gerekiyor. Bunun için ABC üçgeninin açılarına bakalım. A açısı 40°, C açısı 70°. Üçüncü açı olan B açısını bulalım:
m(B) = 180° – (40° + 70°) = 180° – 110° = 70°
Gördüğün gibi, ABC üçgeninde hem B açısı hem de C açısı 70°. Bir üçgende iki açı eşitse bu üçgen ikizkenar üçgendir. İkizkenar üçgenlerde eşit açıların karşısındaki kenarların uzunlukları da birbirine eşittir.
- 70° olan C açısının karşısındaki kenar: |AB|
- 70° olan B açısının karşısındaki kenar: |AC|
Bu durumda |AB| = |AC| olur. |AC| = 7 cm olduğuna göre, |AB| = 7 cm‘dir.
Adım 4: Toplama İşlemini Yapalım
Soru bizden |KT| + |AB| toplamını istiyordu. İkisini de 7 cm bulduk.
|KT| + |AB| = 7 cm + 7 cm = 14 cm
Sonuç:
|KT| + |AB| toplamı 14 santimetredir.
Soru 5: Yandaki şekilde ABC ~ AED, |AD|=4 cm, |AE|=6 cm, |ED|=8 cm ve |AD|=|DC| olduğuna göre ABC üçgeninin çevresi kaç santimetredir?
Bu soruda ise benzerlik var. Benzer üçgenlerin açıları aynıdır ama kenar uzunlukları orantılıdır. Bu orana “benzerlik oranı” diyoruz.
Çözüm:
Adım 1: Benzerlik Oranını Yazalım
ABC ~ AED benzerliğine göre kenarlar arasındaki oran şöyledir:
|AB|⁄|AE| = |BC|⁄|ED| = |AC|⁄|AD| = k (benzerlik oranı)
Adım 2: Bilinen Kenarları Kullanarak Benzerlik Oranını (k) Bulalım
Oranı bulabilmek için hem paydaki hem de paydadaki kenar uzunluğunu bildiğimiz bir kesir bulmalıyız. |AC| ve |AD| kenarlarına bakalım.
- |AD| = 4 cm (soruda verilmiş)
- |AC| kenarı, |AD| ve |DC|’nin toplamıdır. Soruda |AD| = |DC| olduğu söyleniyor. Yani |DC| de 4 cm’dir.
- |AC| = |AD| + |DC| = 4 cm + 4 cm = 8 cm
Şimdi benzerlik oranını hesaplayabiliriz:
k = |AC|⁄|AD| = 8⁄4 = 2
Bu, ABC üçgeninin kenarlarının, AED üçgeninin kenarlarının 2 katı olduğu anlamına gelir.
Adım 3: ABC Üçgeninin Diğer Kenarlarını Bulalım
Benzerlik oranını (k=2) kullanarak |AB| ve |BC| kenarlarını bulalım:
- |AB|⁄|AE| = 2 =>|AB|⁄6 = 2 =>|AB| = 12 cm
- |BC|⁄|ED| = 2 =>|BC|⁄8 = 2 =>|BC| = 16 cm
Adım 4: ABC Üçgeninin Çevresini Hesaplayalım
Artık ABC üçgeninin tüm kenar uzunluklarını biliyoruz: |AB|=12 cm, |BC|=16 cm, |AC|=8 cm. Çevre, bu üç kenarın toplamıdır.
Çevre(ABC) = |AB| + |BC| + |AC| = 12 + 16 + 8 = 36 cm
Sonuç:
ABC üçgeninin çevresi 36 santimetredir.
Soru 6: Yandaki şekilde CDE ~ CAB olduğuna göre benzerlik oranı kaçtır?
Harika gidiyorsun, bu son soru da benzerlikle ilgili. Benzerlik oranı, benzer iki üçgenin karşılıklı kenarlarının uzunluklarının birbirine bölünmesiyle bulunur. Unutma, soruda verilen harf sırası çok önemli!
Çözüm:
Adım 1: Benzerlik İfadesini İnceleyelim
Bize CDE ~ CAB denilmiş. Bu, CDE üçgeninin kenarlarının CAB üçgeninin kenarlarına oranını bulmamız gerektiği anlamına gelir. Benzerlik oranını (k) şöyle yazabiliriz:
k = |CD|⁄|CA| = |DE|⁄|AB| = |CE|⁄|CB|
Adım 2: Uzunluklarını Bildiğimiz Karşılıklı Kenarları Bulalım
Oranı hesaplamak için bu kesirlerden birini kullanmamız yeterli. Şekle bakalım:
- |CD| kenarının uzunluğu 8 cm olarak verilmiş.
- |CA| kenarı, |CD| ve |DA|’nın toplamıdır. |CD|=8 cm ve |DA|=4 cm olduğuna göre |CA| = 8 + 4 = 12 cm‘dir.
İşte bulduk! Hem |CD|’yi hem de onun karşılığı olan |CA|’yı biliyoruz.
Adım 3: Benzerlik Oranını Hesaplayalım
Şimdi bu iki uzunluğu birbirine oranlayalım. Unutma, sıra önemli: CDE’nin kenarı üste, CAB’nin kenarı alta yazılacak.
k = |CD|⁄|CA| = 8⁄12
Bu kesri en sade haline getirelim. Hem 8 hem de 12, 4’e bölünebilir.
k = 8 ÷ 4⁄12 ÷ 4 = 2⁄3
Sonuç:
CDE ve CAB üçgenleri arasındaki benzerlik oranı 2/3‘tür.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Bu konuları bol bol soru çözerek çok daha iyi pekiştirebilirsin. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin. Başarılar dilerim!