Harika bir test! Hadi bu soruları birlikte, adım adım ve tane tane çözelim. Unutma, matematikte her sorunun bir mantığı vardır ve o mantığı yakaladığımızda gerisi çorap söküğü gibi gelir. Hazırsan başlayalım!
7. Soru: Yarıçapları verilen dairesel pistler K noktasında yukarıdaki gibi kesişmektedir. Süratleri eşit ve 10 m/sn olan iki bisikletli K noktasından hareket ederek dairesel pistlerde belirtilen yönlerde tur atmaya başlıyor. Buna göre en az kaç dakika sonra K noktasından aynı anda geçerler? (π = 3 alınız.)
Merhaba sevgili öğrencim, bu soru aslında bir EKOK (En Küçük Ortak Kat) problemi. “Aynı anda”, “tekrar birlikte” gibi ifadeler gördüğümüzde aklımıza hemen EKOK gelmeli. Hadi çözelim!
Adım 1: Pistlerin Çevrelerini Bulalım
Öncelikle bisikletlilerin bir tam turda ne kadar yol aldıklarını, yani pistlerin çevrelerini hesaplamalıyız. Dairenin çevre formülü neydi? Çevre = 2 . π . r
- Büyük Pistin Çevresi: Yarıçapı (r) 80 metre.
Çevre = 2 . 3 . 80 = 480 metre. - Küçük Pistin Çevresi: Yarıçapı (r) 50 metre.
Çevre = 2 . 3 . 50 = 300 metre.
Adım 2: Bir Turu Kaç Saniyede Tamamladıklarını Bulalım
Soruda bize bisikletlilerin süratinin 10 m/sn olduğu verilmiş. Zamanı bulmak için yolu (çevreyi) sürate böleriz. Zaman = Yol / Sürat
- Büyük Pistteki Bisikletli: 480 m / 10 m/sn = 48 saniye.
Yani bu bisikletli her 48 saniyede bir K noktasına geri dönüyor. - Küçük Pistteki Bisikletli: 300 m / 10 m/sn = 30 saniye.
Bu bisikletli de her 30 saniyede bir K noktasına geri dönüyor.
Adım 3: Tekrar Ne Zaman Karşılaşacaklarını Bulalım (EKOK Zamanı!)
Biri 48’in katları olan saniyelerde (48, 96, 144…), diğeri ise 30’un katları olan saniyelerde (30, 60, 90…) K noktasında oluyor. İkisinin aynı anda K noktasında olması için hem 48’in hem de 30’un ortak bir katını bulmalıyız. Soru bizden “en az” dediği için En Küçük Ortak Katı (EKOK) bulacağız.
EKOK(48, 30) = ?
48 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 = 2⁴ . 3
30 = 2 . 3 . 5
EKOK’u bulurken ortak olan asal çarpanlardan üssü büyük olanı ve ortak olmayanları alırız:
EKOK(48, 30) = 2⁴ . 3 . 5 = 16 . 3 . 5 = 240 saniye.
Adım 4: Sonucu Dakikaya Çevirelim
Sorunun sonunda bizden cevabı dakika olarak istediğini unutmayalım! 240 saniyeyi dakikaya çevirmek için 60’a böleriz.
240 / 60 = 4 dakika.
Sonuç: Bisikletliler en az 4 dakika sonra K noktasından aynı anda geçerler. Doğru cevap D şıkkı.
8. Soru: Aşağıdaki eşitliklerden hangisi yanlıştır?
Bu soruda sayıları 10’un kuvvetleriyle farklı şekillerde yazmayı ne kadar iyi bildiğimizi test edeceğiz. Kuralımız basit: Virgülü sağa kaydırdıkça 10’un üssü azalır, sola kaydırdıkça 10’un üssü artar. Hadi şıkları tek tek inceleyelim.
A) 3 500 000 = 0,35 . 10⁷
Sağdaki 0,35 sayısını virgülden kurtaralım. Virgülü 2 basamak sağa kaydırırsak sayı 35 olur. Sayıyı büyüttüğümüz için üssü 2 azaltmalıyız: 35 . 10⁵.
Soldaki 3 500 000 sayısını da aynı şekilde yazalım: 35 . 10⁵.
İki taraf da eşit olduğuna göre bu şık doğrudur.
B) 0,00047 = 47 000 . 10⁻⁸
Sağdaki 47 000 sayısını 47 yapalım. 3 tane sıfır sildik, yani virgülü 3 basamak sola kaydırdık. Sayıyı küçülttüğümüz için üssü 3 artırmalıyız: 47 . 10⁻⁸⁺³ = 47 . 10⁻⁵.
Soldaki 0,00047 sayısını da 47 yapalım. Virgülü 5 basamak sağa kaydırdık. Sayıyı büyüttüğümüz için üssü 5 azaltmalıyız: 47 . 10⁻⁵.
İki taraf da eşit olduğuna göre bu şık doğrudur.
C) 0,03 . 10⁶ = 0,003 . 10⁵
Soldaki ifadeyi düzenleyelim: 0,03’teki virgülü 2 basamak sağa kaydırıp sayıyı 3 yapalım. Üssü 2 azaltırız: 3 . 10⁶⁻² = 3 . 10⁴.
Sağdaki ifadeyi düzenleyelim: 0,003’teki virgülü 3 basamak sağa kaydırıp sayıyı 3 yapalım. Üssü 3 azaltırız: 3 . 10⁵⁻³ = 3 . 10².
Sonuçta 3 . 10⁴ = 3 . 10² eşitliği çıktı. Bu eşitlik yanlıştır.
D) 1 000 000 = 0,01 . 10⁸
Sağdaki 0,01’i 1 yapmak için virgülü 2 basamak sağa kaydırırız. Üssü 2 azaltırız: 1 . 10⁸⁻² = 1 . 10⁶.
Soldaki 1 000 000 sayısı zaten 1 . 10⁶’ya eşittir.
İki taraf da eşit olduğuna göre bu şık doğrudur.
Sonuç: Yanlış olan eşitlik C şıkkındadır.
9. Soru: Aşağıdaki ondalık gösterimlerden hangisinin çözümlenmiş hâli panoda yazılmamıştır?
Bu soruda panodaki çözümlenmiş sayıları ondalık gösterime çevireceğiz ve şıklardan hangisinin dışarıda kaldığını bulacağız. Unutma, 10¹ onlar basamağı, 10⁰ birler basamağı, 10⁻¹ onda birler, 10⁻² yüzde birler basamağı demektir.
- 1. Satır: 8 . 10¹ + 1 . 10⁻² + 8 . 10⁻³
80 + 0,01 + 0,008 = 80,018(Bu C şıkkında var) - 2. Satır: 8 . 10⁰ + 1 . 10⁻¹ + 8 . 10⁻³
8 + 0,1 + 0,008 = 8,108(Bu A şıkkında var) - 3. Satır: 8 . 10¹ + 1 . 10⁻¹ + 1 . 10⁻² + 8 . 10⁻³
80 + 0,1 + 0,01 + 0,008 = 80,118(Bu şıklarda yok, bir bakalım) - 4. Satır: 8 . 10⁰ + 1 . 10⁻¹ + 1 . 10⁻² + 8 . 10⁻³
8 + 0,1 + 0,01 + 0,008 = 8,118(Bu B şıkkında var)
Panoda çözümlenen sayılar: 80,018 (C), 8,108 (A) ve 8,118 (B).
Şıklara baktığımızda A, B ve C şıklarındaki sayıların çözümlenmiş hallerini panoda bulduk.
Sonuç: Panoda çözümlenmiş hali yazılmayan sayı D) 81,108‘dir.
10. Soru: 8⁴ . 2⁻¹⁰ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Üslü sayılarda çarpma işlemi! Kuralımız neydi? Tabanlar aynıysa üsler toplanır. Ama burada tabanlar farklı: 8 ve 2. O zaman ne yapacağız? Elbette tabanları eşitleyeceğiz! 8 sayısının 2’nin bir kuvveti olduğunu hemen fark ettin değil mi?
Adım 1: Tabanları Eşitleyelim
8 = 2 . 2 . 2 = 2³
Şimdi sorudaki 8 yerine 2³ yazalım:
(2³)⁴ . 2⁻¹⁰
Adım 2: Üssün Üssünü Alalım
Üslü bir sayının tekrar üssü alındığında üsler çarpılır. (aᵐ)ⁿ = aᵐ˙ⁿ
(2³)⁴ = 2³˙⁴ = 2¹²
İşlemimiz şimdi şu hale geldi: 2¹² . 2⁻¹⁰
Adım 3: Çarpma İşlemini Yapalım
Artık tabanlar aynı. O zaman üsleri toplayabiliriz.
2¹² . 2⁻¹⁰ = 2¹²⁺⁽⁻¹⁰⁾ = 2¹²⁻¹⁰ = 2²
Adım 4: Sonucu Hesaplayalım
2² = 2 . 2 = 4
Sonuç: İşlemin sonucu 4‘tür. Doğru cevap A şıkkı.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Harika iş çıkardın! Unutma, pratik yapmak seni daha da hızlandıracaktır. Başarılar dilerim!