Harika bir fikir! Haydi bu soruları bir 8. sınıf öğrencisine anlatır gibi, adım adım ve anlaşılır bir şekilde birlikte çözelim. İşte başlıyoruz!
7. Soru: Aşağıdaki koordinat sistemindeki şeklin y eksenine göre yansıtıldığında oluşacak görüntüsünün 7 birim aşağı ötelenmesi sonucu oluşacak görüntüsünü çiziniz.
Merhaba sevgili öğrencim, bu soruda iki aşamalı bir dönüşüm yapmamız isteniyor. Önce yansıma, sonra da öteleme. Sakin sakin, adım adım ilerleyelim.
Adım 1: Şeklin y eksenine göre yansımasını bulalım.
Bir şeklin y eksenine göre yansımasını alırken, y eksenini bir ayna gibi düşünebilirsin. Şeklin her bir köşe noktasının aynaya (yani y eksenine) olan uzaklığı, yansıyan görüntüsünün de aynaya olan uzaklığı ile aynı olmalıdır. Kısacası, bir noktanın koordinatları (x, y) ise, y eksenine göre yansıması (-x, y) olur. Yani x’in işareti değişir, y ise aynı kalır.
Şimdi şeklimizin köşe noktalarını belirleyip yansımasını alalım:
- Sol alt köşe: (-5, 1) → yansıması → (5, 1)
- Sağ alt köşe: (-3, 1) → yansıması → (3, 1)
- İç köşe (alttaki): (-3, 3) → yansıması → (3, 3)
- Sol üst köşe: (-5, 5) → yansıması → (5, 5)
- Sağ üst köşe: (-3, 5) → yansıması → (3, 5)
Bu yeni noktaları birleştirdiğimizde, şeklin y ekseninin sağ tarafında, birebir simetriğini elde etmiş oluruz.
Adım 2: Yansıyan görüntüyü 7 birim aşağı öteleyelim.
Bir şekli aşağıya doğru ötelemek demek, her bir noktasının y koordinatından belirtilen birim kadar çıkarmak demektir. x koordinatına ise hiç dokunmayız. Yani (x, y) noktasını 7 birim aşağı ötelemek, onu (x, y-7) noktasına taşımaktır.
Şimdi bir önceki adımda bulduğumuz yansımış noktaları 7 birim aşağıya kaydıralım:
- (5, 1) → 7 birim aşağı → (5, 1-7) = (5, -6)
- (3, 1) → 7 birim aşağı → (3, 1-7) = (3, -6)
- (3, 3) → 7 birim aşağı → (3, 3-7) = (3, -4)
- (5, 5) → 7 birim aşağı → (5, 5-7) = (5, -2)
- (3, 5) → 7 birim aşağı → (3, 5-7) = (3, -2)
Sonuç:
İşte bu son bulduğumuz noktaları koordinat sisteminde işaretleyip birleştirdiğinde sorunun cevabını bulmuş olursun. Şeklimiz, x ekseninde 3 ile 5 arasında, y ekseninde ise -2 ile -6 arasında yer alan, orijinal şeklin yansımasının aşağı kaydırılmış hali olacaktır.
8. Soru: Yiğit, aşağıdaki koordinat sisteminde bir K noktası belirleyerek istenen dönüşümleri uyguluyor.
- K noktasının 7 birim sağa öteleme görüntüsünü L noktası olarak isimlendiriyor.
- L noktasının x eksenine göre yansıma görüntüsünü M noktası olarak isimlendiriyor.
- Son olarak bu üç noktayı doğru parçaları ile birleştiriyor.
Buna göre Yiğit’in son durumda oluşturduğu çokgenin alanı kaç birimkaredir?
Haydi Yiğit’in adımlarını takip edelim ve sonunda oluşan şeklin alanını hesaplayalım. Bu da çok kolay, göreceksin!
Adım 1: K noktasının koordinatlarını bulalım.
Grafiğe baktığımızda, K noktasının x ekseninde -3’e, y ekseninde ise 4’e denk geldiğini görüyoruz. O zaman K noktasının koordinatları K(-3, 4)‘tür.
Adım 2: K noktasını 7 birim sağa öteleyerek L noktasını bulalım.
Bir noktayı sağa ötelemek demek, x koordinatına o birimi eklemek demektir. y koordinatı değişmez. Yani (x, y) noktasını 7 birim sağa ötelemek, onu (x+7, y) noktasına taşır.
K(-3, 4) → 7 birim sağa → L(-3 + 7, 4) = L(4, 4)
Harika, L noktasını da bulduk!
Adım 3: L noktasının x eksenine göre yansımasını alarak M noktasını bulalım.
Bu sefer de x eksenini ayna gibi düşüneceğiz. Bir noktanın x eksenine göre yansımasını alırken x koordinatı aynı kalır, y koordinatının işareti değişir. Yani (x, y) noktasının yansıması (x, -y) olur.
L(4, 4) → x eksenine göre yansıma → M(4, -4) = M(4, -4)
Süper! Artık üç noktamızın da koordinatları elimizde: K(-3, 4), L(4, 4) ve M(4, -4).
Adım 4: Oluşan çokgenin alanını hesaplayalım.
Bu üç noktayı birleştirdiğimizde bir üçgen oluşur. Bu üçgenin alanını bulmak için tabanını ve o tabana ait yüksekliğini bilmemiz gerekiyor.
Hadi noktalara dikkatlice bakalım:
- K(-3, 4) ve L(4, 4) noktalarının y koordinatları aynı (ikisi de 4). Bu demek oluyor ki KL doğru parçası x eksenine paralel, yani yatay bir doğrudur.
- L(4, 4) ve M(4, -4) noktalarının x koordinatları aynı (ikisi de 4). Bu da LM doğru parçasının y eksenine paralel, yani dikey bir doğru olduğunu gösterir.
Yatay bir doğru ile dikey bir doğru kesiştiğinde aralarında 90 derecelik bir açı oluşur. Yani bizim KLM üçgenimiz bir dik üçgendir ve dik açı L köşesindedir!
Dik üçgenin alanını bulmak çok kolaydır: (Dik Kenar 1 x Dik Kenar 2) / 2
KL kenarının uzunluğu (Taban): K(-3, 4) ve L(4, 4) arasındaki yatay uzaklıktır. x değerleri arasındaki farkı buluruz: 4 – (-3) = 4 + 3 = 7 birim.
LM kenarının uzunluğu (Yükseklik): L(4, 4) ve M(4, -4) arasındaki dikey uzaklıktır. y değerleri arasındaki farkı buluruz: 4 – (-4) = 4 + 4 = 8 birim.
Şimdi alanı hesaplayabiliriz:
Alan = (7 x 8) / 2 = 56 / 2 = 28
Sonuç:
Yiğit’in oluşturduğu çokgenin (üçgenin) alanı 28 birimkaredir.