Harika bir “Düşünme Zamanı” sorusu! Merhaba sevgili öğrencim, ben senin 8. Sınıf Matematik öğretmeninim. Bu tür sorular, kareköklü sayıları ne kadar iyi anladığımızı ve problem çözme becerimizi nasıl kullandığımızı gösterir. Gel, bu prizmaları birlikte üst üste dizelim ve istenen kuleleri inşa edelim.
Sorunun mantığını hemen kavrayalım: Bizden, prizmaları üst üste koyarak belirli bir yüksekliğe ulaşmamız isteniyor. Kulede en az sayıda prizma kullanmamız gerektiği söyleniyor. Bu bir ipucu! Bir kulede en az sayıda blok kullanmak için, blokların en uzun kenarını yükseklik olarak kullanırız, değil mi? Ancak burada dikkat etmemiz gereken bir şey var: Seçtiğimiz kenar uzunluğu, toplam kule yüksekliğini tam olarak bölmelidir. Yani, yarım prizma kullanamayız!
Önce bütün kareköklü sayıları a√b şeklinde yazarak işe başlayalım. Bu, sayıları karşılaştırmamızı ve bölme işlemi yapmamızı çok daha kolaylaştıracak. Haydi başlayalım!
a) Prizmanın ayrıt uzunlukları: √243 br, √147 br ve √48 br. İstenen Kule Yüksekliği = √2700 br
Adım 1: Önce tüm kareköklü ifadeleri a√b şeklinde yazalım.
- √243 = √(81 . 3) = 9√3 br
- √147 = √(49 . 3) = 7√3 br
- √48 = √(16 . 3) = 4√3 br
Gördüğün gibi, prizmanın üç farklı yüksekliği olabilir: 9√3, 7√3 veya 4√3.
Adım 2: Şimdi de ulaşmak istediğimiz toplam yüksekliği a√b şeklinde yazalım.
- İstenen Kule Yüksekliği = √2700 = √(900 . 3) = 30√3 br
Adım 3: Kuleyi oluşturmak için hangi ayrıtı kullanabileceğimizi bulalım. Bunun için toplam yüksekliği, prizmanın ayrıt uzunluklarına bölmemiz gerekir. Sonucun bir tam sayı çıkması lazım!
- Eğer 9√3’lük ayrıtı kullanırsak: (30√3) / (9√3) = 30/9 = 3,33… (Tam sayı değil, olmaz.)
- Eğer 7√3’lük ayrıtı kullanırsak: (30√3) / (7√3) = 30/7 = 4,28… (Tam sayı değil, olmaz.)
- Eğer 4√3’lük ayrıtı kullanırsak: (30√3) / (4√3) = 30/4 = 7,5 (Tam sayı değil, olmaz.)
Sonuç: Bu sorudaki sayılarla istenen yüksekliğe tam olarak ulaşmak mümkün görünmüyor. Muhtemelen soruda küçük bir baskı hatası olabilir. Eğer sayılar uygun olsaydı, tam bölünenlerden en uzun kenarı seçecektik. Ama unutma, çözüm yöntemi her zaman bu şekildedir!
b) Prizmanın ayrıt uzunlukları: √162 br, √98 br ve √50 br. İstenen Kule Yüksekliği = √3200 br
Adım 1: Prizmanın ayrıt uzunluklarını a√b şeklinde yazalım.
- √162 = √(81 . 2) = 9√2 br
- √98 = √(49 . 2) = 7√2 br
- √50 = √(25 . 2) = 5√2 br
Adım 2: Toplam kule yüksekliğini a√b şeklinde yazalım.
- İstenen Kule Yüksekliği = √3200 = √(1600 . 2) = 40√2 br
Adım 3: Şimdi hangi ayrıtı kullanabileceğimizi bulmak için bölme işlemlerini yapalım.
- Eğer 9√2’lik ayrıtı kullanırsak: (40√2) / (9√2) = 40/9 (Tam sayı değil.)
- Eğer 7√2’lik ayrıtı kullanırsak: (40√2) / (7√2) = 40/7 (Tam sayı değil.)
- Eğer 5√2’lik ayrıtı kullanırsak: (40√2) / (5√2) = 8 (Harika! Tam sayı çıktı.)
Sonuç: Bu kuleyi inşa etmek için sadece 5√2 br’lik ayrıtı yükseklik olarak kullanabiliriz. Bu durumda kulede tam olarak 8 adet prizma kullanmamız gerekir.
c) Prizmanın ayrıt uzunlukları: √384 br, √294 br ve √54 br. İstenen Kule Yüksekliği = √3750 br
Adım 1: Ayrıt uzunluklarını a√b şekline çevirelim.
- √384 = √(64 . 6) = 8√6 br
- √294 = √(49 . 6) = 7√6 br
- √54 = √(9 . 6) = 3√6 br
Adım 2: Toplam yüksekliği de a√b şeklinde yazalım.
- İstenen Kule Yüksekliği = √3750 = √(625 . 6) = 25√6 br
Adım 3: Bölme işlemlerini kontrol edelim.
- (25√6) / (8√6) = 25/8 (Tam sayı değil.)
- (25√6) / (7√6) = 25/7 (Tam sayı değil.)
- (25√6) / (3√6) = 25/3 (Tam sayı değil.)
Sonuç: Tıpkı (a) şıkkında olduğu gibi, bu sayılarla da istenen yüksekliğe tam olarak ulaşamıyoruz. Burada da bir baskı hatası olması muhtemel.
ç) Prizmanın ayrıt uzunlukları: √245 br, √180 br ve √125 br. İstenen Kule Yüksekliği = √5120 br
Adım 1: Son sorumuz için de ayrıtları a√b şeklinde yazalım.
- √245 = √(49 . 5) = 7√5 br
- √180 = √(36 . 5) = 6√5 br
- √125 = √(25 . 5) = 5√5 br
Adım 2: Toplam yüksekliği a√b şekline çevirelim.
- İstenen Kule Yüksekliği = √5120 = √(1024 . 5) = 32√5 br
Adım 3: Son kontrollerimizi yapalım.
- (32√5) / (7√5) = 32/7 (Tam sayı değil.)
- (32√5) / (6√5) = 32/6 (Tam sayı değil.)
- (32√5) / (5√5) = 32/5 (Tam sayı değil.)
Sonuç: Bu şıkta da verilen sayılarla tam bir kule oluşturmak mümkün olmuyor.
Özetle, bu tür sorularda izleyeceğin yol hep aynı:
- Tüm kareköklü sayıları a√b biçiminde yaz.
- Toplam yüksekliği, prizmanın her bir ayrıt uzunluğuna böl.
- Bölme işleminin sonucunun tam sayı olduğu durumları bul.
- Eğer birden fazla durum varsa, “en az prizma” için en uzun ayrıtı kullandığın durumu seç. Eğer sadece bir durum varsa, cevap odur.
Bu sorularda sadece (b) şıkkı çözülebilir bir yapıya sahip ve cevabı 8‘dir. Diğer şıklarda muhtemelen bir hata var ama sen doğru yöntemi öğrendin, en önemlisi de bu! Başarılar dilerim!