Merhaba sevgili öğrencilerim,
Harika sorularla karşı karşıyayız. Bu tür sorular, öğrendiğimiz konuları günlük hayattaki durumlarla birleştirmemize yardımcı olur. Şimdi bu soruları birlikte, adım adım ve anlayarak çözelim. Hazırsanız, başlayalım!
15. Soru: Bilgi: Drone, bir uzaktan kumanda ya da yazılımsal yönetim ile kolayca yönlendirilebilen insansız hava aracıdır. Ali, babasının doğum gününde kendisine hediye aldığı dronu bahçede uçurmuştur. Zeminde bulunan drone önce 3 metre dikey olarak yol almış sonra yandaki fotoğrafta görüldüğü gibi bahçede bulunan ağacın dalına asılı kalmıştır. Asılı durumda kalan dronun zemine olan dikey uzaklığı 10 metre ve |AB| = 26 metre olduğuna göre |BC| kaç metredir?
Bu soruyu çözmek için geometri bilgilerimizi, özellikle de Pisagor bağıntısını kullanacağız. Şekli gözümüzde canlandıralım ve adım adım ilerleyelim.
- Adım 1: Soruda bize verilenleri bir dik üçgene yerleştirmemiz gerekiyor. Dronun ağaçta asılı kaldığı B noktasının yerden yüksekliği 10 metre. Dronun ilk havalandığı A noktasından B noktasına olan direkt uzaklık (|AB|) ise 26 metre. B noktasından yere dik bir çizgi çizersek, bu çizginin uzunluğu 10 metre olur. Bu dikme, A noktası ve yerdeki dikmenin ayağı ile birlikte bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgenin hipotenüsü (en uzun kenarı) |AB| = 26 metre, bir dik kenarı ise 10 metredir. Bizim önce bu üçgenin yatay olan diğer dik kenarını bulmamız gerekiyor. Bu yatay uzaklık, C noktasının A noktasına olan yatay uzaklığı ile aynıdır.
- Adım 2: Pisagor bağıntısını hatırlayalım: a² + b² = c². Burada c hipotenüstür. Bizim üçgenimizde 10² + (yatay uzaklık)² = 26² olur.
100 + (yatay uzaklık)² = 676
(yatay uzaklık)² = 676 – 100
(yatay uzaklık)² = 576
yatay uzaklık = √576 = 24 metreBu bulduğumuz 24 metre, A ile C arasındaki yatay mesafedir.
- Adım 3: Şimdi bizden istenen |BC| uzunluğunu bulmak için yeni bir dik üçgen oluşturmalıyız. Bu üçgenin yatay kenarı, az önce bulduğumuz 24 metredir. Dikey kenarını ise dronun yükseklikleri arasındaki farktan bulacağız.
- Adım 4: Dronun son yüksekliği (B noktası) 10 metre. İlk başta dikey olarak yükseldiği yükseklik (C noktası) ise 3 metre. Aradaki dikey fark: 10 – 3 = 7 metredir. Bu, bizim yeni dik üçgenimizin dikey kenarıdır.
- Adım 5: Artık |BC|’yi bulmak için gereken her şeye sahibiz. Yatay kenarı 24 metre, dikey kenarı 7 metre olan bir dik üçgenin hipotenüsünü arıyoruz. Tekrar Pisagor bağıntısını kullanalım:
7² + 24² = |BC|²
49 + 576 = |BC|²
625 = |BC|²
|BC| = √625 = 25 metre(Unutmayın: 7-24-25 özel bir dik üçgendir. Bu özel üçgenleri bilmek size sınavlarda hız kazandırır!)
Sonuç: |BC| uzunluğu 25 metredir. Doğru cevap A) seçeneğidir.
16. Soru: Yukarıdaki üçgenler eştir. Buna göre x, y ve z değerleri aşağıdaki hangi seçenekte doğru verilmiştir?
“Eş üçgenler” demek, bu üçgenlerin hem açılarının hem de kenar uzunluklarının birbiriyle aynı olduğu anlamına gelir. Yapmamız gereken tek şey, hangi köşe hangi köşeyle ve hangi kenar hangi kenarla eşleşiyor bunu bulmak.
- Adım 1: Üçgenlerdeki işaretlenmiş açılara bakalım. ABC üçgeninde A açısı tek çizgi, C açısı ise çarpı ile işaretlenmiş. DEF üçgeninde ise D açısı tek çizgi, E açısı çarpı ile işaretlenmiş. Bu demektir ki;
A açısı = D açısı
C açısı = E açısıÜçgenlerin iç açıları toplamı 180 derece olduğu için, geri kalan açılar olan B ve F açıları da birbirine eşit olmalıdır.
- Adım 2: Eşliği doğru yazmak çok önemlidir: ABC üçgeni ≅ DFE üçgeni. (Dikkat edin, DEF değil, DFE! Çünkü C açısı E açısına, B açısı da F açısına denk geliyor.)
- Adım 3: Şimdi bu eşliğe göre kenarları birbirine eşitleyebiliriz. Eşit açıların karşısındaki kenarlar birbirine eşittir.
- A açısının karşısındaki kenar |BC| (18 cm), D açısının karşısındaki kenar |FE|’ye (x+3 cm) eşittir.
18 = x + 3 =>x = 15
- C açısının karşısındaki kenar |AB| (y-1 cm), E açısının karşısındaki kenar |DF|’ye (12 cm) eşittir.
y – 1 = 12 =>y = 13
- B açısının karşısındaki kenar |AC| (z+1 cm), F açısının karşısındaki kenar |DE|’ye (10 cm) eşittir.
z + 1 = 10 =>z = 9
- A açısının karşısındaki kenar |BC| (18 cm), D açısının karşısındaki kenar |FE|’ye (x+3 cm) eşittir.
Sonuç: Değerleri bulduk: x = 15, y = 13, z = 9. Bu değerler A) seçeneğinde doğru olarak verilmiştir.
17. Soru: Yandaki iki eş dikdörtgen A noktasında birleştirilmiştir. A noktası her iki dikdörtgenin birleştirilen kenarlarının orta noktası olduğuna göre x kaç santimetredir?
Bu soruda da “eş” kelimesi kilit rol oynuyor. Eş dikdörtgenler demek, kısa ve uzun kenarları aynı olan iki dikdörtgen demektir.
- Adım 1: Şekle baktığımızda, dikdörtgenlerden birinin kısa kenarının 8 cm, diğerinin uzun kenarının ise 20 cm olduğunu görüyoruz. Bu dikdörtgenler eş olduğuna göre, her ikisinin de boyutları 8 cm‘ye 20 cm‘dir.
- Adım 2: A noktasının tanımına dikkat edelim: “her iki dikdörtgenin birleştirilen kenarlarının orta noktası”. Yatay duran dikdörtgenin uzun kenarı (20 cm) boyunca birleşme olmuş. A noktası bu 20 cm’lik kenarın tam ortasıdır.
- Adım 3: Yatay dikdörtgenin toplam uzunluğu 20 cm ve A noktası tam ortası ise, dikdörtgenin sol kenarından A noktasına kadar olan mesafe 20 / 2 = 10 cm’dir.
- Adım 4: Şimdi dikey duran dikdörtgeni düşünelim. Bu dikdörtgen, yatay dikdörtgenin üzerine yerleştirilmiş. Dikey dikdörtgenin genişliği, onun kısa kenarıdır, yani 8 cm’dir. Bu 8 cm’lik genişlik, A noktası merkez olacak şekilde yerleştirilmiştir.
- Adım 5: Dikey dikdörtgenin 8 cm’lik genişliğinin tam ortası A noktası ise, A noktasından bu dikdörtgenin sol kenarına 4 cm, sağ kenarına da 4 cm mesafe vardır.
- Adım 6: Soruda bizden istenen ‘x’ uzunluğu, yatay dikdörtgenin sol kenarı ile dikey dikdörtgenin sol kenarı arasındaki mesafedir.
(Yatay dikdörtgenin sol kenarından A’ya uzaklık) = 10 cm
(Dikey dikdörtgenin sol kenarından A’ya uzaklık) = 4 cm
x = (Yatay Dikdörtgenin Solundan A’ya) – (Dikey Dikdörtgenin Solundan A’ya)
x = 10 – 4 = 6 cmİşte bu kadar!
Sonuç: x’in değeri 6 santimetredir. Doğru cevap D) seçeneğidir.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, geometri sorularında şekli doğru okumak ve verilen bilgileri adım adım kullanmak çok önemlidir. Başarılar dilerim!