Harika sorular! Hadi gel bu soruları birlikte, adım adım ve anlayarak çözelim. Unutma, geometrinin sırrı kuralları doğru yerde kullanmakta yatar.
Soru 8: Yukarıda kenar uzunlukları tam sayı olan iki üçgen verilmiştir. Buna göre x + y’nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Merhaba! Bu soruyu çözmek için “üçgen eşitsizliği” kuralını kullanacağız. Bu kural neydi bir hatırlayalım: Bir üçgende, herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyük olmalıdır. Hadi bu kuralı iki üçgenimize de uygulayalım.
ABC üçgeni için x’in en büyük değerini bulalım:
Adım 1: Üçgenin kenarları 10 cm, 7 cm ve (x – 4) cm. Üçgen eşitsizliği kuralını (x – 4) kenarı için yazalım. Diğer iki kenarın farkı ile toplamı arasında olmalı.
10 – 7 < x – 4 < 10 + 7Adım 2: İşlemleri yapalım.
3 < x – 4 < 17Adım 3: Şimdi x’i yalnız bırakmak için eşitsizliğin her tarafına 4 ekleyelim.
3 + 4 < x < 17 + 4
7 < x < 21Adım 4: Bu aralıkta x’in alabileceği en büyük tam sayı değeri 21’den bir küçük olan 20‘dir.
DEF üçgeni için y’nin en büyük değerini bulalım:
Adım 1: Bu üçgenin kenarları ise 11 cm, 24 cm ve (y + 6) cm. Aynı kuralı (y + 6) kenarı için uygulayalım.
24 – 11 < y + 6 < 24 + 11Adım 2: İşlemleri yapalım.
13 < y + 6 < 35Adım 3: Şimdi de y’yi yalnız bırakmak için eşitsizliğin her tarafından 6 çıkaralım.
13 – 6 < y < 35 – 6
7 < y < 29Adım 4: Bu aralıkta y’nin alabileceği en büyük tam sayı değeri ise 29’dan bir küçük olan 28‘dir.
Sonuca ulaşalım:
Adım 1: Soru bizden x + y’nin alabileceği en büyük değeri istiyor. Bunun için bulduğumuz en büyük x ve en büyük y değerlerini toplamalıyız.
En büyük x = 20
En büyük y = 28Adım 2: Toplama işlemini yapalım.
20 + 28 = 48
Sonuç:
x + y’nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 48‘dir.
Soru 9: Yandaki şekilde tüm doğru parçalarının uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayıdır. ABCD bir dikdörtgen ve [AB] bu dikdörtgenin kısa kenarı olduğuna göre şeklin çevresinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Bu soruda hem üçgen eşitsizliğini hem de dikdörtgenin özelliklerini kullanacağız. Şeklin çevresi, en dıştaki kenarların toplamı demektir. Yani; |AE| + |ED| + |DC| + |CF| + |FB| + |BA| toplamını bulmalıyız. En büyük çevre için bu kenarları olabildiğince büyük seçmeliyiz.
Adım 1: Öncelikle ADE üçgenine bakalım. Kenarları 5, 3 ve |AD|. Üçgen eşitsizliğinden |AD| kenarının alabileceği değer aralığını bulalım.
5 – 3 < |AD| < 5 + 3
2 < |AD| < 8
|AD| bir tam sayı olduğu için alabileceği en büyük değer 7 cm’dir.Adım 2: ABCD bir dikdörtgen olduğu için karşılıklı kenarları eşittir. Yani |AD| = |BC|’dir. O zaman |BC| kenarının da en büyük tam sayı değeri 7 cm olur.
Adım 3: Soruda [AB] kenarının kısa kenar olduğu söyleniyor. Bu demek ki |AB| < |AD| olmalı. |AD|'nin en büyük değerini 7 bulmuştuk. O zaman |AB| < 7 olmalı. |AB|'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 6 cm olur. Dikdörtgen olduğu için |DC| = |AB|’dir, yani |DC| de en fazla 6 cm olur.
Adım 4: Şimdi de BCF üçgenine bakalım. Kenarları |BC|, |BF| ve |CF|. |BC|’nin en büyük değerini 7, |BF|’nin değerini 6 olarak biliyoruz. |CF|’nin en büyük değerini bulmak için üçgen eşitsizliğini yazalım.
|BC| – |BF| < |CF| < |BC| + |BF|
7 – 6 < |CF| < 7 + 6
1 < |CF| < 13
Bu durumda |CF|’nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 12 cm’dir.Adım 5: Artık şeklin çevresinin en büyük değerini hesaplayabiliriz. Bütün dış kenarların bulduğumuz en büyük değerlerini toplayalım.
Çevre = |AE| + |ED| + |DC| + |CF| + |FB| + |BA|
Çevre = 5 + 3 + 6 + 12 + 6 + 6Adım 6: Toplama işlemini yapalım.
Çevre = 8 + 6 + 12 + 6 + 6 = 38 cm
Sonuç:
Şeklin çevresinin alabileceği en büyük tam sayı değeri 38‘dir.
Soru 10: A noktasından E noktasına gitmek isteyen bir araç, sırayla A, B, C, D noktalarından geçerek E noktasına ulaşıyor. B noktasından D noktasına doğrusal şekilde uzanan bir köprü yapıldıktan sonra aynı araç bu köprüyü kullanarak E noktasına ulaşmıştır. Buna göre aracın A noktasından E noktasına ulaşmak için aldığı yol en fazla kaç kilometre kısalmıştır?
Bu soru aslında bize şunu soruyor: B’den D’ye C üzerinden gitmek yerine, doğrudan köprüden gitmek yolu ne kadar kısaltır? Yolun en fazla kısalması için, yeni yapılan köprünün (yani B’den D’ye olan mesafenin) en kısa olması gerekir.
Adım 1: Aracın köprüden önceki yolu B → C → D şeklindeydi. Bu yolun uzunluğunu hesaplayalım.
|BC| + |CD| = 5 km + 4 km = 9 km.Adım 2: Köprü yapıldıktan sonraki yol ise doğrudan B → D şeklinde. Bu köprünün uzunluğuna x diyelim. BCD bir üçgen oluşturur. Bu üçgenin kenarları 5 km, 4 km ve x km’dir. Üçgen eşitsizliği kuralını kullanarak x‘in alabileceği değer aralığını bulalım.
5 – 4 < x < 5 + 4
1 < x < 9Adım 3: Bu eşitsizliğe göre köprünün uzunluğu olan x, 1 km’den uzun ve 9 km’den kısa olmalıdır. Soruda bizden yolun en fazla ne kadar kısalacağını bulmamız isteniyor. Yolun en çok kısalması için, yeni yapılan köprünün olabildiğince kısa olması gerekir. Yani x‘in en küçük değerini almalıyız.
Adım 4: 1 < x < 9 aralığında x‘in alabileceği en küçük tam sayı değeri 2‘dir. Demek ki köprünün uzunluğu en az 2 km olabilir.
Adım 5: Şimdi kısalma miktarını hesaplayalım. Kısalma miktarı, eski yol ile yeni yol arasındaki farktır.
Kısalma = (Eski Yol) – (Yeni Yol)
En fazla kısalma = (|BC| + |CD|) – (|BD|’nin en küçük değeri)
En fazla kısalma = 9 km – 2 km = 7 km
Sonuç:
Aracın aldığı yol en fazla 7 kilometre kısalmıştır.