Harika bir çalışma! Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencim, ben senin Matematik Öğretmenin. Şimdi bu alıştırmaları birlikte, adım adım ve tane tane çözeceğiz. Unutma, geometri görmekle ilgilidir. Dikkatlice okuyup şekilleri incelersek her soruyu kolayca yapabiliriz. Haydi başlayalım!
Soru 1: Aşağıda kareli zemin üzerindeki üçgenlerin kenarlarına ait kenarortayları çiziniz.
Sevgili öğrencim, önce kenarortay neydi onu bir hatırlayalım. Kenarortay, üçgenin bir köşesinden karşıdaki kenarın tam orta noktasına çizilen doğru parçasıdır. Yani bir kenarı iki eşit parçaya böler. Şimdi üçgenlerimize bu gözle bakalım.
- ABC Üçgeni: Bu üçgende 3 tane kenarortay çizebiliriz. En kolayından başlayalım. AC kenarına bakalım. Kareleri saydığımızda bu kenarın yatayda tam 4 birim uzunluğunda olduğunu görüyoruz. Bu kenarın orta noktası, A’dan 2 birim veya C’den 2 birim uzaklıktaki noktadır. Bu orta noktayı B köşesi ile birleştirdiğimizde, AC kenarına ait kenarortayı çizmiş oluruz. Diğer kenarlar için de aynı mantığı kullanabiliriz. Örneğin BC kenarının orta noktasını bulup A ile, AB kenarının orta noktasını bulup C ile birleştirebiliriz.
- DEF Üçgeni: Bu üçgen bir dik üçgen. DE kenarı dikeyde 4 birim. Orta noktası D’den 2 birim aşağıdadır. Bu noktayı F köşesiyle birleştirdiğimizde DE kenarına ait kenarortayı çizmiş oluruz. Aynı şekilde EF kenarı yatayda 6 birim. Orta noktası E’den 3 birim sağdadır. Bu noktayı da D köşesiyle birleştirdiğimizde EF kenarına ait kenarortayı elde ederiz.
- GHI Üçgeni: HI kenarı yatayda 4 birim uzunluğunda. Orta noktası H’den 2 birim sağdadır. Bu noktayı G köşesi ile birleştirdiğimizde HI kenarına ait kenarortayı çizmiş oluruz.
Unutma: Kenarortayların hepsi üçgenin içinde bir noktada kesişir. Bu noktaya ağırlık merkezi denir.
Soru 2: Aşağıdaki üçgenlerin açıortaylarını açıölçer kullanarak çiziniz.
Şimdi de açıortay kavramını hatırlayalım. Açıortay, bir açıyı ölçüleri birbirine eşit olan iki açıya ayıran ışındır. Üçgende ise bir köşedeki açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasıdır.
Bu soruyu çözmek için bir açıölçere (iletki) ihtiyacımız var. Benim buradan bir açıölçer kullanma imkanım yok ama sana nasıl yapacağını adım adım anlatacağım:
- Adım 1: Açıölçerini al ve örneğin ABC üçgenindeki B köşesine yerleştir.
- Adım 2: B açısının kaç derece olduğunu ölç. Diyelim ki 60 derece buldun.
- Adım 3: Açıortay bu açıyı ikiye böleceği için bulduğun dereceyi ikiye böl. Yani 60 / 2 = 30 derece.
- Adım 4: Açıölçerinle B köşesinden 30 derecelik bir açı işaretle.
- Adım 5: B köşesinden başlayıp bu işaretlediğin noktadan geçerek karşıdaki AC kenarına ulaşan bir doğru parçası çiz. İşte bu, B açısının açıortayıdır.
Bu adımları her üçgenin üç köşesi için de tekrarlayarak tüm açıortayları çizebilirsin. Açıortaylar da tıpkı kenarortaylar gibi üçgenin içinde bir noktada kesişirler.
Soru 3: Aşağıda kareli zemin üzerindeki üçgenlerin tüm kenarlarına ait yükseklikleri çiziniz.
Gelelim yüksekliğe. Yükseklik, üçgenin bir köşesinden karşısındaki kenara indirilen DİK doğru parçasıdır. Dik kelimesi burada anahtar kelimemiz, yani 90 derecelik bir açı yapması gerekiyor.
- ABC Üçgeni: Bu bir geniş açılı üçgen.
- AC kenarına ait yükseklik: B köşesinden AC kenarına bir dikme indireceğiz. Kareli zemin sayesinde B’den aşağıya doğru düz bir çizgi çektiğimizde AC kenarına dik olarak indiğini görürüz. Bu yükseklik üçgenin içindedir.
- AB kenarına ait yükseklik: C köşesinden AB kenarına dikme indirmemiz gerekir. Ancak bu dikme üçgenin içine düşmez. Bu yüzden AB kenarını A yönünde uzatırız ve C’den bu uzantıya dik bir çizgi çizeriz. Bu yükseklik üçgenin dışındadır.
- BC kenarına ait yükseklik: A köşesinden BC kenarına dikme indirmemiz gerekir. Bu yükseklik de yine üçgenin dışında kalacaktır.
- DEF Üçgeni: Bu bir dik üçgen. Dik üçgenlerde işimiz çok kolay!
- EF kenarına ait yükseklik: D köşesinden EF’ye inen dikme, zaten DE kenarının kendisidir.
- DE kenarına ait yükseklik: F köşesinden DE’ye inen dikme, zaten EF kenarının kendisidir.
- DF (hipotenüs) kenarına ait yükseklik: E köşesinden DF kenarına bir dikme çizeriz. Bu yükseklik üçgenin içindedir.
- GHI Üçgeni: Bu bir dar açılı üçgen. Dar açılı üçgenlerde tüm yükseklikler üçgenin iç bölgesinde yer alır.
- HI kenarına ait yükseklik: G köşesinden HI kenarına dümdüz bir dikme indirebiliriz.
- Diğer kenarlara ait yükseklikleri de köşelerden karşı kenara 90 derece açı yapacak şekilde çizeriz.
Soru 4: ABC üçgeninde [AD], BC kenarına ait kenarortaydır. |BC| = 16 cm ve |AD| = (x – 7) cm olduğuna göre x kaçtır?
Bu soru çok güzel bir bilgi sorusu. Hadi adım adım gidelim.
Adım 1: Verilenleri Anlayalım
Bize [AD]’nin, BC kenarına ait bir kenarortay olduğu söylenmiş. Bu ne demekti? D noktası, BC kenarının tam orta noktasıdır. Yani, |BD| = |DC|’dir.
|BC|’nin tamamı 16 cm ise, D noktası bu kenarı iki eşit parçaya böler:
|BD| = |DC| = 16 / 2 = 8 cm.
Adım 2: Eksik Bilgiyi Fark Edelim ve Çözüme Ulaşalım
Soruda bize |AD| = (x – 7) cm verilmiş ama x’i bulmak için bu haliyle yeterli bilgi yok. Ancak şekle dikkatli baktığımızda A köşesinin orada bir diklik sembolü görüyoruz. Bu, ABC üçgeninin A açısının 90 derece olduğu, yani bir dik üçgen olduğu anlamına geliyor. İşte sorunun kilit noktası burası!
Dik üçgenlerde çok özel ve çok havalı bir kuralımız var: Muhteşem Üçlü!
Muhteşem Üçlü Kuralı: Bir dik üçgende, 90 derecelik köşeden hipotenüse (en uzun kenara) çizilen kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün uzunluğunun yarısına eşittir.
Bizim üçgenimizde 90 derecenin karşısındaki kenar BC, yani hipotenüs. [AD] de bu hipotenüse ait kenarortay. O zaman kuralımıza göre:
|AD| = |BD| = |DC| olmalıdır.
Adım 3: Denklemi Kurup Çözelim
Biz |BD| ve |DC|’yi zaten 8 cm olarak bulmuştuk. O zaman |AD| de 8 cm olmalı!
|AD| = 8 cm
Soru bize |AD|’yi (x – 7) cm olarak vermişti. Bu iki ifadeyi birbirine eşitleyebiliriz:
x – 7 = 8
Şimdi bu basit denklemi çözelim. -7’yi eşitliğin diğer tarafına +7 olarak atarız:
x = 8 + 7
x = 15
Sonuç olarak x’in değerini 15 olarak buluruz. Harika iş çıkardık!