Harika bir soru! Merhaba sevgili öğrencim, ben 8. sınıf matematik öğretmenin. Gönderdiğin görseldeki soruları senin için adım adım, kolayca anlayacağın bir dille çözeceğim. Üçgenlerde açı ve kenar arasındaki ilişkiyi anlamak çok önemlidir ve bu sorular tam da bu konuyu pekiştirmek için harika birer örnek. Haydi başlayalım!
Görselde iki tane çözümlü örnek ve bir tane de “Sıra Sizde” sorusu bulunuyor. Önce çözümlü örnekleri açıklayarak konuyu bir hatırlayalım, sonra da asıl sorumuzu çözelim.
Çözümlü Örnek 1
Yandaki KLM ikizkenar üçgeninde |KM| = |LM| ‘dur. Buna göre üçgenin kenar uzunluklarını büyükten küçüğe doğru sıralayalım.
Bu soruyu çözmek için önce üçgenin bütün iç açılarını bilmemiz gerekiyor. Unutma, üçgenlerde kenarları sıralamanın yolu, açıları sıralamaktan geçer!
- Adım 1: Verilenleri Analiz Edelim
Bize KLM üçgeninin ikizkenar olduğu ve |KM| = |LM| kenarlarının eşit olduğu söylenmiş. Bu çok önemli bir ipucu! Çünkü ikizkenar üçgenlerde eşit kenarların karşısındaki açılar da birbirine eşittir.
|KM| kenarının karşısında L açısı var.
|LM| kenarının karşısında K açısı var. K açısı 65° olarak verilmiş.
Bu durumda m(L) açısı da m(K) açısına eşit, yani 65° olmalıdır.
- Adım 2: Eksik Açıyı Bulalım
Artık K ve L açılarının 65’er derece olduğunu biliyoruz. Bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180°‘dir. M açısını bulmak için bildiğimiz iki açıyı toplayıp 180’den çıkaralım.
65° + 65° = 130°
180° – 130° = 50°. Demek ki m(M) açısı 50° imiş.
- Adım 3: Açıları ve Kenarları Sıralayalım
Şimdi en önemli kuralımızı hatırlayalım: Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur.
Açılarımızı büyükten küçüğe sıralayalım: m(K) = m(L) > m(M) yani 65° = 65° > 50°
Şimdi bu açıların karşısındaki kenarları aynı sırayla yazalım:
K açısının karşısında |LM| kenarı var.
L açısının karşısında |KM| kenarı var.
M açısının karşısında |KL| kenarı var.
Öyleyse kenar sıralamamız: |LM| = |KM| > |KL| olur.
Çözümlü Örnek 2
Yandaki PRS dik üçgeninin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
Bu da bir önceki soruya benziyor, sadece bu sefer bir dik üçgenimiz var ve küçükten büyüğe sıralama isteniyor.
- Adım 1: Eksik Açıyı Bulalım
PRS üçgeni bir dik üçgen, yani P açısı 90°‘dir. S açısı da 72° olarak verilmiş. Üçgenin iç açıları toplamının 180° olduğunu kullanarak R açısını bulalım.
90° + 72° = 162°
180° – 162° = 18°. Demek ki m(R) açısı 18° imiş.
- Adım 2: Açıları ve Kenarları Sıralayalım
Yine aynı kuralı kullanacağız. Önce açıları küçükten büyüğe sıralayalım:
m(R) < m(S) < m(P) yani 18° < 72° < 90°
Şimdi bu açıların karşısındaki kenarları aynı sırayla yazalım:
R açısının karşısında |SP| kenarı (r) var.
S açısının karşısında |PR| kenarı (s) var.
P açısının karşısında |RS| kenarı (p) var.
Öyleyse kenar sıralamamız: |SP| < |PR| < |RS| yani harflerle ifade edersek r < s < p olur.
Sıra Sizde 1
Yandaki şekilde en uzun doğru parçasını bulunuz.
İşte şimdi sıra bizde! Bu şekilde iç içe geçmiş iki tane üçgen görüyoruz: PTR üçgeni ve TSR üçgeni. En uzun kenarı bulmak için bu iki üçgeni de ayrı ayrı incelemeli ve sonra bir karşılaştırma yapmalıyız.
- Adım 1: PTR üçgenini inceleyelim.
Bu üçgenin bildiğimiz açıları: m(P) = 24° ve m(PRT) = 66°.
Hemen üçüncü açıyı, yani T köşesindeki açıyı (PTR açısını) bulalım:
24° + 66° = 90°
180° – 90° = 90°. Vay be, bu bir dik üçgenmiş!
Şimdi bu üçgenin kenarlarını sıralayalım. Açıları: 90° > 66° > 24°.
Bu açıların karşısındaki kenarlar: |PR| > |PT| > |TR|.
Sonuç: PTR üçgeninin en uzun kenarı |PR| kenarıdır.
- Adım 2: TSR üçgenini inceleyelim.
Bu üçgenin bildiğimiz açıları: m(TRS) = 12° ve m(S) = 75°.
Üçüncü açıyı, yani T köşesindeki açıyı (TSR açısını) bulalım:
12° + 75° = 87°
180° – 87° = 93°.
Şimdi bu üçgenin kenarlarını sıralayalım. Açıları: 93° > 75° > 12°.
Bu açıların karşısındaki kenarlar: |RS| > |TR| > |TS|.
Sonuç: TSR üçgeninin en uzun kenarı |RS| kenarıdır.
- Adım 3: Şeklin tamamı için en uzun kenarı bulalım.
Artık elimizde en uzun kenar için iki aday var: Birinci üçgenin en uzunu olan |PR| ve ikinci üçgenin en uzunu olan |RS|.
Peki hangisi daha uzun? İşte burada çok basit bir mantık kullanacağız. Şekildeki tüm iç açılara bakalım: 24°, 66°, 90°, 12°, 75°, 93°.
Bu açıların içinde en büyüğü hangisi? Tabii ki 93° olan TSR açısı!
Temel kuralımız neydi? En büyük açının karşısındaki kenar en uzundur. Bu kural, birleştirilmiş şekiller için de geçerlidir. Şeklin tamamındaki en büyük açı 93° olduğu için, bu açının karşısındaki kenar olan |RS|, bütün şekildeki en uzun doğru parçası olmak zorundadır.
Sonuç:
Yandaki şekilde en uzun doğru parçası |RS|‘dir.
Umarım açıklamalarım faydalı olmuştur. Unutma, geometri sabır ve bol pratik gerektirir. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin. Başarılar dilerim!