Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün karşımıza çıkan bu iki güzel soruyu birlikte, adım adım ve anlayarak çözeceğiz. Matematikten korkmuyoruz, onu bir oyun gibi görüp keyfini çıkarıyoruz. Hazırsanız, haydi başlayalım!
9. Soru: Yandaki koordinat sistemi üzerinde koordinatları (3,4) olan B noktası ile koordinatları birer tam sayı olan A noktasını birleştiren bir doğru parçası çiziliyor. |AB| = √8 br olduğuna göre A noktasının koordinatları toplamının alabileceği en büyük ve en küçük değerin toplamı kaçtır?
Merhaba arkadaşlar, bu soru koordinat sisteminde iki nokta arasındaki uzaklık ile ilgili. Bu tür sorularda aklımıza hemen Pisagor Bağıntısı gelmeli! İki nokta arasındaki uzaklığı, noktaların x ve y koordinatlarının farklarının karelerini toplayıp karekökünü alarak buluyorduk. Hadi formülü sorumuza uygulayalım.
İki nokta arasındaki uzaklık formülü: A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) ise, |AB| = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]
Adım 1: Bildiklerimizi yerine yazalım.
B noktamızın koordinatları (3, 4). A noktamızın koordinatlarını ise bilmiyoruz, ona da (x, y) diyelim. Soruda bize A noktasının koordinatlarının tam sayı olduğu söylenmiş, bu çok önemli bir bilgi! Bize verilen uzaklık ise |AB| = √8 birim.
Adım 2: Formülde değerleri yerleştirelim.
√8 = √[(3-x)² + (4-y)²]
Eşitliğin her iki tarafının karesini alarak kareköklerden kurtulabiliriz. Bu işlemi yaptığımızda denklemimiz şöyle olur:
8 = (3-x)² + (4-y)²
Adım 3: Denklemi yorumlayalım.
Şimdi düşünme zamanı! A noktasının koordinatları (x ve y) tam sayı olduğu için, (3-x) ve (4-y) ifadeleri de birer tam sayıdır. Bu tam sayıların karelerini topladığımızda ise sonuç 8 olmalı. Hangi iki tam sayının karesi toplamı 8 eder? Şöyle bir düşünelim… Sadece 4 + 4 = 8 olabilir! Başka bir ihtimal yok.
Bu durumda:
- (3-x)² = 4
- (4-y)² = 4
Adım 4: Olası x ve y değerlerini bulalım.
- Eğer (3-x)² = 4 ise, (3-x) ifadesi ya 2 ya da -2 olabilir.
- 3 – x = 2 ise x = 1
- 3 – x = -2 ise x = 5
- Eğer (4-y)² = 4 ise, (4-y) ifadesi de ya 2 ya da -2 olabilir.
- 4 – y = 2 ise y = 2
- 4 – y = -2 ise y = 6
Adım 5: A noktasının alabileceği tüm koordinatları ve toplamlarını bulalım.
Şimdi bulduğumuz x ve y değerlerini birleştirerek A noktasının olası tüm koordinatlarını yazalım ve her biri için koordinatları toplamını hesaplayalım.
- A(1, 2) olabilir. Koordinatları toplamı: 1 + 2 = 3
- A(1, 6) olabilir. Koordinatları toplamı: 1 + 6 = 7
- A(5, 2) olabilir. Koordinatları toplamı: 5 + 2 = 7
- A(5, 6) olabilir. Koordinatları toplamı: 5 + 6 = 11
Adım 6: Sonuca ulaşalım.
Koordinatlar toplamının alabileceği değerler 3, 7 ve 11’dir.
- En büyük değer: 11
- En küçük değer: 3
Soru bizden bu iki değerin toplamını istiyor.
11 + 3 = 14
Sonuç: A noktasının koordinatları toplamının alabileceği en büyük ve en küçük değerin toplamı 14‘tür.
10. Soru: Kübra ve arkadaşı Dilek, çember oyunu oynamak için yere yarıçapları 6 cm olan birbirlerine teğet çemberler çizip bu çemberlerin içine rastgele sayılar yazmışlardır. Oyunun kurallarını şu şekilde belirlemişlerdir:
- Oyuncunun herhangi bir çemberin merkezine geçmesiyle oyun başlayacaktır.
- Oyuncunun merkezinde bulunduğu çemberden yine o çembere teğet başka bir çemberin merkezine geçebilmesi için çember üzerinde yazan sayıların aralarında asal olmaları gerekmektedir.
- Oyuncu her çemberden bir kez geçebilecektir ve geçilecek çember kalmayınca oyun sonlanacaktır.
- Başladığı noktaya doğrusal olarak en uzak noktada duran oyuncu oyunun kazananı olacaktır.
İçerisinde 6 yazan çemberle Kübra, 45 yazan çemberle Dilek oyuna başladığına göre oyunu kimin kazandığını bulunuz.
Sevgili arkadaşlar, bu soru bir mantık ve sayı teorisi sorusu. Kuralları dikkatlice anlayıp her bir oyuncu için en iyi rotayı bulmamız gerekiyor. En önemli kuralımız, bir çemberden diğerine geçmek için sayıların aralarında asal olması. Unutmayalım, iki sayının 1’den başka ortak böleni yoksa bu sayılar aralarında asaldır. Kazanan ise başlangıç noktasına en uzak mesafeye ulaşan kişi olacak!
Adım 1: Kübra’nın Yolculuğunu Takip Edelim.
Kübra oyuna 6 numaralı çemberden başlıyor. 6’nın bölenleri 1, 2, 3 ve 6’dır. Yani Kübra’nın gidebileceği çemberdeki sayı 2’ye veya 3’e bölünmemeli.
- Başlangıç: 6
- 6’dan 5‘e geçebilir (Aralarında asal).
- 5’ten 7‘ye geçebilir (Aralarında asal).
- 7’den 45‘e geçebilir (Aralarında asal).
- 45’ten 22‘ye geçebilir (Aralarında asal, çünkü 45’in bölenleri 3, 5; 22’nin 2, 11).
Kübra’nın izleyebileceği en uzun yollardan biri: 6 → 5 → 7 → 45 → 22. Kübra oyuna 6 numaralı çemberden başlayıp, 22 numaralı çemberde bitiriyor.
Adım 2: Dilek’in Yolculuğunu Takip Edelim.
Dilek oyuna 45 numaralı çemberden başlıyor. 45’in asal çarpanları 3 ve 5’tir. Yani Dilek’in gideceği çemberdeki sayı 3’e veya 5’e bölünmemeli.
- Başlangıç: 45
- 45’ten 7‘ye geçebilir (Aralarında asal).
- 7’den 5‘e geçebilir (Aralarında asal).
- 5’ten 49‘a geçebilir (Aralarında asal).
- 49’dan 143‘e geçebilir (Aralarında asal, 49=7×7, 143=11×13).
- 143’ten 6‘ya geçebilir (Aralarında asal, 143’ün bölenleri 11,13; 6’nın 2,3).
Dilek’in izleyebileceği en uzun yollardan biri: 45 → 7 → 5 → 49 → 143 → 6. Dilek oyuna 45 numaralı çemberden başlayıp, 6 numaralı çemberde bitiriyor.
Adım 3: Kimin Kazandığını Belirleyelim.
Kazananı bulmak için başlangıç ve bitiş noktaları arasındaki doğrusal mesafeye bakmamız gerekiyor. Çemberlerin konumlarına dikkatlice bakalım:
- Kübra: Sol üst köşedeki 6‘dan başladı, alt ortadaki 22‘de bitirdi.
- Dilek: Sağ alt köşedeki 45‘ten başladı, sol üst köşedeki 6‘da bitirdi.
Şimdi düşünelim, hangi mesafe daha uzun?
Kübra’nın katettiği mesafe, oyun alanının bir köşesinden alt ortasına doğrudur.
Dilek’in katettiği mesafe ise oyun alanının sağ alt köşesinden, tam zıt yöndeki sol üst köşesinedir. Bu, oyun alanının en uzun köşegenlerinden birine denk gelen bir mesafedir.
Görsel olarak bile karşılaştırdığımızda, bir köşeden zıt köşeye olan mesafenin, bir köşeden ortaya olan mesafeden daha uzun olduğu çok açıktır.
Sonuç: Başlangıç noktasına en uzak mesafeye ulaşan Dilek olduğu için oyunu Dilek kazanır.