Harika bir çalışma! Hemen bu olasılık sorularını birlikte analiz edelim ve adım adım çözelim. Bir öğretmen olarak sana en anlaşılır şekilde anlatacağım.
Soru 6:Bir tiyatro salonunun bilet tarifesi yandaki gibidir. Yetişkin ve çocukların aldığı biletlerden elde edilen para miktarları eşit olduğuna göre bu salondan rastgele seçilen bir kişinin çocuk olma olasılığı kaçtır? (Yetişkin bileti 75 TL, Çocuk bileti 60 TL)
Çözüm:
Merhaba sevgili öğrencim, bu soru ilk bakışta biraz kafa karıştırıcı görünebilir ama aslında mantığı çok basit. Gel birlikte çözelim.
- Adım 1: Soruda bize en önemli ipucu olarak yetişkinlerden ve çocuklardan kazanılan toplam paranın eşit olduğu söyleniyor. Yetişkin bileti 75 TL, çocuk bileti ise 60 TL. Bu demek oluyor ki, toplam gelir hem 75’in hem de 60’ın bir katı olmalı. Aklına bir şey geldi mi? Evet, doğru bildin! Bu iki sayının en küçük ortak katını, yani EKOK’unu bulmalıyız.
- Adım 2: Demek ki hem yetişkinlerden hem de çocuklardan en az 300’er TL para toplanmış. Şimdi bu parayla kaç yetişkin ve kaç çocuk bilet alındığını bulalım.
- Yetişkin Sayısı = Toplam Para / Yetişkin Bilet Fiyatı = 300 / 75 = 4 yetişkin
- Çocuk Sayısı = Toplam Para / Çocuk Bilet Fiyatı = 300 / 60 = 5 çocuk
- Adım 3: Artık salondaki toplam kişi sayısını ve çocuk sayısını biliyoruz. Olasılık hesaplama zamanı! Unutma, olasılık formülümüz: İstenen Durum Sayısı / Tüm Durumların Sayısı.
- İstenen Durum: Seçilen kişinin çocuk olması. (Yani 5 kişi)
- Tüm Durumlar: Salondaki toplam kişi sayısı. (4 yetişkin + 5 çocuk = 9 kişi)
EKOK(75, 60) = ?
75 = 3 x 5²
60 = 2² x 3 x 5
EKOK’u bulurken ortak olan asal çarpanlardan üssü büyük olanı ve ortak olmayanları alırız. Yani; 2² x 3 x 5² = 4 x 3 x 25 = 300 TL.
Sonuç olarak, rastgele seçilen bir kişinin çocuk olma olasılığı 5/9‘dur.
Soru 7:Yandaki hedef tahtasında atıcı; kırmızı bölgeye atış yaparsa 8 puan, mavi bölgeye atış yaparsa 5 puan ve turuncu bölgeye atış yaparsa 3 puan kazanacaktır. İki atış yapan Nisa’nın 1. atışından aldığı puan ile 2. atışından aldığı puan farkının en az 2 olma olasılığı kaçtır?
Çözüm:
Bu da güzel bir olasılık sorusu. Hadi Nisa’nın atışlarını inceleyelim.
- Adım 1: Öncelikle Nisa’nın iki atışında alabileceği tüm puan ikililerini, yani tüm olası durumları yazalım. Nisa’nın vurabileceği puanlar {8, 5, 3}.
- (1. Atış, 2. Atış) şeklinde yazarsak:
- (8, 8), (8, 5), (8, 3)
- (5, 8), (5, 5), (5, 3)
- (3, 8), (3, 5), (3, 3)
- Adım 2: Şimdi bizden istenen duruma bakalım: “puan farkının en az 2 olması”. Bu, farkın 2 veya 2’den büyük olması gerektiği anlamına gelir. Şimdi tüm durumlar için puan farklarını (mutlak değer olarak) hesaplayalım.
- |8 – 8| = 0
(İstediğimiz durum değil) - |8 – 5| = 3 (Evet, fark 2’den büyük)
- |8 – 3| = 5 (Evet, fark 2’den büyük)
- |5 – 8| = 3 (Evet, fark 2’den büyük)
- |5 – 5| = 0
(İstediğimiz durum değil) - |5 – 3| = 2 (Evet, fark tam 2)
- |3 – 8| = 5 (Evet, fark 2’den büyük)
- |3 – 5| = 2 (Evet, fark tam 2)
- |3 – 3| = 0
(İstediğimiz durum değil) - Adım 3: İstenen durumları sayalım. Yukarıda “Evet” olarak işaretlediğimiz tam 6 tane durum var. Artık olasılığı hesaplayabiliriz.
- İstenen Durum Sayısı: 6
- Tüm Durumların Sayısı: 9
Gördüğün gibi toplamda 3 x 3 = 9 farklı olası durum var.
Olasılık = 6/9. Bu kesri en sade haline getirelim. Her iki tarafı da 3’e bölersek; 2/3 buluruz.
Sonuç olarak, puan farkının en az 2 olma olasılığı 2/3‘tür.
Soru 8:Üç basamaklı tam kare doğal sayılar, eşit büyüklükteki kartlara her bir kartta farklı bir sayı olacak şekilde yazılarak bir torbaya atılıyor. Bu torbadan rastgele çekilen bir kartın üzerindeki sayının çift olma olasılığı kaçtır?
Çözüm:
Bu soruda tam kare sayıları ve çift sayıları birleştireceğiz. Haydi başlayalım!
- Adım 1: Önce üç basamaklı tam kare sayıları bulalım. Yani karesi 100 ile 999 arasında olan sayıları arıyoruz.
- 10² = 100 (İlk üç basamaklı tam karemiz)
- …
- 30² = 900
- 31² = 961
- 32² = 1024 (Bu dört basamaklı, o yüzden alamayız.)
- Adım 2: Şimdi de istenen durumu, yani bu kartlardan kaç tanesinin çift sayı olduğunu bulalım. Burada çok önemli bir kural var: Bir sayının karesinin çift olması için sayının kendisinin de çift olması gerekir. (Örnek: 4²=16 çift, 5²=25 tek).
- Çift sayılar: 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30
- Adım 3: Olasılığı hesaplayalım.
- İstenen Durum Sayısı (Çift Tam Kareler): 11
- Tüm Durumların Sayısı (Tüm 3 Basamaklı Tam Kareler): 22
Demek ki sayılarımız 10’un karesinden 31’in karesine kadar olan sayılar. Torbadaki toplam kart sayısını bulmak için 10’dan 31’e kadar kaç tane sayı olduğunu bulmalıyız: (Son Terim – İlk Terim) + 1 = (31 – 10) + 1 = 21 + 1 = 22. Torbada 22 tane kart var. Bu bizim “Tüm Durumlarımızın Sayısı”.
Dolayısıyla, 10’dan 31’e kadar olan sayılardan hangileri çift ise onların kareleri de çift olacaktır.
Bu sayıları saydığımızda tam 11 tane çift sayı olduğunu görürüz. Bu da bizim “İstenen Durum Sayımız”.
Olasılık = 11/22. Sadeleştirdiğimizde 1/2 buluruz.
Sonuç olarak, çekilen kartın üzerindeki sayının çift olma olasılığı 1/2‘dir.
Soru 9:Haznesine en fazla dokuz top yerleştirilebilen bir top fırlatma makinesi ve haznesindeki dokuz renkli top aşağıda verilmiştir. Fırlatılan topların yerine hazneye her seferinde şekildeki dizilimle dokuz top yerleştirilecektir. Bu top fırlatma makinesiyle 40 top fırlatılmıştır. Fırlatılan son 10 toptan rastgele seçilen bir topun kırmızı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm:
Bu soru biraz dikkat istiyor, özellikle “son 10 top” ifadesi çok önemli. Hadi fırlatılan topları takip edelim.
- Adım 1: Makine her seferinde 9 top fırlatıyor ve topların dizilimi (sırası) resimdeki gibi sabit: 4 Sarı, 3 Kırmızı, 2 Mavi. Toplam 40 top fırlatılmış. Fırlatma işlemini gruplara ayıralım.
- 1. Grup (İlk 9 top): 4S, 3K, 2M (Toplam 9 top fırlatıldı)
- 2. Grup (10-18. toplar): 4S, 3K, 2M (Toplam 18 top fırlatıldı)
- 3. Grup (19-27. toplar): 4S, 3K, 2M (Toplam 27 top fırlatıldı)
- 4. Grup (28-36. toplar): 4S, 3K, 2M (Toplam 36 top fırlatıldı)
- Adım 2: Şimdi sorunun kilit noktası olan “son 10 topu” bulalım. Son 10 top, 31. toptan 40. topa kadar olan toplardır. Bu topların hangi gruplardan geldiğini ve renklerini bulalım.
- 4. Gruptan Gelenler: Bu grubun topları 28. ile 36. sıra arasındadır. Sıralama 4S, 3K, 2M şeklindeydi.
- 28, 29, 30, 31. toplar Sarı
- 32, 33, 34. toplar Kırmızı
- 35, 36. toplar Mavi
Yani son 10 topun içindeki 31-36 arası toplar şunlar: 1 Sarı, 3 Kırmızı, 2 Mavi. Toplam 6 top.
- 5. Gruptan Gelenler: 36 toptan sonra fırlatılan 37, 38, 39, 40. toplar. Bu grup da 4S, 3K, 2M sırasında başlayacağı için ilk 4 topun hepsi Sarı’dır.
- Adım 3: Artık “son 10 topun” renk dağılımını biliyoruz.
- 4. gruptan gelenler: 1 Sarı, 3 Kırmızı, 2 Mavi
- 5. gruptan gelenler: 4 Sarı
- Toplamda son 10 top: (1+4) Sarı, 3 Kırmızı, 2 Mavi. Yani 5 Sarı, 3 Kırmızı, 2 Mavi.
- İstenen Durum (Kırmızı Top Sayısı): 3
- Tüm Durumlar (Son 10 Topun Sayısı): 10
36 top fırlatıldıktan sonra, 40’a ulaşmak için 4 top daha fırlatılması gerekiyor. Bu 4 top, 5. grubun ilk 4 topu olacaktır.
Bu 10 top arasından rastgele seçilen bir topun kırmızı olma olasılığını bulalım.
Sonuç olarak, fırlatılan son 10 toptan seçilen bir topun kırmızı olma olasılığı 3/10‘dur.