Merhaba sevgili öğrencilerim, bu hafta yine birbirinden güzel ve düşündürücü matematik sorularıyla karşınızdayım. Gelin hep birlikte bu soruları adım adım çözelim ve mantığını iyice kavrayalım. Hazırsanız başlıyoruz!
—
5. İki basamaklı bir sayının kendisi dışındaki en büyük pozitif tam sayı çarpanı ile en küçük pozitif tam sayı çarpanının toplamı 8’dir. Buna göre bu sayı en az kaçtır?
**Çözüm:**
Bu soruda bizden istenen, iki basamaklı bir sayının çarpanlarını inceleyerek en küçük ve en büyük çarpanlarının toplamının 8 olduğu durumu bulmak ve bu sayıyı en küçük seçmek.
**Adım 1:** Bir sayının çarpanları dediğimizde, o sayıyı kalansız bölen sayılar aklımıza gelmeli. Her sayının en küçük pozitif tam sayı çarpanı her zaman 1’dir.
**Adım 2:** Soruda bize verilen bilgiye göre, sayının kendisi dışındaki en büyük pozitif tam sayı çarpanı ile en küçük pozitif tam sayı çarpanının toplamı 8. En küçük çarpanın 1 olduğunu bildiğimize göre, kendisi dışındaki en büyük çarpanı bulmak için 8’den 1’i çıkarırız:
$8 – 1 = 7$
**Adım 3:** Şimdi elimizde iki bilgi var: sayının en küçük çarpanı 1 ve kendisi dışındaki en büyük çarpanı 7. Bir sayının kendisi dışındaki en büyük çarpanı, o sayının kendisinden bir önceki en büyük çarpanıdır. Bu şu anlama gelir: Eğer bir sayının kendisi dışındaki en büyük çarpanı ‘x’ ise, bu sayı ‘x’ ile çarpıldığında elde edilen sayı, o sayının kendisidir. Yani, sayımız aslında 7’nin bir katı olmalı ve aynı zamanda 7’nin kendisi dışında en büyük çarpanı olmalı.
**Adım 4:** Eğer sayımız 7’nin bir katı ise ve bu sayının kendisi dışında en büyük çarpanı 7 ise, bu sayı 7’nin kendisi olamaz. Çünkü soruda “kendisi dışındaki” ifadesi kullanılmış. O halde sayımız 7’nin bir katı olmalı ve 7’den büyük olmalı. En küçük iki basamaklı sayıyı aradığımız için, 7’nin hangi katı iki basamaklı olur diye düşünelim.
7 x 1 = 7 (Tek basamaklı)
7 x 2 = 14 (İki basamaklı)
**Adım 5:** Sayımız 14 olursa, çarpanlarına bakalım: 1, 2, 7, 14.
Kendisi dışındaki en büyük çarpanı 7’dir.
En küçük pozitif tam sayı çarpanı 1’dir.
Bu ikisinin toplamı $7 + 1 = 8$’dir.
Aynı zamanda 14 iki basamaklı bir sayıdır.
**Adım 6:** Peki daha küçük iki basamaklı bir sayı olabilir mi? 7’nin katları dışında bir sayı düşünelim. Eğer sayımız 7’nin katı değilse, kendisi dışındaki en büyük çarpanı 7 olamaz. Mesela, sayımız 15 olsaydı, çarpanları 1, 3, 5, 15 olurdu. Kendisi dışındaki en büyük çarpanı 5 olurdu. Bu da 7’ye eşit değil.
**Adım 7:** Soruda “en az kaçtır” diye sorulduğu için, bulduğumuz 14 sayısı bu şartları sağlayan en küçük iki basamaklı sayıdır.
Sonuç: 14
—
6. A ve B iki basamaklı birbirinden farklı iki doğal sayıdır. A = $2^a cdot 5^b$ ve B = $2^c cdot 3^d cdot 7$ olduğuna göre A + B’nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
**Çözüm:**
Sevgili öğrenciler, bu soruda üslü ifadelerle verilen iki sayının toplamının en büyük değerini bulmamız isteniyor. A ve B sayıları iki basamaklı ve birbirinden farklı doğal sayılar olacak.
**Adım 1:** A sayısının formülüne bakalım: A = $2^a cdot 5^b$. A sayısının iki basamaklı olabilmesi için alabileceği en büyük değeri düşünelim.
* Eğer a=1, b=1 ise A = $2^1 cdot 5^1 = 2 cdot 5 = 10$ (İki basamaklı)
* Eğer a=2, b=1 ise A = $2^2 cdot 5^1 = 4 cdot 5 = 20$ (İki basamaklı)
* Eğer a=1, b=2 ise A = $2^1 cdot 5^2 = 2 cdot 25 = 50$ (İki basamaklı)
* Eğer a=3, b=1 ise A = $2^3 cdot 5^1 = 8 cdot 5 = 40$ (İki basamaklı)
* Eğer a=2, b=2 ise A = $2^2 cdot 5^2 = 4 cdot 25 = 100$ (Üç basamaklı, bu olamaz)
A sayısının alabileceği en büyük iki basamaklı değerleri bulmak için üsleri en büyük seçmeye çalışalım.
* $2^1 cdot 5^2 = 50$
* $2^2 cdot 5^1 = 20$
* $2^3 cdot 5^1 = 40$
* $2^4 cdot 5^1 = 16 cdot 5 = 80$ (İki basamaklı)
* $2^5 cdot 5^1 = 32 cdot 5 = 160$ (Üç basamaklı)
* $2^1 cdot 5^3 = 2 cdot 125 = 250$ (Üç basamaklı)
A sayısının alabileceği en büyük iki basamaklı değerlerden biri 80’dir. Başka kombinasyonlara bakalım:
* $2^a cdot 5^b$ şeklinde en büyük iki basamaklı sayıları bulmaya çalışalım.
* $2^1 cdot 5^1 = 10$
* $2^2 cdot 5^1 = 20$
* $2^3 cdot 5^1 = 40$
* $2^4 cdot 5^1 = 80$
* $2^1 cdot 5^2 = 50$
* $2^2 cdot 5^2 = 100$ (Üç basamaklı)
* $2^1 cdot 5^3 = 250$ (Üç basamaklı)
* $2^1 cdot 5^1 = 10$
* $2^2 cdot 5^1 = 20$
* $2^3 cdot 5^1 = 40$
* $2^4 cdot 5^1 = 80$
* $2^5 cdot 5^1 = 160$
* $2^1 cdot 5^2 = 50$
* $2^2 cdot 5^2 = 100$
* $2^1 cdot 5^3 = 250$
A’nın alabileceği en büyük iki basamaklı sayı 80 ($2^4 cdot 5^1$).
**Adım 2:** B sayısının formülüne bakalım: B = $2^c cdot 3^d cdot 7$. B sayısının da iki basamaklı olabilmesi için alabileceği en büyük değeri bulalım.
* Eğer c=1, d=1 ise B = $2^1 cdot 3^1 cdot 7 = 2 cdot 3 cdot 7 = 42$ (İki basamaklı)
* Eğer c=2, d=1 ise B = $2^2 cdot 3^1 cdot 7 = 4 cdot 3 cdot 7 = 84$ (İki basamaklı)
* Eğer c=1, d=2 ise B = $2^1 cdot 3^2 cdot 7 = 2 cdot 9 cdot 7 = 126$ (Üç basamaklı)
* Eğer c=3, d=1 ise B = $2^3 cdot 3^1 cdot 7 = 8 cdot 3 cdot 7 = 168$ (Üç basamaklı)
B’nin alabileceği en büyük iki basamaklı değer 84 ($2^2 cdot 3^1 cdot 7$).
**Adım 3:** Şimdi A + B toplamının en büyük değerini istiyoruz. Bunun için A ve B’yi en büyük seçmeliyiz.
Ancak burada bir püf nokta var: A ve B birbirinden farklı olmalı.
* Eğer A = 80 ($2^4 cdot 5^1$) seçersek, B’nin alabileceği en büyük iki basamaklı değer 84 ($2^2 cdot 3^1 cdot 7$). Bu iki sayı farklı.
Bu durumda A + B = $80 + 84 = 164$.
* Peki A’yı başka ne seçebiliriz? Mesela A = 50 ($2^1 cdot 5^2$) seçersek.
B’nin alabileceği en büyük iki basamaklı değer 84 ($2^2 cdot 3^1 cdot 7$). Farklılar.
A + B = $50 + 84 = 134$. (Bu daha küçük oldu)
* B’yi en büyük seçerek başlayalım. B = 84 ($2^2 cdot 3^1 cdot 7$).
Şimdi A’nın alabileceği en büyük iki basamaklı değeri bulalım. A = $2^a cdot 5^b$ şeklinde olmalı ve 84’ten farklı olmalı.
A’nın alabileceği en büyük iki basamaklı değerler şunlardı: 80, 50, 40, 20, 10.
80 sayısı 84’ten farklı. O zaman A=80 seçebiliriz.
A + B = $80 + 84 = 164$.
* Başka bir olasılık: B = 42 ($2^1 cdot 3^1 cdot 7$).
A’nın alabileceği en büyük iki basamaklı değerlerden 80’i seçebiliriz.
A + B = $80 + 42 = 122$. (Daha küçük)
* En büyük toplamı elde etmek için A ve B’yi mümkün olduğunca büyük seçmeliyiz.
A’nın alabileceği en büyük iki basamaklı değerler: 80, 50, 40, …
B’nin alabileceği en büyük iki basamaklı değerler: 84, 42, …
Eğer A = 80 ($2^4 cdot 5^1$) ve B = 84 ($2^2 cdot 3^1 cdot 7$) seçersek, A+B = 164 olur.
Eğer A = 50 ($2^1 cdot 5^2$) ve B = 84 ($2^2 cdot 3^1 cdot 7$) seçersek, A+B = 134 olur.
Eğer A = 80 ($2^4 cdot 5^1$) ve B = 42 ($2^1 cdot 3^1 cdot 7$) seçersek, A+B = 122 olur.
En büyük toplamı elde etmek için en büyük A ve en büyük B’yi seçmeye çalışmalıyız.
A’nın alabileceği en büyük iki basamaklı değer: 80 ($2^4 cdot 5^1$)
B’nin alabileceği en büyük iki basamaklı değer: 84 ($2^2 cdot 3^1 cdot 7$)
Bu iki sayı birbirinden farklıdır.
Bu durumda A + B = $80 + 84 = 164$.
Sonuç: 164
—
7. 9 ve 10’a bölündüğünde 4 kalanı veren en büyük iki basamaklı sayı kaçtır?
**Çözüm:**
Bu soruda, hem 9’a hem de 10’a bölündüğünde 4 kalanını veren en büyük iki basamaklı sayıyı bulacağız.
**Adım 1:** Bir sayının hem 9’a hem de 10’a bölünebilmesi için, o sayının 9 ve 10’un ortak katı olması gerekir. 9 ve 10’un en küçük ortak katını (EKOK) bulalım.
9 ve 10 aralarında asal sayılar oldukları için EKOK’ları çarpımlarına eşittir:
EKOK(9, 10) = $9 times 10 = 90$.
**Adım 2:** Şimdi bu ortak katın üzerine 4 ekleyerek 9 ve 10’a bölündüğünde 4 kalanını veren sayıyı elde edebiliriz.
Bu sayıların genel formu: $90k + 4$ (burada k bir tam sayıdır).
**Adım 3:** Bizden istenen en büyük iki basamaklı sayı. O zaman k’ya değerler vererek iki basamaklı sayıları bulalım ve en büyüğünü seçelim.
* Eğer k = 0 ise, sayı = $90 times 0 + 4 = 4$. (Tek basamaklı, bu olmaz)
* Eğer k = 1 ise, sayı = $90 times 1 + 4 = 90 + 4 = 94$. (İki basamaklı, bu olur)
* Eğer k = 2 ise, sayı = $90 times 2 + 4 = 180 + 4 = 184$. (Üç basamaklı, bu olmaz)
**Adım 4:** Bulduğumuz iki basamaklı sayılar arasında en büyüğü 94’tür.
Kontrol edelim:
94’ü 9’a bölelim: $94 div 9 = 10$ kalan 4. (Doğru)
94’ü 10’a bölelim: $94 div 10 = 9$ kalan 4. (Doğru)
Sonuç: 94
—
8. Dik üçgen şeklindeki bir bölgenin alanı $6 text{ cm}^2$ ve kenar uzunlukları birer tam sayıdır. Buna göre bu üçgenin dik kenarlarından uzun olanının santimetre cinsinden alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
**Çözüm:**
Sevgili öğrenciler, dik üçgenin alan formülünü ve tam sayılarla çalışma prensibini hatırlayalım.
**Adım 1:** Dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısına eşittir. Alanı 6 cm$^2$ olarak verilmiş. Dik kenar uzunlukları da tam sayı olacak.
Dik kenarlara ‘a’ ve ‘b’ diyelim. Alan formülü şöyledir:
Alan = $frac{a times b}{2}$
$6 = frac{a times b}{2}$
**Adım 2:** Bu denklemden a x b’yi bulalım.
$a times b = 6 times 2$
$a times b = 12$
**Adım 3:** Şimdi a ve b’nin tam sayı olduğunu biliyoruz. a ve b’yi çarptığımızda 12 elde eden tam sayı çiftlerini bulalım. Bu çiftler, dik kenar uzunluklarını temsil eder.
Olası (a, b) çiftleri şunlardır (sırası önemli değil, çünkü dik kenarlar):
* (1, 12)
* (2, 6)
* (3, 4)
**Adım 4:** Soruda bizden istenen, dik kenarlarından uzun olanının alabileceği en küçük tam sayı değeri.
Şimdi bulduğumuz her çift için dik kenarlarından uzun olanını belirleyelim:
* Çift (1, 12) için: Uzun kenar 12’dir.
* Çift (2, 6) için: Uzun kenar 6’dır.
* Çift (3, 4) için: Uzun kenar 4’tür.
**Adım 5:** Bu uzun kenar değerleri (12, 6, 4) arasından en küçüğünü seçelim.
En küçük değer 4’tür.
Bu durumda, dik kenarlar 3 cm ve 4 cm olan bir dik üçgenin alanı $frac{3 times 4}{2} = frac{12}{2} = 6 text{ cm}^2$ olur. Dik kenarlarından uzun olanı 4 cm’dir ve bu alabileceği en küçük değerdir.
Sonuç: 4
—
9. Altlarında alanları yazan dikdörtgen şeklindeki üç fayans aşağıda verilmiştir. Fayansların kenar uzunlukları desimetre cinsinden birer tam sayıdır. Buna göre bu fayanslardan birer tane kullanılarak aralarında hiç boşluk kalmadan kaplanabilecek bölgenin çevresinin uzunluğu en az kaç desimetredir?
**Çözüm:**
Bu soruda, verilen alanlara sahip dikdörtgen şeklindeki fayansların kenar uzunluklarını bulacağız ve sonra bu fayansları yan yana getirerek oluşturulabilecek en küçük çevre uzunluğunu hesaplayacağız.
**Adım 1:** Her bir fayansın alanını ve kenar uzunluklarının tam sayı olduğunu biliyoruz. Dikdörtgenin alanı = uzun kenar x kısa kenar.
* **Pembe Fayans:** Alanı 25 dm$^2$. Kenar uzunlukları tam sayı olmalı.
25’in çarpanları: 1, 5, 25.
Olası kenar uzunlukları: (1, 25) veya (5, 5).
Eğer kenarlar 5 dm ve 5 dm ise, bu bir karedir. Kare de bir dikdörtgen çeşididir.
* **Mavi Fayans:** Alanı 35 dm$^2$. Kenar uzunlukları tam sayı olmalı.
35’in çarpanları: 1, 5, 7, 35.
Olası kenar uzunlukları: (1, 35) veya (5, 7).
* **Gri Fayans:** Alanı 84 dm$^2$. Kenar uzunlukları tam sayı olmalı.
84’ün çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.
Olası kenar uzunlukları (birkaç tanesi): (1, 84), (2, 42), (3, 28), (4, 21), (6, 14), (7, 12).
**Adım 2:** Fayansları yan yana getirerek hiç boşluk kalmadan bir bölge oluşturacağız ve bu bölgenin çevresini en az yapmak istiyoruz. Çevrenin en az olması için, oluşturduğumuz şeklin mümkün olduğunca kareye yakın olması gerekir. Bu da fayansların kenar uzunluklarının birbirine yakın seçilmesine bağlıdır.
**Adım 3:** Fayansların kenar uzunluklarını en uygun şekilde seçelim:
* Pembe (25 dm$^2$): Kenarlar 5 dm ve 5 dm. (Bu bir karedir.)
* Mavi (35 dm$^2$): Kenarlar 5 dm ve 7 dm. (5 ve 7 birbirine yakın.)
* Gri (84 dm$^2$): Kenarlar 7 dm ve 12 dm. (7 ve 12 birbirine yakın.) veya 6 dm ve 14 dm. (6 ve 14 daha uzak.) Ya da 7 ve 12 daha mantıklı görünüyor.
**Adım 4:** Şimdi bu fayansları yan yana getirerek en küçük çevreyi oluşturmaya çalışalım. En küçük çevreyi elde etmek için, fayansların ortak kenarlarını olabildiğince uzun seçmeliyiz.
* Pembe fayansın kenarları 5×5.
* Mavi fayansın kenarları 5×7.
* Gri fayansın kenarları 7×12 (veya 6×14).
Ortak kenarları olabildiğince büyük seçelim.
Pembe ve Mavi fayansın ortak kenarı 5 dm olabilir.
Mavi ve Gri fayansın ortak kenarı 7 dm olabilir.
Bu durumda fayansları şu şekilde yan yana getirebiliriz:
Pembe (5×5) ile Mavi (5×7) fayansını, 5 dm’lik kenarlarından birleştirirsek, oluşan şeklin kenarları 5 dm ve (5+7)=12 dm olur.
Bu 5×12’lik şeklin yanına Gri fayansı (7×12) ekleyebiliriz. Ancak bu durumda ortak kenar 12 dm olur.
Pembe (5×5) + Mavi (5×7) –> Birleşince 5×12’lik bir dikdörtgen oluşur.
Bu 5×12’lik dikdörtgenin yanına Gri (7×12) fayansını 12 dm’lik kenarlarından birleştirirsek, oluşan şeklin kenarları (5+7) dm ve 12 dm olur. Yani 12×12’lik bir kare oluşur.
Bu durumda oluşan şekil 12 dm x 12 dm’lik bir karedir.
Bu karenin çevresi = $4 times text{kenar uzunluğu}$
Çevre = $4 times 12 text{ dm} = 48 text{ dm}$.
Başka bir birleştirme deneyelim:
Gri fayansın kenarları 7×12.
Mavi fayansın kenarları 5×7.
Pembe fayansın kenarları 5×5.
Gri ve Mavi fayansları 7 dm’lik kenarlarından birleştirirsek:
Gri (7×12) + Mavi (5×7) –> Birleşince (12+5) dm ve 7 dm olur. Yani 17×7’lik bir dikdörtgen oluşur.
Bu 17×7’lik dikdörtgenin yanına Pembe (5×5) fayansını ekleyemeyiz çünkü ortak kenar yok.
En küçük çevreyi elde etmek için, fayansların kenar uzunluklarını seçerken ortak kenarların büyük olmasına dikkat etmeliyiz.
Tekrar fayansların kenar uzunluklarına bakalım:
Pembe: 5×5
Mavi: 5×7
Gri: 7×12
Bu üç fayansı yan yana dizerek en küçük çevreyi elde etmek istiyoruz.
Eğer Pembe (5×5) ve Mavi (5×7) fayansını 5’lik kenarlarından birleştirirsek, oluşan şekil 5×12’lik bir dikdörtgen olur.
Bu 5×12’lik dikdörtgenin yanına Gri (7×12) fayansını 12’lik kenarından birleştirirsek, oluşan şekil (5+7)x12 yani 12×12’lik bir kare olur.
Çevresi = $4 times 12 = 48$ dm.
Başka bir olasılık:
Mavi (5×7) ve Gri (7×12) fayanslarını 7’lik kenarlarından birleştirirsek, oluşan şekil (5+12)x7 yani 17×7’lik bir dikdörtgen olur.
Bu 17×7’lik dikdörtgenin yanına Pembe (5×5) fayansını eklemeye çalışalım. Ortak kenar bulmak zor.
En mantıklı birleştirme, ortak kenarları olabildiğince büyük tutarak olabildiğince kareye yakın bir şekil elde etmektir.
Pembe: 5×5
Mavi: 5×7
Gri: 7×12
Şekilleri birbirine eklerken, ortak kenarların uzunluğunu maksimize etmeye çalışalım.
Pembe (5×5) ve Mavi (5×7) fayanslarını 5’lik kenarlarından birleştirirsek, oluşan şeklin boyutları 5 ve (5+7)=12 olur. Yani 5×12’lik bir dikdörtgen.
Bu 5×12’lik dikdörtgenin yanına Gri (7×12) fayansını 12’lik kenarından birleştirirsek, oluşan şeklin boyutları (5+7)=12 ve 12 olur. Yani 12×12’lik bir kare.
Bu karenin çevresi $4 times 12 = 48$ dm’dir.
Başka bir birleştirme deneyelim:
Mavi (5×7) ve Gri (7×12) fayanslarını 7’lik kenarlarından birleştirirsek, oluşan şeklin boyutları (5+12)=17 ve 7 olur. Yani 17×7’lik bir dikdörtgen.
Bu 17×7’lik dikdörtgenin yanına Pembe (5×5) fayansını eklemeye çalışalım. Ortak kenar yok.
En küçük çevreyi elde etmek için, oluşturulan şeklin kenar uzunluklarının birbirine en yakın olması gerekir.
12×12’lik kare en uygun şekildir.
Sonuç: 48