8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Meb Yayınları Sayfa 75
Merhaba sevgili öğrencim, matematik dersimize hoş geldin! Gönderdiğin görseldeki soruları senin için adım adım, tane tane çözeceğim. Takıldığın bir yer olursa hiç çekinme, tekrar sorabilirsin. Hadi başlayalım!
Soru 6: Aşağıdaki kareköklü ifadeleri büyükten küçüğe doğru sıralayınız.
Bu tür sorularda en kolay yöntem, kök dışındaki sayıları kökün içine almaktır. Unutma, bir sayıyı kökün içine alırken karesini alarak içerideki sayıyla çarparız. Yani a√b = √(a² * b) formülünü kullanacağız.
a) 4√2, 2√6, 3√3
- 4√2 = √(4² * 2) = √(16 * 2) = √32
- 2√6 = √(2² * 6) = √(4 * 6) = √24
- 3√3 = √(3² * 3) = √(9 * 3) = √27
Şimdi kök içindeki sayıları karşılaştıralım: 32 > 27 > 24. Öyleyse sıralamamız da bu şekilde olacak.
Sonuç: 4√2 > 3√3 > 2√6
b) 8, 3√7, √65
- 8 = √64
- 3√7 = √(3² * 7) = √(9 * 7) = √63
- √65‘i zaten kök içinde olduğu için dokunmuyoruz.
Kök içindeki sayılar: 65 > 64 > 63.
Sonuç: √65 > 8 > 3√7
c) 4√5, √87, 2√21
- 4√5 = √(4² * 5) = √(16 * 5) = √80
- √87‘ye dokunmuyoruz.
- 2√21 = √(2² * 21) = √(4 * 21) = √84
Kök içindeki sayılar: 87 > 84 > 80.
Sonuç: √87 > 2√21 > 4√5
ç) 3√11, 6√3, 7√2
- 3√11 = √(3² * 11) = √(9 * 11) = √99
- 6√3 = √(6² * 3) = √(36 * 3) = √108
- 7√2 = √(7² * 2) = √(49 * 2) = √98
Kök içindeki sayılar: 108 > 99 > 98.
Sonuç: 6√3 > 3√11 > 7√2
Soru 7: Alanı 240 santimetrekare olan dairenin yarıçap uzunluğu santimetre cinsinden a√b şeklinde ifade ediliyor. Buna göre √a·b ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz. (π = 3 alınız.)
Harika bir soru! Adım adım gidelim.
Adım 1: Dairenin alan formülünü hatırlayalım: Alan = π * r². Soruda bize verilenleri yerine yazalım.
240 = 3 * r²
Adım 2: Yarıçapın karesini (r²) bulmak için her iki tarafı 3’e bölelim.
r² = 240 / 3
r² = 80
Adım 3: Yarıçapı (r) bulmak için 80’in karekökünü alalım.
r = √80
Adım 4: Şimdi √80’i a√b şeklinde yazmanın farklı yollarını bulalım. Unutma, a√b şeklinde yazarken kök içinde tam kare bir çarpan ararız.
- √80 = √(4 * 20) = 2√20. Bu durumda a=2, b=20 olur.
- √80 = √(16 * 5) = 4√5. Bu durumda a=4, b=5 olur.
Adım 5: Soru bizden √a·b ifadesinin en küçük değerini istiyor. Bulduğumuz a ve b değerleri için a·b çarpımını hesaplayalım.
- a=2, b=20 için → a·b = 2 * 20 = 40
- a=4, b=5 için → a·b = 4 * 5 = 20
Gördüğün gibi, a·b çarpımının en küçük değeri 20’dir.
Adım 6: Şimdi bu en küçük değeri istenen ifadede yerine yazalım: √a·b = √20.
Son olarak √20’yi de a√b şeklinde yazarak sadeleştirelim: √20 = √(4 * 5) = 2√5.
Sonuç: 2√5
Soru 8: Bir karenin alanı, kenar uzunluğu 3√15 cm olan karenin alanından büyük ve santimetre cinsinden bir doğal sayıdır. Karenin alanının alabileceği en küçük değer için bir kenar uzunluğunu santimetre cinsinden a√b şeklinde ifade ediniz. (a ≠ 1)
Bu soruyu da birlikte parçalara ayıralım.
Adım 1: Önce bize verilen referans karenin alanını bulalım. Karenin alanı bir kenarının karesine eşittir.
Alan = (3√15)² = 3² * (√15)² = 9 * 15 = 135 cm²
Adım 2: Yeni karemizin alanı 135’ten büyük bir doğal sayı olmalıymış. Bizden alanın en küçük değeri istendiği için 135’ten büyük en küçük doğal sayıyı seçmeliyiz. Bu sayı 136‘dır.
Yani yeni karemizin alanı 136 cm².
Adım 3: Alanı 136 cm² olan bir karenin bir kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü alırız.
Kenar = √136
Adım 4: Şimdi √136’yı a√b şeklinde yazmamız gerekiyor ve soruda a ≠ 1 şartı var. Bunun için 136’yı asal çarpanlarına ayıralım veya içinde tam kare bir çarpan arayalım.
136 = 4 * 34
√136 = √(4 * 34) = √4 * √34 = 2√34
Burada a=2 ve b=34 oluyor. a=2 olduğu için a ≠ 1 şartını da sağlamış olduk.
Sonuç: 2√34
Soru 9: 12√5 = √a·15 ve 11√12 = √b·33. Yukarıdaki eşitliklere göre √(a+b)/(a-b) ifadesinin eşit olduğu sayıyı bulunuz.
Bu soruda önce a ve b sayılarını bulacağız, sonra da yerlerine koyacağız.
Adım 1: ‘a’ sayısını bulalım.
12√5 = √a·15
Eşitliğin sol tarafındaki 12’yi kök içine alalım: 12√5 = √(12² * 5) = √(144 * 5) = √720.
Şimdi eşitliğimiz şöyle oldu: √720 = √a·15. Köklerin içleri de birbirine eşit olmalıdır.
720 = a * 15
a = 720 / 15 = 48. a’yı bulduk: 48.
Adım 2: ‘b’ sayısını bulalım.
11√12 = √b·33
11’i kök içine alalım: 11√12 = √(11² * 12) = √(121 * 12) = √1452.
Eşitliğimiz: √1452 = √b·33. Köklerin içleri eşit olmalı.
1452 = b * 33
b = 1452 / 33 = 44. b’yi de bulduk: 44.
Adım 3: Şimdi bulduğumuz a ve b değerlerini bizden istenen ifadede yerine yazalım.
√( (a+b) / (a-b) ) = √( (48+44) / (48-44) )
= √( 92 / 4 )
= √23
23 asal bir sayı olduğu için kök dışına çıkamaz.
Sonuç: √23
Soru 10: x ve y iki basamaklı asal sayılardır. 5x-y ifadesi tam kare sayıya eşittir. x ve y’nin toplamının en küçük değerinin karekökü a√b şeklinde ifade edildiğine göre b/a en az kaç olur?
Bu soru biraz daha dikkat istiyor ama eminim birlikte hallederiz.
Adım 1: 5x-y ifadesinin bir tam kare olması ne demek, onu anlayalım. Bir üslü ifadenin tam kare olması için kuvvetinin çift sayı olması gerekir. Demek ki (x-y) çift bir sayı olmalı.
Adım 2: x ve y, iki basamaklı asal sayılarmış. İki basamaklı en küçük asal sayıları düşünelim: 11, 13, 17, 19, 23…
Adım 3: Soru bizden x+y toplamının en küçük olmasını istiyor. Toplamın en küçük olması için seçeceğimiz x ve y sayılarının da olabildiğince küçük olması gerekir. Ayrıca farkları da çift olmalı. İki sayının farkının çift olması için ya ikisi de tek ya da ikisi de çift olmalıdır. 2 dışındaki tüm asal sayılar tek olduğu için, seçeceğimiz iki basamaklı x ve y kesinlikle tek sayıdır. Yani farkları her zaman çift olacaktır.
Adım 4: En küçük toplamı bulmak için en küçük iki basamaklı asal sayıları deneyelim.
En küçük iki basamaklı asal sayılar 11 ve 13‘tür.
Farkları: 13 – 11 = 2 (çift bir sayı, şartımızı sağladı).
Toplamları: 11 + 13 = 24.
Başka küçük asal sayı çiftleri deneyelim: (11, 17) toplamı 28, (13, 17) toplamı 30. Gördüğün gibi en küçük toplam 24 oluyor.
Adım 5: x+y’nin en küçük değerini 24 olarak bulduk. Şimdi bu değerin karekökünü alıp a√b şeklinde yazmamız isteniyor.
√24 = √(4 * 6) = 2√6
Bu durumda a=2 ve b=6 olur.
Adım 6: Son olarak bizden istenen b/a oranını bulalım.
b/a = 6 / 2 = 3
Sonuç: 3
Umarım açıklamalarım anlaşılır olmuştur. Matematik bol pratikle daha da kolaylaşacaktır. Başarılar dilerim