Harika bir çalışma! Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencileri, ben sizin matematik öğretmeniniz. Şimdi bana gönderdiğiniz bu alıştırmaları birlikte, adım adım çözeceğiz. Kareköklü sayılar konusu ne kadar keyifli, değil mi? Hadi başlayalım!
1. Soru: Aşağıdaki ifadeleri a√b şeklinde yazınız.
Bu soruda bizden, karekök içindeki sayıyı daha sade bir şekilde yazmamız isteniyor. Kuralımız çok basit: Kök içindeki sayıyı, biri tam kare (yani bir sayının karesi olan, kök dışına çıkabilen) olacak şekilde iki sayının çarpımı olarak yazmaya çalışacağız.
a) √45
Adım 1: 45 sayısını, içinde tam kare bir çarpan olacak şekilde düşünelim. Aklımıza hemen 9 x 5 geliyor. 9, 3’ün karesi olduğu için tam kare bir sayıdır.
Adım 2: İfadeyi √(9 x 5) olarak yazabiliriz. Karekökün içindeki çarpım halindeki sayıları ayrı ayrı köklerde yazabiliriz: √9 x √5.
Adım 3: √9, kök dışına “3” olarak çıkar. Ama 5 tam kare olmadığı için kök içinde kalır.
Sonuç:3√5b) √63
Adım 1: 63 sayısının çarpanlarını düşünelim. Yine 9 aklımıza geliyor! 63 = 9 x 7.
Adım 2: İfadeyi √(9 x 7) yani √9 x √7 şeklinde yazalım.
Adım 3: √9 dışarı “3” olarak çıkar, 7 ise içeride kalır.
Sonuç:3√7c) √147
Adım 1: 147 biraz daha büyük bir sayı. Acaba hangi tam kare sayıya bölünür? 4, 9, 16, 25, 36, 49… diye deneyebiliriz. 147’yi 3’e bölersek 49 olduğunu görürüz. 49 da 7’nin karesi! Harika.
Adım 2: O zaman √147 = √(49 x 3) = √49 x √3 yazabiliriz.
Adım 3: √49 kök dışına “7” olarak çıkar, 3 içeride kalır.
Sonuç:7√3ç) √242
Adım 1: 242 çift bir sayı, 2’ye bölmeyi deneyelim. 242 / 2 = 121. 121’i tanıyoruz, o 11’in karesi!
Adım 2: Demek ki √242 = √(121 x 2) = √121 x √2 şeklinde yazılabilir.
Adım 3: √121 dışarıya “11” olarak çıkar, 2 içeride kalır.
Sonuç:11√2
2. Soru: Aşağıdaki ifadelerde katsayıları karekök içine alınız.
Bu defa ilk sorunun tam tersini yapacağız. Dışarıdaki katsayıyı kökün içine alacağız. Bir sayı kökün içine girerken karesini alarak girer. Tıpkı kökten çıkarken karekökünü alarak çıkması gibi.
a) 3√4
Adım 1: Dışarıdaki 3’ü içeri alacağız. İçeri girerken karesini alacak, yani 32 = 9 olacak.
Adım 2: İçeride zaten bir 4 vardı. O zaman kök içinde 9 ile 4’ü çarpmamız gerekir: √(9 x 4).
Sonuç:√36b) 5√6
Adım 1: 5 içeriye 52 yani 25 olarak girer.
Adım 2: İçerideki 6 ile çarpılır: √(25 x 6).
Sonuç:√150c) 2√7
Adım 1: 2 içeriye 22 yani 4 olarak girer.
Adım 2: İçerideki 7 ile çarpılır: √(4 x 7).
Sonuç:√28ç) 4√11
Adım 1: 4 içeriye 42 yani 16 olarak girer.
Adım 2: İçerideki 11 ile çarpılır: √(16 x 11).
Sonuç:√176
3. Soru: Aşağıdaki eşitlikleri sağlayan a’nın tam sayı değerlerini bulunuz.
Bu soruda bir sayının farklı a√b şekillerini düşüneceğiz. Kök dışına çıkarabileceğimiz her tam kare çarpanın karekökü, ‘a’ için bir değer olacaktır. Unutmayın, hiçbir şeyi dışarı çıkarmazsak katsayı 1 olur, bu da bir seçenektir.
a) √32 = a√b
Adım 1: 32’nin tam kare çarpanlarını bulalım. Bunlar 4 ve 16’dır. Tabii bir de 1 var.
Adım 2:- Hiçbir şey çıkarmazsak: 1√32 (a=1)
- 4’ü dışarı çıkarırsak: √(4 x 8) = 2√8 (a=2)
- 16’yı dışarı çıkarırsak: √(16 x 2) = 4√2 (a=4)
Sonuç: a’nın alabileceği tam sayı değerleri 1, 2, 4‘tür.
b) √128 = a√b
Adım 1: 128’in tam kare çarpanları: 4, 16, 64. (Ve 1)
Adım 2:- 1√128 (a=1)
- √(4 x 32) = 2√32 (a=2)
- √(16 x 8) = 4√8 (a=4)
- √(64 x 2) = 8√2 (a=8)
Sonuç: a’nın alabileceği tam sayı değerleri 1, 2, 4, 8‘dir.
c) √200 = a√b
Adım 1: 200’ün tam kare çarpanları: 4, 25, 100. (Ve 1)
Adım 2:- 1√200 (a=1)
- √(4 x 50) = 2√50 (a=2)
- √(25 x 8) = 5√8 (a=5)
- √(100 x 2) = 10√2 (a=10)
Sonuç: a’nın alabileceği tam sayı değerleri 1, 2, 5, 10‘dur.
ç) √450 = a√b
Adım 1: 450’nin tam kare çarpanları: 9, 25, 225. (Ve 1)
Adım 2:- 1√450 (a=1)
- √(9 x 50) = 3√50 (a=3)
- √(25 x 18) = 5√18 (a=5)
- √(225 x 2) = 15√2 (a=15)
Sonuç: a’nın alabileceği tam sayı değerleri 1, 3, 5, 15‘tir.
4. Soru: a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere a√b = √192 ise a ile b tam sayılarının toplamının alabileceği en küçük değeri bulunuz.
Bu tür sorularda bir ipucu var çocuklar: a+b toplamının en küçük olması için, kök dışına çıkarabileceğimiz en büyük sayıyı çıkarmalıyız. Yani ‘a’yı olabildiğince büyük, ‘b’yi de olabildiğince küçük yapmalıyız.
Adım 1: √192’yi a√b şeklinde yazmanın tüm yollarını bulalım. 192’nin en büyük tam kare çarpanını bulmak en iyisi. 192’yi asal çarpanlarına ayırırsak: 192 = 64 x 3. 64, 8’in karesi!
Adım 2: En sade hali √192 = √(64 x 3) = 8√3’tür. Bu durumda a=8 ve b=3 olur.
Adım 3: a + b toplamını hesaplayalım: 8 + 3 = 11.
Adım 4: (Sağlamasını yapalım) Diğer ihtimalleri de düşünelim:
- 1√192 için a=1, b=192 → a+b = 193
- √(4×48) = 2√48 için a=2, b=48 → a+b = 50
- √(16×12) = 4√12 için a=4, b=12 → a+b = 16
Gördüğünüz gibi en küçük toplam, ‘a’ en büyük olduğunda ortaya çıkıyor.
Sonuç: a+b’nin alabileceği en küçük değer 11‘dir.
5. Soru: √(26 + 25 + 24 + 23) = a√b ise a + b en az kaçtır?
Bu soru bir öncekiyle aynı mantıkta, sadece önce kök içindeki işlemi yapmamız gerekiyor. Sakın üslü sayıları kök dışına ayrı ayrı çıkarmaya çalışmayın, arada toplama var! Önce toplama yapılır.
Adım 1: Kök içindeki üslü ifadelerin değerlerini bulup toplayalım.
26 = 64
25 = 32
24 = 16
23 = 8
Toplam: 64 + 32 + 16 + 8 = 120.
Adım 2: Sorumuz aslında √120 = a√b ise a+b en az kaçtır? sorusuna dönüştü. Tıpkı 4. sorudaki gibi, a+b’nin en az olması için √120’yi en sade haline getirmeliyiz.
Adım 3: 120’nin en büyük tam kare çarpanını bulalım. 120 = 4 x 30. 4, 2’nin karesidir. 30’un içinde başka tam kare çarpan yoktur.
Adım 4: √120 = √(4 x 30) = 2√30. Bu durumda a=2 ve b=30 olur.
Adım 5: a + b toplamını bulalım: 2 + 30 = 32.
Sonuç: a + b toplamı en az 32‘dir.
Umarım hepsi anlaşılmıştır. Unutmayın, bol bol pratik yaparak bu konuyu çok daha iyi kavrayabilirsiniz. Harikasınız çocuklar, çalışmaya devam!