8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Meb Yayınları Sayfa 120

Merhaba sevgili öğrencim,

Harika sorular göndermişsin! Matematik dersimizin en zevkli konularından olan olasılık ve sayılarla ilgili bu soruları birlikte, adım adım ve anlayarak çözelim. İşte senin için hazırladığım detaylı çözümler:

8. Soru: Yandaki görselde Aslı Hanım’ın evinin bulunduğu sitedeki araç park yerlerinin numaralandırılmış hâli görülmektedir. Aslı Hanım’ın aracını deniz kenarındaki park yerlerinden birine park edeceği bilindiğine göre numarası asal sayı olan yerlerden birine park etme olasılığının çıktı sayısı kaç olur?

Bu soruyu çözmek için önce tüm olası durumları, sonra da bizden istenen durumu bulmalıyız. Hadi başlayalım!

Unutma: Olasılıkta “çıktı sayısı”, bir olayın gerçekleşebileceği farklı durumların sayısı demektir.

Adım 1: Tüm Olası Durumları Belirleyelim
Soruda bize çok önemli bir ipucu verilmiş: Aslı Hanım, aracını deniz kenarındaki park yerlerinden birine park edecekmiş. O zaman bizim bakmamız gereken yerler sadece deniz kenarında olanlar. Görselde bu park yerlerinin numaraları şunlar:

Yani Aslı Hanım’ın arabasını park edebileceği toplam 8 farklı yer var.

Adım 2: İstenen Durumu Bulalım
Bizden istenen şey, park edilecek yerin numarasının bir asal sayı olması. Asal sayı neydi? Sadece 1’e ve kendisine bölünebilen 1’den büyük sayılardı. Şimdi yukarıdaki listedeki sayılardan hangileri asal, ona bakalım:

16 asal değil (2, 4, 8’e bölünür).
17 asaldır (Sadece 1’e ve 17’ye bölünür).
18 asal değil (2, 3, 6, 9’a bölünür).
19 asaldır (Sadece 1’e ve 19’a bölünür).
20 asal değil (2, 4, 5, 10’a bölünür).
21 asal değil (3 ve 7’ye bölünür).
22 asal değil (2 ve 11’e bölünür).
23 asaldır (Sadece 1’e ve 23’e bölünür).

Gördüğün gibi, Aslı Hanım’ın park edebileceği asal sayıya sahip park yerleri 17, 19 ve 23’tür.

Sonuç:
İstenen olayın, yani numarası asal olan bir yere park etme olayının, gerçekleşebileceği 3 farklı durum (çıktı) vardır.

Yani cevap 3‘tür.

9. Soru: Yandaki kavanozda bulunan yeşil, mavi, kahverengi ve sarı bilyelerin sayısı ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir.

Kavanozdaki toplam bilye sayısı 100’dür.
Yeşil bilyenin seçilme olasılığı diğer renkteki bilyelerin seçilme olasılıklarından daha fazladır.
Mavi bilye seçme olasılığı, diğer renkteki bilyelerin seçilme olasılıklarından daha azdır.

Buna göre yeşil ve mavi bilye sayısı arasındaki fark en az kaçtır?

Bu soru biraz mantık yürütmemizi istiyor. Olasılık ve bilye sayısı arasındaki ilişkiyi hatırlayalım: Bir renkteki bilye sayısı ne kadar çoksa, o rengi çekme olasılığımız da o kadar yüksektir.

Adım 1: Bilgileri Matematik Diline Çevirelim
Bize verilen bilgileri bilye sayıları cinsinden yazalım:

Toplam Bilye = 100
Yeşil Bilye Sayısı > Diğer Renklerin Sayısı (en çok yeşil var)
Mavi Bilye Sayısı < Diğer Renklerin Sayısı (en az mavi var)

Soru bizden Yeşil ve Mavi bilye sayıları arasındaki farkın en az olmasını istiyor. Bu demek oluyor ki, bilye sayılarını birbirine olabildiğince yakın seçmeliyiz.

Adım 2: Sayıları Birbirine Yakın Seçelim
Toplam 100 bilye ve 4 renk var. Eğer sayılar eşit olsaydı her renkten 100 / 4 = 25 tane olurdu. Ama bizde en çok yeşil, en az da mavi var. O zaman sayıları 25’in etrafında, birbirine çok yakın olacak şekilde dağıtalım.

Sayıları şöyle sıralayabiliriz:
Mavi < (Sarı, Kahverengi) < Yeşil

Farkın en az olması için sayıları ardışık gibi düşünelim. Mesela şöyle bir deneme yapalım:

Mavi: 24
Sarı: 25
Kahverengi: 25

Bu üç rengin toplamı 24 + 25 + 25 = 74 bilye yapar. Toplam 100 bilye olduğuna göre, yeşil bilye sayısını bulalım:
100 – 74 = 26 bilye.

Adım 3: Kontrol Edelim ve Sonuca Ulaşalım
Bulduğumuz sayıları kontrol edelim:

Yeşil: 26
Sarı: 25
Kahverengi: 25
Mavi: 24

Bu sayılar şartlarımızı sağlıyor mu?

Toplamları 100 mü? Evet (26+25+25+24=100)
En çok yeşil mi var? Evet (26, diğerlerinden büyük)
En az mavi mi var? Evet (24, diğerlerinden küçük)

Tüm şartlar sağlandığına ve sayılar birbirine mümkün olan en yakın değerlerde olduğuna göre, aradaki farkı bulabiliriz.

Yeşil Bilye Sayısı – Mavi Bilye Sayısı = 26 – 24 = 2

Sonuç:
Yeşil ve mavi bilye sayısı arasındaki fark en az 2 olabilir.

10. Soru: Rakamları farklı asal sayılardan oluşan birbirinden farklı dört basamaklı çift doğal sayılar eş kartlara yazılıyor. Kartların tamamı kutuya atılıp rastgele bir kart çekiliyor. Çekilen kart için olası durum sayısı kaçtır?

Bu soruda bizden istenen, belirli kurallara uyan kaç farklı sayı yazılabileceğini bulmak. Bu sayı, aynı zamanda bizim “olası durum sayımız” olacak.

Adım 1: Kuralları Belirleyelim
Yazacağımız sayılar şu özelliklere sahip olmalı:

Dört basamaklı olacak.
Rakamları birbirinden farklı olacak.
Rakamları asal sayı olacak.
Sayıların kendisi çift doğal sayı olacak.

Adım 2: Kullanabileceğimiz Rakamları Bulalım
Öncelikle rakamlar asal sayı olmalıymış. Asal olan rakamlarımızı hatırlayalım: 2, 3, 5, 7.
Sayılarımız dört basamaklı ve rakamları farklı olacağı için bu dört rakamın hepsini birer kez kullanmak zorundayız.

Adım 3: En Önemli Kuralı Uygulayalım
Sayının çift olması isteniyor. Bir sayının çift olabilmesi için birler basamağının çift olması gerekir. Elimizdeki asal rakamlardan (2, 3, 5, 7) hangisi çift? Tabi ki sadece 2!

Bu demektir ki, yazacağımız tüm dört basamaklı sayıların birler basamağı kesinlikle 2 olmalıdır.
Yani sayımız ___2 şeklinde olacak.

Adım 4: Kalan Rakamları Yerleştirelim ve Sayıları Yazalım
Birler basamağına 2’yi yerleştirdik. Geriye hangi rakamlarımız kaldı? 3, 5, 7.
Bu üç rakamı kalan üç basamağa (binler, yüzler, onlar) yerleştireceğiz. Kaç farklı şekilde yerleştirebiliriz, bakalım:

3572
3752
5372
5732
7352
7532

Sonuç:
Gördüğün gibi, bu kurallara uyan tam 6 tane farklı sayı yazabiliyoruz. Her bir sayı bir karta yazıldığına göre, kutuda 6 tane kart olur. Dolayısıyla çekilebilecek kart için olası durum sayısı 6‘dır.

11. Soru: Yandaki birimküplerden oluşmuş kare prizma ile ilgili bilgiler şöyledir:

Yalnızca bir yüzeyi açıkta kalan küplerin tüm yüzleri mavi,
Yalnızca 2 yüzeyi açıkta kalan küplerin tüm yüzleri sarı,
Kalan küpler de mor renge boyanacaktır.

Birimküpler istenilen şekilde boyanıp bir torbaya atılıyor ve torbadan rastgele bir küp çekiliyor. Çekilen küpün mor renkli olma olasılığının çıktı sayısı kaçtır?

Yine bir “çıktı sayısı” sorusu! Bu, bizden mor renge boyanan küp sayısını bulmamızı istiyor. Büyük küpümüzün 3x3x3’lük bir yapı olduğunu görüyoruz.

Adım 1: Toplam Küp Sayısını Bulalım
Büyük küpümüz 3x3x3’lük birimküplerden oluşuyor. Toplam küp sayısı:
3 x 3 x 3 = 27 tanedir.

Adım 2: Küpleri Kategorilere Ayıralım ve Boyayalım
Bir küpü düşündüğümüzde bazı küçük küpler köşelerde, bazıları kenarlarda, bazıları da yüzeylerin ortasındadır.

1 Yüzeyi Açıkta Kalanlar (Mavi): Bunlar, büyük küpün 6 yüzünün tam ortasında bulunan küplerdir. Her yüzde 1 tane olduğuna göre, toplam 6 tane mavi küp vardır.
2 Yüzeyi Açıkta Kalanlar (Sarı): Bunlar, büyük küpün kenarlarının ortasında bulunan küplerdir (köşeler hariç). Bir küpün 12 kenarı vardır ve her kenarın ortasında 1 tane bu küplerden bulunur. Yani toplam 12 tane sarı küp vardır.
Kalan Küpler (Mor): Soru, “kalan küpler mor olacak” diyor. Peki hangileri kaldı?
1. 3 Yüzeyi Açıkta Kalanlar: Bunlar tam köşelerdeki küplerdir. Bir küpün 8 köşesi olduğuna göre, 8 tane köşe küpü vardır.
2. Hiçbir Yüzeyi Açıkta Olmayanlar: Bu da büyük küpün tam merkezinde, dışarıdan hiç görünmeyen küptür. Sadece 1 tane iç küp vardır.

Adım 3: Mor Küp Sayısını Hesaplayalım
“Kalan küpler” dediği için mavi ve sarı olmayanların hepsi mor olacak. Yani köşelerdeki ve merkezdeki küpler mor renge boyanacak.

Mor Küp Sayısı = (Köşe Küp Sayısı) + (İç Küp Sayısı)

Mor Küp Sayısı = 8 + 1 = 9

Sonuç:
Torbanın içinde toplam 9 tane mor renkli küp olacaktır. Soruda bizden istenen mor renkli olma olayının çıktı sayısı olduğu için cevap doğrudan mor küp sayısıdır.

Cevap 9‘dur.

Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin. Başarılar dilerim!