Harika bir çalışma! Merhaba sevgili öğrencim, gönderdiğin görseldeki matematik sorularını bir öğretmen gözüyle senin için analiz ettim ve adım adım çözeceğim. Bu sorular, dik üçgenler ve Pisagor bağıntısı ile ilgili, oldukça önemli bir konu. Hadi birlikte bu soruların üstesinden gelelim!
Çözümlü Örnek 5
Yandaki şekilde |AC| = 10 cm, |BC| = |BD| = |BE| ve |DE| = 6√2 cm olduğuna göre |AD|’nun kaç santimetre olduğunu bulalım.
Bu soruyu çözmek için aslında iki farklı dik üçgeni kullanacağız. Bize sorulan |AD| uzunluğu, büyük olan ABC üçgeninin bir kenarının parçası. Bu yüzden adım adım ilerleyip bilmediğimiz kenar uzunluklarını bulmamız gerekiyor. Haydi başlayalım!
- Adım 1: BDE üçgeni ile başlayalım.
Şekilde BDE üçgeninin bir dik üçgen olduğunu görüyoruz (B açısı 90 derece). Ayrıca soruda bize |BD| = |BE| olduğu verilmiş. Bu, BDE üçgeninin aynı zamanda ikizkenar bir dik üçgen olduğu anlamına gelir. Pisagor bağıntısını hatırlayalım: (dik kenar)² + (diğer dik kenar)² = (hipotenüs)².
Burada dik kenarlarımız |BD| ve |BE|, hipotenüsümüz ise |DE|’dir. |BD| ve |BE| uzunlukları eşit olduğu için ikisine de a diyelim.
|BD|² + |BE|² = |DE|²
a² + a² = (6√2)²
2a² = 36 * 2
2a² = 72
Her iki tarafı 2’ye böldüğümüzde a² = 36 buluruz. Hangi sayının karesi 36’dır? Elbette 6! Yani a = 6 cm.
Böylece |BD| = |BE| = 6 cm olduğunu bulduk. Soruda bize |BC|’nin de bu uzunluklara eşit olduğu söylenmişti. O halde |BC| = 6 cm‘dir.
- Adım 2: ABC üçgenine geçelim.
Şimdi de büyük üçgenimiz olan ABC üçgenine odaklanalım. Bu da bir dik üçgen. Bu üçgenin kenar uzunluklarından bildiklerimiz şunlar:
Dik kenar: |BC| = 6 cm
Hipotenüs: |AC| = 10 cm
Bilmediğimiz dik kenar: |AB|
Yine Pisagor bağıntısını kullanarak |AB| uzunluğunu bulabiliriz.
|AB|² + |BC|² = |AC|²
|AB|² + 6² = 10²
|AB|² + 36 = 100
|AB|²’yi yalnız bırakmak için 36’yı karşıya atalım (çıkarma olarak geçer):
|AB|² = 100 – 36
|AB|² = 64
Karesi 64 olan sayı 8’dir. Demek ki |AB| = 8 cm.
- Adım 3: Sonuca ulaşalım.
Soru bizden |AD| uzunluğunu istiyordu. Şekle baktığımızda |AB| kenarının, |AD| ve |DB| parçalarının birleşiminden oluştuğunu görüyoruz. Yani: |AB| = |AD| + |DB|.
Az önce bulduğumuz değerleri yerine yazalım:
8 = |AD| + 6
|AD|’yi bulmak için 6’yı 8’in yanına eksi olarak göndeririz.
|AD| = 8 – 6 = 2 cm.
Sonuç: |AD| uzunluğu 2 cm‘dir.
Sıra Sizde 1
Yandaki ABC üçgeninde |AB| = 2 cm, |BC| = 8 cm ise |AC| kaç santimetredir?
Harika! Bu soru, Pisagor bağıntısını doğrudan uygulayacağımız temel ve çok güzel bir alıştırma. ABC üçgeninin B köşesinde bir dik açı olduğunu görüyoruz. Bu demektir ki karşımızda bir dik üçgen var ve Pisagor’u kullanabiliriz!
- Adım 1: Kenarları tanıyalım.
Bir dik üçgende 90 derecelik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. Diğer iki kenar ise dik kenarlardır. Bu soruda:
Dik kenarlar: |AB| = 2 cm ve |BC| = 8 cm
Hipotenüs: |AC| (bize sorulan kenar)
- Adım 2: Pisagor Bağıntısını yazalım ve uygulayalım.
Kuralımız neydi? (Birinci dik kenar)² + (İkinci dik kenar)² = (Hipotenüs)²
Şimdi bildiğimiz sayıları yerlerine koyalım:
|AB|² + |BC|² = |AC|²
2² + 8² = |AC|²
Sayıların karelerini alalım:
4 + 64 = |AC|²
Toplama işlemini yapalım:
68 = |AC|²
- Adım 3: |AC| uzunluğunu bulalım.
|AC|’nin karesinin 68 olduğunu bulduk. |AC|’nin kendisini bulmak için 68’in karekökünü almamız gerekir: |AC| = √68.
Ancak cevabı bu şekilde bırakmak pek hoş olmaz. Kareköklü bir sayıyı her zaman a√b şeklinde yazmaya çalışmalıyız. Bunun için 68’i asal çarpanlarına ayıralım veya tam kare bir çarpanı var mı diye bakalım.
68 = 4 x 17
Burada 4 bir tam karedir ve kök dışına 2 olarak çıkar. 17 ise kök içinde kalır.
√68 = √(4 x 17) = √4 x √17 = 2√17
Sonuç: |AC| uzunluğu 2√17 cm‘dir.
Umarım açıklamalarım anlaşılır olmuştur. Unutma, geometri bol bol pratik yaparak öğrenilir. Başarılar dilerim!