Merhaba sevgili öğrencim,
Ben 8. Sınıf Matematik Öğretmeniniz. Gönderdiğin görseldeki soruları senin için analiz ettim ve şimdi adım adım, kolayca anlayabileceğin bir şekilde çözeceğiz. Hazırsan başlayalım!
Sıra Sizde 2
Yandaki KLM üçgeninde |KL| = 7 cm, |KM| = 12 cm ise |ML| kaç santimetredir?
Çözüm:
Sevgili öğrencim, bu soruda bir dik üçgen görüyoruz. L köşesindeki küçük kare işareti, oranın 90 derece olduğunu, yani bu üçgenin bir dik üçgen olduğunu gösterir. Dik üçgenlerde kenar uzunluklarını bulmak için aklımıza hemen o meşhur teorem gelmeli: Pisagor Bağıntısı!
Pisagor Bağıntısı neydi bir hatırlayalım: Bir dik üçgende, dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün (90 derecenin karşısındaki en uzun kenar) karesine eşittir.
Formülümüz: a² + b² = c²
Şimdi bu formülü bizim üçgenimize uygulayalım.
- Hipotenüs (c): 90 derecenin karşısındaki kenar olan |KM| kenarıdır. Uzunluğu 12 cm.
- Dik Kenarlar (a ve b): |KL| ve |ML| kenarlarıdır. |KL| = 7 cm, |ML|’yi ise bilmiyoruz, ona x diyelim.
Haydi şimdi bu değerleri formülde yerlerine koyalım.
Adım 1: Pisagor Bağıntısını yazalım.
|KL|² + |ML|² = |KM|²Adım 2: Bildiğimiz uzunlukları formülde yerlerine yazalım.
7² + x² = 12²Adım 3: Sayıların karelerini hesaplayalım.
Unutma, bir sayının karesi, o sayıyı kendisiyle çarpmak demektir.
49 + x² = 144Adım 4: Bilinmeyen x’i yalnız bırakmak için 49’u eşitliğin diğer tarafına atalım. Eşitliğin diğer tarafına geçerken işareti değişir, yani -49 olur.
x² = 144 – 49Adım 5: Çıkarma işlemini yapalım.
x² = 95Adım 6: x²’yi bulduk ama bize x’in kendisi lazım. Bunun için eşitliğin her iki tarafının karekökünü almalıyız.
x = √9595 tam kare bir sayı olmadığı için kök dışına tam olarak çıkmaz. Bu yüzden sonucu bu şekilde bırakırız.
Sonuç:
Buna göre |ML| uzunluğu √95 cm’dir.
Sıra Sizde 3
A noktası ile D noktası arasındaki en kısa mesafe 10 km’dir. Buna göre B noktası ile C noktası arasındaki en kısa mesafe kaç kilometredir?
Çözüm:
Bu soru ilk bakışta biraz karışık görünebilir ama aslında bu da gizlenmiş bir Pisagor sorusu! “En kısa mesafe” ifadesini gördüğümüzde aklımıza her zaman iki nokta arasına çizilen düz bir çizgi gelmelidir. Bu düz çizgi, genellikle oluşturacağımız bir dik üçgenin hipotenüsü olur.
Haydi sorudaki şekli bir dik üçgene tamamlayalım.
Adım 1: A’dan D’ye en kısa mesafeyi birleştiren düz çizginin 10 km olduğunu biliyoruz. Bu, bizim hipotenüsümüz olacak.
Adım 2: Şimdi dik üçgenin dik kenarlarını bulalım.
- Yatay Kenar: A’dan B’ye 5 km ve C’den D’ye 3 km yatay yol alınmış. Üçgenin toplam yatay kenar uzunluğu bu ikisinin toplamıdır.
5 km + 3 km = 8 km. Bu, dik kenarlardan biridir.- Dikey Kenar: B’den C’ye inilen dikey yoldur. Zaten soru da bizden burayı bulmamızı istiyor. Bu kenarın uzunluğuna x diyelim.
Adım 3: Artık elimizde bir dik üçgen var!
- Bir dik kenarı = 8 km
- Diğer dik kenarı = x km
- Hipotenüsü = 10 km
Adım 4: Pisagor Bağıntısını (a² + b² = c²) bu üçgene uygulayalım.
8² + x² = 10²Adım 5: Sayıların karelerini alalım.
64 + x² = 100Adım 6: x’i yalnız bırakmak için 64’ü eşitliğin karşı tarafına atalım (-64 olarak geçer).
x² = 100 – 64Adım 7: Çıkarma işlemini yapalım.
x² = 36Adım 8: x’i bulmak için 36’nın karekökünü alalım. Hangi sayının kendisiyle çarpımı 36 eder diye düşünüyoruz. Tabii ki 6!
x = 6Küçük bir ipucu: Bu üçgen aslında çok tanıdık bir özel üçgen olan 3-4-5 üçgeninin kenarlarının 2 ile çarpılmış hali olan 6-8-10 üçgenidir. Bu özel üçgenleri bilirsen böyle soruları işlem yapmadan bile çözebilirsin!
Sonuç:
Buna göre B noktası ile C noktası arasındaki en kısa mesafe 6 km’dir.
Umarım açıklamalarım faydalı olmuştur. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin. Başarılar dilerim!