Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle gönderdiğiniz görseldeki cebirsel ifadelerle ilgili soruları çözeceğiz. Bu konular, matematiğin en temel ve en keyifli konularından biridir. Özdeşlikleri anladığınızda, birçok sorunun ne kadar kolaylaştığını göreceksiniz. Haydi, başlayalım!
16. Soru: 4x² + y² = 40 ve x ∙ y = 6’dır. Buna göre (2x – y) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?
Sevgili arkadaşlar, bu soruda bizden (2x – y) ifadesinin değerini bulmamız isteniyor ama bize verilenler kareli ifadeler. Bu durumda aklımıza hemen tam kare özdeşliği gelmeli. Hadi (2x – y)’nin karesini alarak işe başlayalım, bakalım karşımıza ne çıkacak.
Bildiğimiz gibi (a – b)² = a² – 2ab + b² formülümüz vardı.
Adım 1: (2x – y)² ifadesini bu formüle göre açalım. Burada ‘a’ yerine 2x, ‘b’ yerine y geliyor.
(2x – y)² = (2x)² – 2 ∙ (2x) ∙ (y) + (y)²
(2x – y)² = 4x² – 4xy + y²
Adım 2: Şimdi elimizdeki ifadeyi, soruda verilen bilgilere benzetelim. İfadeleri yan yana getirelim:
(2x – y)² = (4x² + y²) – 4xy
Adım 3: Soruda bize 4x² + y² = 40 ve x ∙ y = 6 olduğu verilmişti. Şimdi bu değerleri yerlerine yazalım.
(2x – y)² = (40) – 4 ∙ (6)
(2x – y)² = 40 – 24
(2x – y)² = 16
Adım 4: Karesi 16 olan sayıyı bulmamız gerekiyor. Hangi sayının karesi 16’dır? Hem 4’ün hem de -4’ün karesi 16’dır. Yani (2x – y) ifadesi 4 de olabilir, -4 de olabilir. Şıklara baktığımızda -4’ü görüyoruz.
Sonuç: -4
Doğru cevap B şıkkıdır.
17. Soru: (2x – y)² – 2y ∙ (y – 2x) ifadesinin özdeşi aşağıdakilerden hangisidir?
Bu soruda ifadeyi en sade hâline getirmemiz isteniyor. İlk bakışta biraz karışık görünebilir ama dikkatli bakarsak parantez içindeki ifadelerin birbirine çok benzediğini fark ederiz.
Adım 1: İfadedeki parantezlere bakalım: (2x – y) ve (y – 2x). Gördüğünüz gibi bu ifadeler birbirinin zıt işaretlisi. Yani, (y – 2x) = –(2x – y) diyebiliriz.
Adım 2: Şimdi bu bilgiyi sorudaki ifadede yerine yazalım.
(2x – y)² – 2y ∙ [–(2x – y)]
Adım 3: İkinci kısımdaki –2y ile –(2x – y) ifadesini çarpalım. Eksi ile eksinin çarpımı artı olur.
(2x – y)² + 2y ∙ (2x – y)
Adım 4: Artık her iki terimde de ortak olan bir ifade var: (2x – y). Haydi bu ifadeyi ortak paranteze alalım.
(2x – y) ∙ [ (2x – y) + 2y ]
Adım 5: Köşeli parantezin içindeki işlemi yapalım.
(2x – y) ∙ (2x – y + 2y)
(2x – y) ∙ (2x + y)
Bu ifade de bize iki kare farkı özdeşliğini hatırlatıyor.
Sonuç: (2x – y) ∙ (2x + y)
Doğru cevap D şıkkıdır.
18. Soru: (2x + 1) ∙ (x + 1) işleminin cebir karoları ile modellenmiş hâli aşağıdakilerden hangisidir?
Cebir karolarıyla çarpma işlemi yapmak, bir dikdörtgenin alanını bulmak gibidir. Dikdörtgenin kenarları çarpanlarımız, alanı ise çarpımın sonucudur.
Adım 1: Kenarları oluşturalım. Bir kenarımız (2x + 1) olacak. Yani 2 tane ‘x’ karosu (mavi) ve 1 tane ‘1’ karosu (sarı). Diğer kenarımız ise (x + 1) olacak. Yani 1 tane ‘x’ karosu (mavi) ve 1 tane ‘1’ karosu (sarı).
Adım 2: Şimdi bu kenarların oluşturduğu dikdörtgenin içini dolduralım.
- Kenardaki ‘x’ ile diğer kenardaki iki tane ‘x’ i çarparsak: x ∙ 2x = 2x². Bu, 2 tane mor x² karosu demektir.
- Kenardaki ‘x’ ile diğer kenardaki ‘1’ i çarparsak: x ∙ 1 = x. Bu, 1 tane mavi x karosu demektir.
- Kenardaki ‘1’ ile diğer kenardaki iki tane ‘x’ i çarparsak: 1 ∙ 2x = 2x. Bu, 2 tane mavi x karosu demektir.
- Son olarak kenardaki ‘1’ ile diğer kenardaki ‘1’ i çarparsak: 1 ∙ 1 = 1. Bu da 1 tane sarı 1 karosu demektir.
Adım 3: Elde ettiğimiz karoları toplayalım.
- 2 tane x² karosu (mor)
- 1 + 2 = 3 tane x karosu (mavi)
- 1 tane 1 karosu (sarı)
Sonuç olarak modelimiz 2x² + 3x + 1‘i göstermelidir.
Şıklara baktığımızda bu modele uyan şekil D şıkkındadır.
Doğru cevap D şıkkıdır.
19. Soru: (x – 3)² = x² – ▲ + 9 ve (2y + 1)² = 4y² + ■ + 1 Yukarıdaki özdeşliklere göre (▲ + ■) ∙ (▲ – ■) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisi ile özdeştir?
Bu soruyu çözmek için adım adım ilerleyeceğiz. Önce üçgeni (▲), sonra kareyi (■) bulacağız ve en sonunda da istenen işlemi yapacağız.
Adım 1: Üçgeni (▲) bulalım.
(x – 3)² ifadesini açalım: (a – b)² = a² – 2ab + b² formülünden;
(x – 3)² = x² – 2 ∙ x ∙ 3 + 3² = x² – 6x + 9
Bu ifadeyi sorudaki x² – ▲ + 9 ile karşılaştırırsak, ▲ = 6x olduğunu görürüz.
Adım 2: Kareyi (■) bulalım.
(2y + 1)² ifadesini açalım: (a + b)² = a² + 2ab + b² formülünden;
(2y + 1)² = (2y)² + 2 ∙ 2y ∙ 1 + 1² = 4y² + 4y + 1
Bu ifadeyi sorudaki 4y² + ■ + 1 ile karşılaştırırsak, ■ = 4y olduğunu görürüz.
Adım 3: Şimdi bizden istenen (▲ + ■) ∙ (▲ – ■) işlemini yapalım.
Bulduğumuz değerleri yerine yazalım: (6x + 4y) ∙ (6x – 4y)
Bu ifade size de tanıdık geldi mi? Evet, bu bir iki kare farkı özdeşliği! Formülü hatırlayalım: (a + b) ∙ (a – b) = a² – b²
(6x + 4y) ∙ (6x – 4y) = (6x)² – (4y)²
(6x)² – (4y)² = 36x² – 16y²
Sonuç: 36x² – 16y²
Doğru cevap C şıkkıdır.
20. Soru: (4a – 5b)² ifadesinin özdeşi aşağıdakilerden hangisidir?
Bu soru, tam kare özdeşliğini doğrudan uygulamamızı istiyor. Yine en sevdiğimiz formüllerden birini kullanacağız.
Adım 1: Formülümüzü hatırlayalım: (a – b)² = a² – 2ab + b². Bazen formüldeki a ve b ile sorudaki harfler karışabilir. O yüzden şöyle düşünelim:
(Birinci Terim – İkinci Terim)² = (Birincinin karesi) – 2 ∙ (Birinci) ∙ (İkinci) + (İkincinin karesi)
Adım 2: Sorumuzda birinci terim 4a, ikinci terim ise 5b‘dir. Şimdi bunları formülde yerlerine koyalım.
(4a – 5b)² = (4a)² – 2 ∙ (4a) ∙ (5b) + (5b)²
Adım 3: Her bir işlemi dikkatlice yapalım.
- (4a)² = 4a ∙ 4a = 16a²
- 2 ∙ (4a) ∙ (5b) = 8a ∙ 5b = 40ab
- (5b)² = 5b ∙ 5b = 25b²
Adım 4: Şimdi bulduğumuz sonuçları birleştirelim.
16a² – 40ab + 25b²
Sonuç: 16a² – 40ab + 25b²
Doğru cevap D şıkkıdır.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, bu özdeşlikleri bol bol pratik yaparak aklınıza kazıyabilirsiniz. Başarılar dilerim