Merhaba sevgili öğrencim, Düşünme Zamanı etkinliğindeki bu güzel soruları birlikte analiz edip çözelim. Bu tür sorular, üslü sayıların özelliklerini ne kadar iyi anladığımızı ölçmek için harikadır. Haydi başlayalım!
Öncelikle sorunun mantığını bir kez daha hatırlayalım:
- Çubuğun sol tarafındaki boncuklar tabanı, sağ tarafındakiler ise üssü gösteriyor.
- Mavi boncuklar pozitif (+) sayıları, kırmızı boncuklar ise negatif (-) sayıları temsil ediyor.
- Amacımız, aşağıdaki kutularda verilen boncukları çubuklara öyle bir yerleştirmek ki, elde ettiğimiz iki üslü ifadenin çarpımı olabilecek en büyük değeri bulsun.
Önemli bir ipucu: Bir sayının değerini en büyük yapmak için genellikle ya tabanı ya da üssü büyütmeye çalışırız. Ancak unutma, negatif bir tabanın çift kuvveti pozitif bir sonuç verir ve bu sonuç çok büyük olabilir! Örneğin (-5)2 = 25’tir. Negatif bir tabanın tek kuvveti ise sonucu negatif yapar, bu da çarpımı küçülteceği için genellikle kaçınmamız gereken bir durumdur.
Şimdi soruları tek tek ele alalım.
a)
Adım 1: Mevcut durumu analiz edelim.
İlk çubukta: Taban -3, Üs +5. Yani (-3)5. Bu ifadenin sonucu negatiftir.
İkinci çubukta: Taban +5, Üs -4. Yani 5-4. Bu ifadenin sonucu pozitiftir.
Kutudaki boncuklar: 2 kırmızı (yani -2) ve 1 mavi (yani +1).
Adım 2: En büyük değeri bulmak için strateji geliştirelim.
Çarpımın en büyük olması için iki sonucun da pozitif ve büyük olması gerekir. İlk ifademiz olan (-3)5 negatif bir sonuç verir. Onu pozitif yapmalıyız. Bunun en kolay yolu, üssü olan +5’i çift sayı yapmaktır. Elimizdeki 1 mavi boncuğu (+1) oraya eklersek, üs +6 olur ve ifademiz pozitif bir sonuca dönüşür!
Adım 3: Boncukları yerleştirelim.
1 mavi boncuğu ilk çubuğun üs kısmına ekleyelim. Üs, (+5) + (+1) = +6 olur.
Geriye 2 kırmızı boncuk (-2) kaldı. Bu boncukları da ilk ifadenin tabanına eklersek, tabanın mutlak değeri büyür ve sonuç daha da büyük olur. Taban, (-3) + (-2) = -5 olur.
Adım 4: Sonuçları yazalım.
İlk çubuk: Taban -5, Üs +6. Yani (-5)6.
İkinci çubuk: Değişiklik yapmadık. Taban +5, Üs -4. Yani 5-4.
Sonuç: (-5)6 ve 5-4
b)
Adım 1: Mevcut durumu analiz edelim.
İlk çubukta: Taban +2, Üs +3. Yani 23. (Sonuç pozitif)
İkinci çubukta: Taban -3, Üs -4. Yani (-3)-4. Üs çift olduğu için sonuç pozitiftir. (1/81)
Kutudaki boncuklar: 2 mavi (yani +2) ve 1 kırmızı (yani -1).
Adım 2: En büyük değeri bulmak için strateji geliştirelim.
İki ifadenin de sonucu zaten pozitif. O zaman amacımız sayıları olabildiğince büyütmek. İlk ifadedeki 23 değerini büyütmek mantıklı görünüyor. Elimizdeki 2 mavi boncuğu (+2) bu ifadenin tabanına ekleyerek tabanı büyütebiliriz.
Adım 3: Boncukları yerleştirelim.
2 mavi boncuğu ilk çubuğun tabanına ekleyelim. Taban, (+2) + (+2) = +4 olur.
Geriye 1 kırmızı boncuk (-1) kaldı. Bu boncuğu ikinci çubuğun tabanına eklersek, taban (-3) + (-1) = -4 olur. Bu ifadenin üssü (-4) çift olduğu için sonuç yine pozitif kalır ve tabanın mutlak değerini büyütmüş oluruz.
Adım 4: Sonuçları yazalım.
İlk çubuk: Taban +4, Üs +3. Yani 43.
İkinci çubuk: Taban -4, Üs -4. Yani (-4)-4.
Sonuç: 43 ve (-4)-4
c)
Adım 1: Mevcut durumu analiz edelim.
İlk çubukta: Taban -5, Üs +5. Yani (-5)5. (Sonuç negatif)
İkinci çubukta: Taban -6, Üs +2. Yani (-6)2. (Sonuç pozitif)
Kutudaki boncuklar: 2 kırmızı (yani -2) ve 1 mavi (yani +1).
Adım 2: En büyük değeri bulmak için strateji geliştirelim.
Yine negatif bir sonucumuz var: (-5)5. Bunu pozitif yapmak için üssü olan +5’i çift sayı yapmalıyız. Elimizdeki 1 mavi boncuğu (+1) buraya eklersek, üs +6 olur ve sorun çözülür.
Adım 3: Boncukları yerleştirelim.
1 mavi boncuğu ilk çubuğun üs kısmına ekleyelim. Üs, (+5) + (+1) = +6 olur.
Geriye 2 kırmızı boncuk (-2) kaldı. İkinci ifadenin tabanı olan -6’nın mutlak değeri daha büyük. Bu 2 kırmızı boncuğu oraya ekleyerek sayıyı daha da büyütelim. Taban, (-6) + (-2) = -8 olur. Üssü çift olduğu için sonuç pozitif kalacaktır.
Adım 4: Sonuçları yazalım.
İlk çubuk: Taban -5, Üs +6. Yani (-5)6.
İkinci çubuk: Taban -8, Üs +2. Yani (-8)2.
Sonuç: (-5)6 ve (-8)2
ç)
Adım 1: Mevcut durumu analiz edelim.
İlk çubukta: Taban +3, Üs -2. Yani 3-2. (Sonuç pozitif)
İkinci çubukta: Taban -2, Üs +3. Yani (-2)3. (Sonuç negatif)
Kutudaki boncuklar: 2 kırmızı (yani -2) ve 1 mavi (yani +1).
Adım 2: En büyük değeri bulmak için strateji geliştirelim.
Negatif sonuç veren (-2)3 ifadesini pozitif yapmalıyız. Üssü olan +3’ü çift yapmamız gerekiyor. Elimizdeki 1 mavi boncuğu (+1) oraya eklersek, üs +4 (çift) olur ve ifade pozitife döner.
Adım 3: Boncukları yerleştirelim.
1 mavi boncuğu ikinci çubuğun üs kısmına ekleyelim. Üs, (+3) + (+1) = +4 olur.
Geriye 2 kırmızı boncuk (-2) kaldı. Bu boncukları, pozitif yaptığımız ikinci ifadenin tabanına ekleyerek mutlak değerini büyütelim. Taban, (-2) + (-2) = -4 olur.
Adım 4: Sonuçları yazalım.
İlk çubuk: Değişiklik yapmadık. Taban +3, Üs -2. Yani 3-2.
İkinci çubuk: Taban -4, Üs +4. Yani (-4)4.
Sonuç: 3-2 ve (-4)4
Umarım açıklamalarım anlaşılır olmuştur. Gördüğün gibi, en önemli adım negatif sonuç veren bir ifadeyi, üssünü çift sayı yaparak pozitife çevirmektir. Başarılar dilerim!