Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle kareköklü ifadelerle ilgili alıştırmalar yapacağız. Bu konuları ne kadar iyi anladığınızı görmek için harika bir fırsat! Soruları dikkatlice okuyun ve çözümleri adım adım takip edin. Anlamadığınız bir yer olursa hiç çekinmeyin, tekrar üzerinden geçeriz. Haydi başlayalım!
1) Aşağıdaki işlemleri yapınız.
Kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma yaparken unutmamamız gereken en önemli kural şudur: Sadece kök içleri aynı olan ifadeleri toplayıp çıkarabiliriz. Tıpkı elmalarla elmaları, armutlarla armutları topladığımız gibi! Bu yüzden önce kökleri en sade haline, yani a√b şekline getireceğiz.
a) √27 + 5√3 – √12
Adım 1: Kök içindeki sayıları, bir tam kare sayının çarpımı şeklinde yazarak kök dışına çıkaralım.
- √27 = √(9 * 3) = 3√3
- 5√3 zaten en sade halde.
- √12 = √(4 * 3) = 2√3
Adım 2: Şimdi bulduğumuz ifadeleri yerlerine yazalım ve işlemi yapalım. Hepsinin kök içi √3 oldu, ne güzel!
3√3 + 5√3 – 2√3
Katsayıları toplayıp çıkaralım: (3 + 5 – 2)√3 = 6√3
Sonuç: 6√3
b) 7√125 – 11√5 + √45
Adım 1: Yine kökleri a√b şeklinde yazalım.
- √125 = √(25 * 5) = 5√5. Başında 7 çarpanı vardı, o zaman: 7 * 5√5 = 35√5
- 11√5 zaten en sade halde.
- √45 = √(9 * 5) = 3√5
Adım 2: İfadeleri yerlerine yazıp işlemi tamamlayalım.
35√5 – 11√5 + 3√5
Katsayıları işleme sokalım: (35 – 11 + 3)√5 = 27√5
Sonuç: 27√5
c) 5√8 + 2√800 – 9√200
Adım 1: Kökleri sadeleştirelim.
- √8 = √(4 * 2) = 2√2. Baştaki 5 ile çarpalım: 5 * 2√2 = 10√2
- √800 = √(400 * 2) = 20√2. Baştaki 2 ile çarpalım: 2 * 20√2 = 40√2
- √200 = √(100 * 2) = 10√2. Baştaki 9 ile çarpalım: 9 * 10√2 = 90√2
Adım 2: Şimdi işlemi yapalım.
10√2 + 40√2 – 90√2
Katsayıları toplayıp çıkaralım: (10 + 40 – 90)√2 = -40√2
Sonuç: -40√2
ç) 7√72 – 10√32 + 3√8
Adım 1: Kökleri sadeleştirelim.
- √72 = √(36 * 2) = 6√2. Baştaki 7 ile çarpalım: 7 * 6√2 = 42√2
- √32 = √(16 * 2) = 4√2. Baştaki 10 ile çarpalım: 10 * 4√2 = 40√2
- √8 = √(4 * 2) = 2√2. Baştaki 3 ile çarpalım: 3 * 2√2 = 6√2
Adım 2: Şimdi işlemi yapalım.
42√2 – 40√2 + 6√2
Katsayıları işleme sokalım: (42 – 40 + 6)√2 = 8√2
Sonuç: 8√2
d) 21√12 – 5√27
Adım 1: Kökleri sadeleştirelim.
- √12 = √(4 * 3) = 2√3. Baştaki 21 ile çarpalım: 21 * 2√3 = 42√3
- √27 = √(9 * 3) = 3√3. Baştaki 5 ile çarpalım: 5 * 3√3 = 15√3
Adım 2: Çıkarma işlemini yapalım.
42√3 – 15√3
Katsayıları çıkaralım: (42 – 15)√3 = 27√3
Sonuç: 27√3
e) 5√99 – 2√44 + 3√176
Adım 1: Kökleri sadeleştirelim.
- √99 = √(9 * 11) = 3√11. Baştaki 5 ile çarpalım: 5 * 3√11 = 15√11
- √44 = √(4 * 11) = 2√11. Baştaki 2 ile çarpalım: 2 * 2√11 = 4√11
- √176 = √(16 * 11) = 4√11. Baştaki 3 ile çarpalım: 3 * 4√11 = 12√11
Adım 2: Şimdi işlemi yapalım.
15√11 – 4√11 + 12√11
Katsayıları işleme sokalım: (15 – 4 + 12)√11 = 23√11
Sonuç: 23√11
2) Aşağıdaki kareköklü ifadelerle çarpıldığında sonucu doğal sayı yapacak birer çarpan bulunuz.
Bir kareköklü ifadeyi doğal sayı yapmak için onu kökten kurtarmamız gerekir. Bunun en kolay yolu, ifadenin köklü kısmıyla çarpmaktır. Çünkü √a * √a = a eder. Haydi örneklerle görelim.
a) √18
Adım 1: Önce √18’i a√b şeklinde yazalım: √18 = √(9 * 2) = 3√2.
Adım 2: Bu ifadede bizi rahatsız eden, yani doğal sayı olmasını engelleyen kısım √2‘dir. O zaman bu ifadeden kurtulmak için sayıyı √2 ile çarpmalıyız.
Sağlamasını yapalım: (3√2) * (√2) = 3 * (√2 * √2) = 3 * 2 = 6. Gördüğünüz gibi sonuç bir doğal sayı oldu.
Cevap: √2 (veya √2’nin katları olan √8, √18 gibi sayılar da olabilir.)
b) √28
Adım 1: √28’i a√b şeklinde yazalım: √28 = √(4 * 7) = 2√7.
Adım 2: İfadeyi doğal sayı yapmak için köklü kısım olan √7 ile çarpmamız yeterlidir.
Cevap: √7
c) √60
Adım 1: √60’ı a√b şeklinde yazalım: √60 = √(4 * 15) = 2√15.
Adım 2: İfadeyi doğal sayı yapmak için köklü kısım olan √15 ile çarpmalıyız.
Cevap: √15
ç) √75
Adım 1: √75’i a√b şeklinde yazalım: √75 = √(25 * 3) = 5√3.
Adım 2: İfadeyi doğal sayı yapmak için köklü kısım olan √3 ile çarpmalıyız.
Cevap: √3
3) √[29 – √[18 – √[7 – √9]]] işleminin sonucunu bulunuz.
İç içe geçmiş kökler gözünüzü korkutmasın! Bu tür sorularda her zaman en içteki kökten başlayarak dışarı doğru adım adım ilerleriz.
Adım 1: En içteki kök olan √9’u çözelim. √9 = 3.
Adım 2: Şimdi işlemimiz şuna dönüştü: √[29 – √[18 – √[7 – 3]]]. İçerideki işlemi yapalım: 7 – 3 = 4. Yani ifademiz √4 oldu. √4 = 2.
Adım 3: İşlemimiz şimdi de şu halde: √[29 – √[18 – 2]]. İçerideki işlemi yapalım: 18 – 2 = 16. Yani ifademiz √16 oldu. √16 = 4.
Adım 4: Son adıma geldik! İşlemimiz artık √[29 – 4] oldu. İçerideki işlemi yapalım: 29 – 4 = 25. Yani ifademiz √25 oldu. √25 = 5.
Sonuç: 5
4) √48 + √192 toplamının √12 sayısının kaç katı olduğunu bulunuz.
Bir sayının başka bir sayının kaç katı olduğunu bulmak için bölme işlemi yaparız. Yani bizden (√48 + √192) / √12 işlemini yapmamız isteniyor.
Adım 1: Önce toplama işlemini yapalım. Bunun için kökleri a√b şeklinde yazmalıyız.
- √48 = √(16 * 3) = 4√3
- √192 = √(64 * 3) = 8√3
Şimdi toplayalım: 4√3 + 8√3 = 12√3.
Adım 2: Şimdi de böleceğimiz sayıyı, yani √12’yi a√b şeklinde yazalım.
- √12 = √(4 * 3) = 2√3
Adım 3: Artık bölme işlemini yapabiliriz.
(12√3) / (2√3)
Bu işlemde katsayıları kendi arasında, kökleri kendi arasında böleriz. √3 / √3 = 1 olur (yani birbirini götürür). 12 / 2 = 6.
Sonuç: 6 katıdır.
5) A şehrinden ortalama sürati saatte √16000 km ve B şehrinden ortalama sürati saatte √9000 km olan iki araç aynı anda aynı yöne doğru harekete geçiyor. İki araç 5 saat sonra aynı anda C şehrine varıyor. Buna göre A ile B şehirleri arasındaki mesafenin kaç kilometre olduğunu bulunuz.
Bu bir hız-zaman problemi. Önce bu korkutucu görünen hızları daha basit hale getirelim.
Adım 1: Araçların hızlarını a√b şeklinde yazalım.
- A aracının hızı: √16000 = √(1600 * 10) = 40√10 km/saat
- B aracının hızı: √9000 = √(900 * 10) = 30√10 km/saat
Adım 2: Şimdi iki aracın da 5 saatte ne kadar yol aldığını bulalım. Unutmayalım, Yol = Hız × Zaman.
- A aracının aldığı yol (A’dan C’ye): (40√10) * 5 = 200√10 km
- B aracının aldığı yol (B’den C’ye): (30√10) * 5 = 150√10 km
Adım 3: Soru bizden A ile B şehirleri arasındaki mesafeyi istiyor. Şekle baktığımızda, A’dan C’ye olan toplam mesafeden, B’den C’ye olan mesafeyi çıkarırsak geriye A ile B arasındaki mesafenin kaldığını görebiliriz.
A-B arası mesafe = (A’nın aldığı yol) – (B’nin aldığı yol)
200√10 – 150√10 = 50√10 km
Sonuç: A ile B şehirleri arasındaki mesafe 50√10 kilometredir.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Kareköklü sayılarla işlem yapmak pratik gerektirir, bol bol soru çözmekten çekinmeyin. Harikasınız çocuklar