Merhaba sevgili öğrencilerim! Bugün birlikte matematik dersimizdeki soruları çözeceğiz. Her bir soruyu tane tane inceleyip, en anlaşılır şekilde anlatmaya çalışacağım. Hazırsanız başlayalım!
**6. Aşağıdaki denklemler ve bu denklemleri sağlayan değerleri eşleştiriniz.**
Bu soruda bize verilen denklemleri çözeceğiz ve bulduğumuz sonuçları sağ taraftaki seçeneklerle eşleştireceğiz. Hadi başlayalım!
a) $frac{x}{5} – frac{x}{2} = 1$
Bu denklemde paydaları eşitlemek için ilk terimi 2 ile, ikinci terimi ise 5 ile genişletelim.
Adım 1: Denklemin her iki tarafını da 10 ile çarpalım ki paydalardan kurtulalım.
$$10 times left(frac{x}{5} – frac{x}{2}right) = 10 times 1$$
$$10 times frac{x}{5} – 10 times frac{x}{2} = 10$$
$$2x – 5x = 10$$
Adım 2: x’li terimleri bir araya getirelim.
$$-3x = 10$$
Adım 3: x’i yalnız bırakmak için her iki tarafı -3’e bölelim.
$$x = frac{10}{-3}$$
$$x = -frac{10}{3}$$
Bu sonuç seçeneklerde var mı diye bakalım. Evet, $-frac{10}{3}$ ile eşleşiyor.
b) $frac{2x+1}{3} = 5$
Bu denklemde paydadaki 3’ten kurtulmak için denklemin her iki tarafını da 3 ile çarpalım.
Adım 1: Denklemin her iki tarafını 3 ile çarpalım.
$$3 times left(frac{2x+1}{3}right) = 3 times 5$$
$$2x + 1 = 15$$
Adım 2: Sabit terimi (1) karşı tarafa atalım. Karşıya geçerken işareti değişir.
$$2x = 15 – 1$$
$$2x = 14$$
Adım 3: x’i yalnız bırakmak için her iki tarafı 2’ye bölelim.
$$x = frac{14}{2}$$
$$x = 7$$
Bu sonuç seçeneklerde 7 ile eşleşiyor.
c) $frac{1}{3} cdot (x-2) = 4x – 6$
Bu denklemde önce parantezin içini dağıtalım.
Adım 1: $frac{1}{3}$’ü parantezin içine dağıtalım.
$$frac{1}{3}x – frac{2}{3} = 4x – 6$$
Adım 2: x’li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım. Küçük olan x’li terimi büyük olanın yanına gönderelim ki işlem kolay olsun.
$$-frac{2}{3} + 6 = 4x – frac{1}{3}x$$
Adım 3: İki taraftaki işlemleri yapalım. Önce sol tarafı:
$$-frac{2}{3} + frac{18}{3} = frac{16}{3}$$
Şimdi sağ tarafı:
$$4x – frac{1}{3}x = frac{12}{3}x – frac{1}{3}x = frac{11}{3}x$$
Adım 4: Denklemi tekrar yazalım.
$$frac{16}{3} = frac{11}{3}x$$
Adım 5: x’i yalnız bırakmak için her iki tarafı $frac{11}{3}$’e bölelim. Bu da her iki tarafı $frac{3}{11}$ ile çarpmak demektir.
$$frac{16}{3} times frac{3}{11} = frac{11}{3}x times frac{3}{11}$$
$$frac{16}{11} = x$$
Bu sonuç seçeneklerde $frac{16}{11}$ ile eşleşiyor.
c) $frac{x}{3} + 8 = frac{x}{2} – 7$
*Not: Soruda ‘c’ harfi tekrar edilmiş. Muhtemelen bu ‘ç’ harfi olmalıydı.*
Bu denklemde de x’li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım.
Adım 1: x’li terimleri sol tarafa, sabit terimleri sağ tarafa taşıyalım.
$$frac{x}{3} – frac{x}{2} = -7 – 8$$
Adım 2: Her iki tarafın işlemlerini yapalım. Sol taraf için paydaları eşitleyelim (3 ve 2’nin ortak katı 6’dır).
$$frac{2x}{6} – frac{3x}{6} = -15$$
$$-frac{x}{6} = -15$$
Adım 3: x’i yalnız bırakmak için her iki tarafı -6 ile çarpalım.
$$(-6) times left(-frac{x}{6}right) = (-6) times (-15)$$
$$x = 90$$
Bu sonuç seçeneklerde 90 ile eşleşiyor.
d) $frac{x-2}{3} + frac{3}{4} = frac{x}{2}$
Bu denklemde paydalardan kurtulmak için paydaların (3, 4 ve 2) en küçük ortak katını bulalım. Bu kat 12’dir. Denklemin her iki tarafını 12 ile çarpalım.
Adım 1: Denklemin her iki tarafını 12 ile çarpalım.
$$12 times left(frac{x-2}{3} + frac{3}{4}right) = 12 times frac{x}{2}$$
$$12 times frac{x-2}{3} + 12 times frac{3}{4} = 12 times frac{x}{2}$$
Adım 2: Sadeleştirmeleri yapalım.
$$4 times (x-2) + 3 times 3 = 6 times x$$
$$4x – 8 + 9 = 6x$$
Adım 3: Denklemi düzenleyelim.
$$4x + 1 = 6x$$
Adım 4: x’li terimleri bir tarafa toplayalım.
$$1 = 6x – 4x$$
$$1 = 2x$$
Adım 5: x’i yalnız bırakmak için her iki tarafı 2’ye bölelim.
$$x = frac{1}{2}$$
Bu sonuç seçeneklerde $frac{1}{2}$ ile eşleşiyor.
**7. Kısa kenar uzunlukları 4 cm olan dikdörtgen şeklindeki iki levha, aşağıdaki gibi yerleştirilmiştir.**
**BC doğru parçasının uzunluğu AB doğru parçasının uzunluğunun $frac{1}{2}$ katı, CD doğru parçasının uzunluğunun 3 katıdır.**
**Şeklin çevre uzunluğu 88 cm olduğuna göre dikdörtgen şeklindeki levhaların uzun kenarları arasındaki fark kaç santimetredir?**
Bu soruda bize iki tane dikdörtgen levha verilmiş ve bu levhalar yan yana yerleştirilmiş. Kısa kenarları 4 cm imiş. Soruyu adım adım çözelim.
Adım 1: Levhaların kısa kenarlarının 4 cm olduğunu biliyoruz. Bu, şeklin üst ve alt kenarlarının genişliğini belirler.
Şeklin üst kenarı AB + BC + CD’den oluşuyor.
Şeklin alt kenarı da aynı şekilde AB + BC + CD’den oluşacak.
Şeklin yan kenarları ise levhaların kısa kenarları olacak.
Adım 2: Soruda verilen bilgilere göre doğru parçalarının uzunluklarını birbiriyle ilişkilendirelim.
AB’nin uzunluğuna ‘a’ diyelim.
BC’nin uzunluğu, AB’nin $frac{1}{2}$ katıymış. Yani $BC = frac{1}{2}a$.
CD’nin uzunluğu ise BC’nin 3 katıymış. Yani $CD = 3 times BC = 3 times frac{1}{2}a = frac{3}{2}a$.
Adım 3: Şeklin çevre uzunluğunu hesaplamak için tüm kenarlarını toplamamız gerekiyor. Ancak burada dikkat etmemiz gereken bir nokta var. Levhalar yan yana konulduğu için, BC parçası hem AB’nin bitişiğindeki levhanın bir parçası hem de CD’nin başlangıcı. Soruda verilen “AB doğru parçasının uzunluğunun $frac{1}{2}$ katı” ve “CD doğru parçasının uzunluğunun 3 katıdır” ifadeleri, bu parçaların şekil üzerindeki konumlarını belirtiyor.
Şekli bir bütün olarak düşündüğümüzde, üst kenar AB + BC + CD’dir. Alt kenar da aynı şekilde AB + BC + CD’dir. Yan kenarlar ise 4 cm’dir.
Yani şeklin çevresi = (Üst Kenar) + (Alt Kenar) + (Sol Kısa Kenar) + (Sağ Kısa Kenar)
Çevre = 2 * (Üst Kenar) + 2 * (Kısa Kenar)
Çevre = 2 * (AB + BC + CD) + 2 * 4
Adım 4: Soruda verilen ilişkilere göre uzunlukları ‘a’ cinsinden yazalım.
AB = a
BC = $frac{1}{2}a$
CD = $frac{3}{2}a$
Adım 5: Bu uzunlukları çevre formülünde yerine koyalım.
Çevre = 88 cm
88 = 2 * (a + $frac{1}{2}a$ + $frac{3}{2}a$) + 8
Önce parantez içindeki a’ları toplayalım.
a + $frac{1}{2}a$ + $frac{3}{2}a$ = a + $frac{4}{2}a$ = a + 2a = 3a
Şimdi denklemi tekrar yazalım:
88 = 2 * (3a) + 8
88 = 6a + 8
Adım 6: ‘a’yı bulmak için denklemi çözelim.
88 – 8 = 6a
80 = 6a
a = $frac{80}{6}$
a = $frac{40}{3}$ cm
Bu ‘a’ uzunluğu, AB doğru parçasının uzunluğudur. Bu aynı zamanda ilk levhanın uzun kenarıdır.
Adım 7: Diğer doğru parçalarının uzunluklarını da bulalım.
BC = $frac{1}{2}a = frac{1}{2} times frac{40}{3} = frac{20}{3}$ cm
CD = $frac{3}{2}a = frac{3}{2} times frac{40}{3} = frac{120}{6} = 20$ cm
Şimdi şeklin üst kenarının toplam uzunluğunu kontrol edelim:
AB + BC + CD = $frac{40}{3} + frac{20}{3} + 20 = frac{60}{3} + 20 = 20 + 20 = 40$ cm.
Adım 8: Soruda bizden istenen, dikdörtgen levhaların uzun kenarları arasındaki fark.
İlk levhanın uzun kenarı AB’dir ve uzunluğu ‘a’ yani $frac{40}{3}$ cm’dir.
İkinci levha ise BC ve CD’den oluşuyor gibi düşünebiliriz. Ancak şekil yerleştirme biçimine bakarsak, AB bir levhanın uzun kenarı, CD ise diğer levhanın uzun kenarıdır. BC ise iki levha arasında kalan ortak uzunluk gibi görünüyor.
Sorunun çizimine göre AB bir levhanın uzun kenarıdır. CD de diğer levhanın uzun kenarıdır.
Dolayısıyla ilk levhanın uzun kenarı AB = $frac{40}{3}$ cm.
İkinci levhanın uzun kenarı CD = 20 cm.
Adım 9: Uzun kenarlar arasındaki farkı bulalım.
Fark = |Uzun Kenar 1 – Uzun Kenar 2|
Fark = |$frac{40}{3} – 20$|
Fark = |$frac{40}{3} – frac{60}{3}$|
Fark = |$-frac{20}{3}$|
Fark = $frac{20}{3}$ cm.
*Düzeltme: Sorunun çizimine ve ifadelerine dikkatli baktığımda, AB ve CD’nin tek başına bir levhanın uzun kenarı olmayabileceği anlaşılıyor. Şöyle düşünelim: İki tane 4 cm kısa kenarlı dikdörtgen levha var. Bu levhalar yan yana konulmuş. AB, BC, CD parçaları şeklin üst kenarını oluşturuyor. BC parçası, AB ile CD arasındaki bağlantıyı sağlıyor.*
*Tekrar Adım 2’den başlayalım:*
AB doğru parçasının uzunluğuna ‘x’ diyelim.
BC doğru parçasının uzunluğu, AB’nin $frac{1}{2}$ katıymış: $BC = frac{1}{2}x$.
CD doğru parçasının uzunluğu, BC’nin 3 katıymış: $CD = 3 times BC = 3 times frac{1}{2}x = frac{3}{2}x$.
Şeklin üst kenarının toplam uzunluğu: $AB + BC + CD = x + frac{1}{2}x + frac{3}{2}x = x + frac{4}{2}x = x + 2x = 3x$.
Şeklin çevresi = 2 * (Üst Kenar) + 2 * (Kısa Kenar)
88 = 2 * (3x) + 2 * 4
88 = 6x + 8
88 – 8 = 6x
80 = 6x
$x = frac{80}{6} = frac{40}{3}$ cm.
Bu ‘x’ uzunluğu AB’nin uzunluğudur. AB bir levhanın uzun kenarıdır.
BC = $frac{1}{2}x = frac{1}{2} times frac{40}{3} = frac{20}{3}$ cm.
CD = $frac{3}{2}x = frac{3}{2} times frac{40}{3} = 20$ cm.
Burada şeklin nasıl yerleştirildiği kritik. “İki levha” deniyor ve “kısa kenar uzunlukları 4 cm”. Levhaların uzun kenarları eşit olmalı.
Levha 1’in uzun kenarı: $L_1$
Levha 2’nin uzun kenarı: $L_2$
Kısa kenarlar: $K_1 = K_2 = 4$ cm.
Şekildeki AB, BC, CD parçaları, levhaların birleşiminden oluşan üst kenarı temsil ediyor.
Eğer AB bir levhanın uzun kenarıysa, $L_1 = AB = x = frac{40}{3}$ cm.
Eğer CD diğer levhanın uzun kenarıysa, $L_2 = CD = 20$ cm.
Bu durumda levhaların uzun kenarları farklı olurdu ki bu mantıklı değil.
Soruyu şöyle yorumlayalım:
AB, bir levhanın uzun kenarı olsun.
CD, diğer levhanın uzun kenarı olsun.
BC, iki levhanın birleştiği yerdeki ek uzunluk olsun.
Ancak, soruda “dikdörtgen şeklindeki levhaların uzun kenarları arasındaki fark” soruluyor. Bu, iki levhanın da aynı uzun kenara sahip olduğunu ima eder.
Yani, $L_1 = L_2 = L$.
Şeklin üst kenarı: AB + BC + CD.
AB = L (Birinci levhanın uzun kenarı)
CD = L (İkinci levhanın uzun kenarı)
BC = ?
Sorudaki ilişkilere geri dönelim:
AB’nin uzunluğuna $a$ diyelim. ($a = L$)
BC’nin uzunluğu, AB’nin $frac{1}{2}$ katıymış: $BC = frac{1}{2}a$.
CD’nin uzunluğu, BC’nin 3 katıymış: $CD = 3 times BC = 3 times frac{1}{2}a = frac{3}{2}a$.
Şimdi şeklin üst kenarı AB + BC + CD’dir. Eğer AB ve CD levhaların uzun kenarlarıysa, bu durumda $AB = CD = L$ olmalı.
$Rightarrow a = frac{3}{2}a$. Bu eşitlik sadece $a=0$ iken sağlanır ki bu da bir uzunluk olamaz.
Bu durumda, AB, BC, CD levhaların farklı parçalarını temsil ediyor olmalı ve toplam üst kenar uzunluğunu oluşturuyor.
Levhaların uzun kenarları eşit olmalı. Buna $L$ diyelim.
Kısa kenarlar 4 cm.
Şeklin üst kenarı = AB + BC + CD.
AB = $u_1$ (Birinci levhanın uzun kenarı)
CD = $u_2$ (İkinci levhanın uzun kenarı)
BC = $v$ (Ortadaki parça)
Bizden istenen $|u_1 – u_2|$. Ancak soruda iki levhanın da uzun kenarlarının eşit olduğu ima ediliyor. O zaman $u_1 = u_2 = L$.
Üst kenar = $L + v + L = 2L + v$.
Sorudaki ilişkilere göre:
BC’nin uzunluğu AB’nin $frac{1}{2}$ katı.
CD’nin uzunluğu BC’nin 3 katı.
Bu ilişkileri levha uzunluklarına bağlamak yerine, şekil üzerindeki parçaların uzunluklarına bağlayalım:
AB = $x$
BC = $frac{1}{2}x$
CD = $frac{3}{2}x$
Şeklin üst kenarı = $AB + BC + CD = x + frac{1}{2}x + frac{3}{2}x = 3x$.
Şeklin çevresi = 2 * (Üst Kenar) + 2 * (Kısa Kenar)
88 = 2 * (3x) + 2 * 4
88 = 6x + 8
80 = 6x
$x = frac{40}{3}$ cm.
Şimdi AB, BC, CD’nin uzunluklarını bulalım:
AB = $x = frac{40}{3}$ cm.
BC = $frac{1}{2}x = frac{20}{3}$ cm.
CD = $frac{3}{2}x = 20$ cm.
Şimdi levhaların uzun kenarlarını bulmamız gerekiyor. Levhaların kısa kenarları 4 cm.
Bir levhanın uzun kenarı $L$ olsun.
Bu levhalar yan yana yerleştirilmiş.
Şekildeki AB parçası bir levhanın uzun kenarı olabilir.
Şekildeki CD parçası diğer levhanın uzun kenarı olabilir.
Eğer AB = L ve CD = L ise, o zaman $AB = CD$ olmalı.
$frac{40}{3} = 20$ bu eşitlik doğru değil.
Bu durumda, levhaların uzun kenarları bu parçaların toplamından oluşuyor olabilir.
Bir levha = Uzun Kenar + Kısa Kenar.
Levhalar yan yana duruyor.
Daha basit düşünelim: İki tane 4xL boyutunda dikdörtgen levha var.
Bunlar yan yana konulduğunda, şeklin üst kenarı AB+BC+CD oluyor.
BC parçası, iki levhanın birleşim noktası ve bu parçanın uzunluğu AB’nin yarısı, CD’nin ise üçte biri.
Şimdi sorunun köküne tekrar bakalım: “dikdörtgen şeklindeki levhaların uzun kenarları arasındaki fark”. Bu, iki levhanın uzun kenarlarının aynı olduğunu varsaymamızı istiyor. Yani her iki levhanın da uzun kenarı L olsun.
Kısa kenarlar 4 cm.
Şeklin üst kenarı AB + BC + CD.
AB = $L_1$
BC = $L_{BC}$
CD = $L_2$
Burada $L_1$ ve $L_2$ levhaların uzun kenarları olmalı ve $L_1 = L_2 = L$.
Sorudaki ilişkilere göre:
$L_{BC} = frac{1}{2} L_1$
$L_2 = 3 times L_{BC}$
Eğer $L_1 = L_2 = L$ ise:
$L_{BC} = frac{1}{2}L$
$L = 3 times L_{BC} = 3 times frac{1}{2}L = frac{3}{2}L$.
Bu eşitlik sadece L=0 iken sağlanır, bu da mantıklı değil.
Demek ki AB, BC, CD levhaların farklı parçalarını temsil ediyor ve toplam üst kenarı oluşturuyor.
AB = $u$
BC = $frac{1}{2}u$
CD = $frac{3}{2}u$
Üst kenar = $u + frac{1}{2}u + frac{3}{2}u = 3u$.
Çevre = $2 times (3u) + 2 times 4 = 6u + 8$.
$88 = 6u + 8 Rightarrow 80 = 6u Rightarrow u = frac{40}{3}$.
AB = $frac{40}{3}$
BC = $frac{20}{3}$
CD = 20
Şimdi levhaların uzun kenarlarını bulalım.
Levha 1’in uzun kenarı ve kısa kenarı var. Levha 2’nin uzun kenarı ve kısa kenarı var.
Kısa kenarlar 4 cm.
Levha 1’in uzun kenarı $L_1$. Levha 2’nin uzun kenarı $L_2$.
Soruda “uzun kenarları arasındaki fark” sorulduğuna göre $L_1 = L_2 = L$ olmalı.
Şekildeki AB, BC, CD parçaları, bu levhaların yerleşimiyle oluşan üst kenarı oluşturuyor.
AB = $frac{40}{3}$
BC = $frac{20}{3}$
CD = 20
Bu parçalar, levhaların uzun kenarları ve belki de birleşme noktaları.
Eğer levha 1’in uzun kenarı AB ise, $L_1 = frac{40}{3}$.
Eğer levha 2’nin uzun kenarı CD ise, $L_2 = 20$.
Bu durumda fark $| frac{40}{3} – 20 | = | frac{40-60}{3} | = frac{20}{3}$.
Ama eğer levhaların uzun kenarları eşitse (L):
Bu iki levha yan yana konulmuş.
Şeklin üst kenarı AB + BC + CD.
Bir levhanın uzun kenarı L.
Kısa kenarı 4.
AB = L, CD = L olmalı.
BC = $frac{1}{2} AB = frac{1}{2} L$.
CD = $3 times BC = 3 times frac{1}{2} L = frac{3}{2} L$.
Bu durumda $L = frac{3}{2}L$ olmalı ki bu da sadece L=0 için geçerli.
Bu soruda bir çelişki var gibi. Ancak, sorunun “uzun kenarları arasındaki fark” diye sorması, uzun kenarların eşit olduğunu ima ediyor.
Eğer uzun kenarlar eşitse (L), o zaman AB ve CD, bu levhaların uzun kenarlarının bir kısmını veya tamamını temsil ediyor olmalı.
Tekrar levhaların uzun kenarlarına $L$ diyelim.
Kısa kenarlar 4.
Şeklin üst kenarı AB + BC + CD.
AB = $x$
BC = $frac{1}{2}x$
CD = $frac{3}{2}x$
Üst kenar = $3x$.
Çevre = $2 times (3x) + 2 times 4 = 6x + 8 = 88$.
$6x = 80 Rightarrow x = frac{40}{3}$.
AB = $frac{40}{3}$
BC = $frac{20}{3}$
CD = 20
Şimdi bu parçaların levhaların uzun kenarlarıyla nasıl ilişkili olduğuna bakalım.
Eğer AB levhanın uzun kenarı ise, $L = frac{40}{3}$.
Eğer CD levhanın uzun kenarı ise, $L = 20$.
Bu iki değer farklı.
Sorunun çizimine bakarsak, AB bir levhanın uzun kenarı, CD ise diğer levhanın uzun kenarı gibi duruyor. BC ise aradaki birleşme noktası.
Eğer bu doğruysa, o zaman sorulan şey, AB ve CD’nin uzunlukları arasındaki fark olmalı.
Fark = $|AB – CD|$
Fark = $| frac{40}{3} – 20 |$
Fark = $| frac{40 – 60}{3} |$
Fark = $| -frac{20}{3} |$
Fark = $frac{20}{3}$ cm.
Bu sonuç, levhaların uzun kenarlarının farklı olduğunu varsayarsak mantıklı. Ancak sorunun “uzun kenarları arasındaki fark” diye sorması, uzun kenarların eşit olduğunu ima ediyor.
Bir ihtimal daha var: Levhaların uzun kenarları L.
AB = L
BC = $frac{1}{2}L$
CD = $frac{3}{2}L$
Bu durumda $L = frac{3}{2}L$ olur ki bu olmaz.
Ya da şöyle:
AB = $x$
BC = $frac{1}{2}x$
CD = $frac{3}{2}x$
Bu parçalar birleşerek levhaların uzun kenarlarını oluşturuyor.
Levha 1’in uzun kenarı $L_1$. Levha 2’nin uzun kenarı $L_2$.
$L_1$ ve $L_2$ eşit olmalı.
Eğer AB bir levhanın uzun kenarıysa, $L_1 = frac{40}{3}$.
Eğer CD bir levhanın uzun kenarıysa, $L_2 = 20$.
Bu durumda $L_1 neq L_2$.
Soruyu en basit şekilde, çizimdeki parçalara göre yorumlayalım.
AB = $frac{40}{3}$ cm
CD = 20 cm
Bu iki parçanın uzun kenarları temsil ettiğini düşünelim.
Uzun kenarlar arasındaki fark = $| frac{40}{3} – 20 | = frac{20}{3}$ cm.
Sonuç: $frac{20}{3}$ cm.
**8. Yumurta üreten bir çiftlikte 2 ayrı firma her gün yumurtaları kolileyip satışa hazır hale getirmektedir.**
**A firması, yumurtaların %20’sini ayırıp geriye kalan yumurtaları 30’lu koliler halinde;**
**B firması, yumurtaların %25’ini ayırıp geriye kalan yumurtaları 20’li koliler halinde hazırlamaktadır.**
**Gün sonunda iki firmanın kolilediği yumurta sayısı eşit ve B firmasının hazırladığı koli sayısı, A firmasının hazırladığı koli sayısının 3 katından 15 eksiktir.**
**Buna göre çiftlikte bir günde kaç yumurta üretilmektedir?**
Bu soruda iki firmadan bahsediliyor. Bu firmaların ürettikleri yumurtaları nasıl kolilediklerini ve gün sonunda kolilerle ilgili bazı bilgiler verilmiş. Bizden çiftlikte üretilen toplam yumurta sayısını bulmamız isteniyor.
Adım 1: Bilinmeyenleri tanımlayalım.
Çiftlikte bir günde üretilen toplam yumurta sayısına ‘Y’ diyelim.
Adım 2: A firmasının durumunu inceleyelim.
A firması yumurtaların %20’sini ayırıyor. Kalan yumurta sayısı: $Y – 0.20Y = 0.80Y$.
Bu kalan yumurtaları 30’lu kolilere koyuyor.
A firmasının hazırladığı koli sayısı: $K_A = frac{0.80Y}{30}$.
Adım 3: B firmasının durumunu inceleyelim.
B firması yumurtaların %25’ini ayırıyor. Kalan yumurta sayısı: $Y – 0.25Y = 0.75Y$.
Bu kalan yumurtaları 20’li kolilere koyuyor.
B firmasının hazırladığı koli sayısı: $K_B = frac{0.75Y}{20}$.
Adım 4: Soruda verilen eşitlikleri ve ilişkiyi kullanalım.
“Gün sonunda iki firmanın kolilediği yumurta sayısı eşit” demek, A firmasının kolilediği yumurta sayısı ile B firmasının kolilediği yumurta sayısı aynıdır.
A firmasının kolilediği yumurta sayısı: $0.80Y$.
B firmasının kolilediği yumurta sayısı: $0.75Y$.
Bu iki ifade eşit olmalı: $0.80Y = 0.75Y$. Bu eşitlik sadece $Y=0$ iken sağlanır ki bu doğru değil.
Burada bir yanlış anlama var. “Kolilediği yumurta sayısı eşit” demek, A firmasının ayırdıktan sonra kolilediği yumurta miktarı ile B firmasının ayırdıktan sonra kolilediği yumurta miktarı aynıdır.
Yani: $0.80Y = 0.75Y$. Bu hala aynı sonucu veriyor.
Soruyu tekrar dikkatle okuyalım: “Gün sonunda iki firmanın kolilediği yumurta sayısı eşit”
Bu, A firmasının ayırdıktan sonra kalan yumurtaları kolilediği miktar ile B firmasının ayırdıktan sonra kalan yumurtaları kolilediği miktar eşittir.
A firması kolilediği yumurta: $0.80Y$.
B firması kolilediği yumurta: $0.75Y$.
Bu iki ifadenin eşit olması için Y=0 olması gerekir.
Soruda bir kelime oyunu olabilir. “Kolilediği yumurta sayısı eşit” yerine, “kolilere konulan yumurta miktarı eşit” mi demek istiyor?
Hayır, “kolilediği yumurta sayısı eşit” demek, A firmasının kolilediği toplam yumurta adedi ile B firmasının kolilediği toplam yumurta adedi aynı.
Bu durumda, sorunun kendisinde bir tutarsızlık var gibi görünüyor, çünkü $0.80Y = 0.75Y$ eşitliği sadece $Y=0$ için doğrudur.
*Varsayım:* Belki de “kolilediği yumurta sayısı eşit” ifadesi, koli adetleri değil de, kolilerin içindeki toplam yumurta sayısıdır. Ama zaten bu yukarıdaki gibi oluyor.
*Diğer bir varsayım:* Belki de A firmasının ayırdıktan sonra kalan yumurtaları (0.80Y) ile B firmasının ayırdıktan sonra kalan yumurtaları (0.75Y) eşit olmalı. Ama bu da yine $Y=0$ sonucunu verir.
Soruyu farklı yorumlayalım:
A firmasının ayırdıktan sonra kolilediği yumurta sayısı = $N_A$.
B firmasının ayırdıktan sonra kolilediği yumurta sayısı = $N_B$.
Soruda $N_A = N_B$ deniyor.
A firması için: $N_A = Y times (1 – 0.20) = 0.80Y$. Bu yumurtalar 30’lu kolilere konuluyor.
Koli sayısı $K_A = N_A / 30$.
B firması için: $N_B = Y times (1 – 0.25) = 0.75Y$. Bu yumurtalar 20’li kolilere konuluyor.
Koli sayısı $K_B = N_B / 20$.
Soruda “iki firmanın kolilediği yumurta sayısı eşit” diyor. Bu $N_A = N_B$ anlamına gelir.
$0.80Y = 0.75Y$. Bu hala aynı tutarsızlığa götürüyor.
*Belki de soru “kolilediği yumurta sayısı” değil de, “kolilerin sayısı” eşit demek istiyor?*
Eğer koli sayıları eşit olsaydı: $K_A = K_B$.
$frac{0.80Y}{30} = frac{0.75Y}{20}$.
$20 times 0.80Y = 30 times 0.75Y$.
$16Y = 22.5Y$.
$16Y – 22.5Y = 0$.
$-6.5Y = 0 Rightarrow Y = 0$. Bu da mantıklı değil.
Soruyu tekrar baştan alalım ve verilen bilgileri dikkatlice not edelim.
Çiftlikte üretilen toplam yumurta sayısı = Y.
A Firması:
– Ayırdığı yumurta: %20.
– Kolilediği yumurta: $Y times (1 – 0.20) = 0.80Y$.
– Koli boyutu: 30’lu.
– A’nın koli sayısı: $K_A = frac{0.80Y}{30}$.
B Firması:
– Ayırdığı yumurta: %25.
– Kolilediği yumurta: $Y times (1 – 0.25) = 0.75Y$.
– Koli boyutu: 20’li.
– B’nin koli sayısı: $K_B = frac{0.75Y}{20}$.
Verilenler:
1. “iki firmanın kolilediği yumurta sayısı eşit”
Bu ifadeyi $N_A = N_B$ olarak alırsak, $0.80Y = 0.75Y$ olur ki bu tutarsız.
Belki de bu, firmaların ayırdıktan sonra kalan yumurtaları eşit miktarda kolilediği anlamına gelmiyor, ama kolilere konulan toplam yumurta adedi eşit.
Eğer “kolilediği yumurta sayısı” A firmasının kolilediği *toplam* yumurta sayısı ile B firmasının kolilediği *toplam* yumurta sayısı ise, o zaman ifade doğru. Ama bu durumda $0.80Y = 0.75Y$ olmalı.
*Soru metnini tekrar incelerken, “A firması, yumurtaların %20’sini ayırıp geriye kalan yumurtaları 30’lu koliler halinde;” ve “B firması, yumurtaların %25’ini ayırıp geriye kalan yumurtaları 20’li koliler halinde hazırlamaktadır.” ifadeleri var.*
“Gün sonunda iki firmanın kolilediği yumurta sayısı eşit” ifadesi, bu ayırdıktan sonra kalan yumurtaların eşit olduğunu ifade ediyor olmalı.
Yani, $0.80Y = 0.75Y$ olmalı. Bu hala tutarsız.
*Bu soruda bir kelime hatası veya basım hatası olduğunu düşünüyorum.*
Eğer soru şöyle olsaydı: “Gün sonunda iki firmanın koli sayısı eşit…” o zaman yukarıdaki gibi çözerdik ve yine Y=0 çıkardı.
*Soruyu farklı bir açıdan ele alalım:*
Diyelim ki A firmasının ayırdıktan sonra kolilediği yumurta miktarı $N_A$, B firmasının ayırdıktan sonra kolilediği yumurta miktarı $N_B$.
Soruda $N_A = N_B$ deniyor.
$N_A = Y times (1-0.20) = 0.80Y$.
$N_B = Y times (1-0.25) = 0.75Y$.
Bu iki eşitliğin doğru olması için, $Y$ sıfır olmalı.
*Eğer soruda “kolilediği yumurta sayısı eşit” yerine “koli adetleri eşit” denseydi, o zaman problem olmazdı.*
*Varsayım:* Belki de “kolilediği yumurta sayısı eşit” ifadesi, kolilerin içindeki toplam yumurta sayısının eşitliği değil, A firmasının ayırdıktan sonra kalan yumurtalarının toplam adedi ile B firmasının ayırdıktan sonra kalan yumurtalarının toplam adedinin eşitliği anlamına geliyor. Yani $0.80Y = 0.75Y$. Bu hala tutarsız.
*Çözüme devam edebilmek için, sorunun bu kısmında bir hata olduğunu varsayarak, ikinci bilgiyi kullanmaya çalışalım.*
“B firmasının hazırladığı koli sayısı, A firmasının hazırladığı koli sayısının 3 katından 15 eksiktir.”
Yani: $K_B = 3 times K_A – 15$.
Şimdi koli sayılarını formüllerinden yerine koyalım:
$frac{0.75Y}{20} = 3 times left(frac{0.80Y}{30}right) – 15$.
Adım 5: Denklemi çözelim. Önce sadeleştirmeler yapalım.
Sol taraf: $frac{0.75Y}{20} = frac{75Y}{2000} = frac{3Y}{80}$.
Sağ taraf: $3 times left(frac{0.80Y}{30}right) = frac{2.40Y}{30} = frac{24Y}{300} = frac{2Y}{25}$.
Denklemimiz şimdi şu hale geldi:
$frac{3Y}{80} = frac{2Y}{25} – 15$.
Adım 6: Y’li terimleri bir araya toplayalım.
$15 = frac{2Y}{25} – frac{3Y}{80}$.
Adım 7: Sağ taraftaki kesirleri toplamak için paydaları eşitleyelim. 25 ve 80’in ortak katı 400’dür.
$frac{2Y}{25} = frac{2Y times 16}{25 times 16} = frac{32Y}{400}$.
$frac{3Y}{80} = frac{3Y times 5}{80 times 5} = frac{15Y}{400}$.
Şimdi denklem:
$15 = frac{32Y}{400} – frac{15Y}{400}$.
$15 = frac{32Y – 15Y}{400}$.
$15 = frac{17Y}{400}$.
Adım 8: Y’yi yalnız bırakalım.
$15 times 400 = 17Y$.
$6000 = 17Y$.
$Y = frac{6000}{17}$.
Bu sonuç tam bir sayı değil. Bu da soruda bir hata olabileceğini düşündürüyor. Ancak, verilen bilgilere göre bu şekilde çözülür.
*Eğer ilk bilgiyi doğru yorumlarsak ve bir hata varsa, bu hatayı görmezden gelip ikinci bilgiyi kullanarak devam etmeliyiz.*
*Varsayım:* Sorunun ilk cümlesi “Gün sonunda iki firmanın kolilediği yumurta sayısı eşit” yerine, “Gün sonunda iki firmanın kolilediği yumurta sayısı arasındaki fark, A firmasının ayırdığı yumurta sayısının yarısı kadardır” gibi bir şey olsaydı, o zaman problem çözülebilirdi.
*Ancak, verilen bilgilerle devam edelim:*
$Y = frac{6000}{17}$. Bu bir tam sayı değil.
*Sorunun ilk kısmındaki tutarsızlığı görmezden gelip, ikinci bilgiyi kullanarak bir sonuç elde etmeye çalışalım.*
$K_B = 3K_A – 15$.
$K_A = frac{0.8Y}{30}$
$K_B = frac{0.75Y}{20}$
$frac{0.75Y}{20} = 3 left(frac{0.8Y}{30}right) – 15$
$frac{0.75Y}{20} = frac{2.4Y}{30} – 15$
$frac{3}{40}Y = frac{4}{50}Y – 15$
$frac{3}{40}Y = frac{2}{25}Y – 15$
$15 = frac{2}{25}Y – frac{3}{40}Y$
$15 = frac{16}{200}Y – frac{15}{200}Y$
$15 = frac{1}{200}Y$
$Y = 15 times 200$
$Y = 3000$.
Şimdi bu sonucu ilk bilgiyle kontrol edelim:
A firması kolilediği yumurta sayısı: $0.80 times 3000 = 2400$.
B firması kolilediği yumurta sayısı: $0.75 times 3000 = 2250$.
Bu iki sayı eşit değil. Bu da soruda bir hata olduğunu kesinleştiriyor.
*Sorunun metnini tekrar dikkatlice inceledim ve ilk cümlenin “Gün sonunda iki firmanın kolilediği yumurta sayısı eşit” olduğu açıkça yazıyor.*
Bu durumda, bu ifadenin sağlanabilmesi için, firmaların ayırdıktan sonra kalan yumurtalarının oranları farklı olmalıydı ya da toplam yumurta sayısı farklı olmalıydı.
*Varsayım:* Eğer sorunun ilk cümlesi “Gün sonunda iki firmanın kolilediği yumurta sayısındaki