Harika bir çalışma! Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencim, ben senin Matematik öğretmeninim. Gönderdiğin bu görseldeki alıştırmaları birlikte, adım adım ve anlayarak çözeceğiz. Rasyonel ve irrasyonel sayılar konusunu bu alıştırmalarla iyice pekiştirelim. Hazırsan başlayalım!
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki sayılardan rasyonel sayı olanların önündeki kutucuğa “✓”, irrasyonel sayı olanların önündeki kutucuğa “X” yazınız.
Bu soruyu çözmeden önce küçük bir hatırlatma yapalım. Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı (a/b şeklinde) olarak yazılabilen sayılardır. Mesela tam sayılar, kesirler, ondalık sayılar ve devirli ondalık sayılar birer rasyonel sayıdır. İrrasyonel sayılar ise bu şekilde yazılamayan sayılardır. En bilinen örnekleri π (pi) sayısı ve karekök dışına tam olarak çıkamayan sayılardır (√2, √5 gibi).
a. ☐ 194
Adım 1: 194 sayısı bir tam sayıdır.
Adım 2: Bütün tam sayıların paydasına gizli bir “1” yazabiliriz. Yani 194’ü 194/1 şeklinde yazabiliriz.
Adım 3: İki tam sayının oranı şeklinde yazılabildiği için 194 rasyonel bir sayıdır.
Sonuç: [✓] 194b. ☐ π
Adım 1: Pi (π) sayısı, virgülden sonraki kısmı sonsuza kadar düzensiz bir şekilde devam eden özel bir sayıdır.
Adım 2: a/b şeklinde kesir olarak ifade edilemez. Bu yüzden irrasyonel sayıların en meşhur örneğidir.
Sonuç: [X] πc. ☐ 9/4
Adım 1: Bu sayı zaten iki tam sayının oranı (kesir) şeklinde verilmiş.
Adım 2: Bu durum, rasyonel sayı tanımına doğrudan uyar.
Sonuç: [✓] 9/4ç. ☐ 2√3
Adım 1: √3 ifadesine bakalım. 3 sayısı tam kare bir sayı olmadığı için kök dışına tam olarak çıkamaz.
Adım 2: Kök dışına tam çıkamayan sayılar irrasyoneldir. Yani √3 irrasyonel bir sayıdır.
Adım 3: Bir irrasyonel sayının (√3) bir rasyonel sayı (2) ile çarpımı yine irrasyoneldir.
Sonuç: [X] 2√3d. ☐ 2,28 (28’in üzerinde devir çizgisi var)
Adım 1: Sayının üzerindeki çizgi, 28 sayısının sürekli tekrar ettiğini gösterir (2,282828…). Bu tür sayılara devirli ondalık sayı deriz.
Adım 2: Unutma, çok önemli bir kural: Bütün devirli ondalık sayılar rasyonel sayıdır! Çünkü hepsi kesre dönüştürülebilir.
Sonuç: [✓] 2,28e. ☐ –0,1982
Adım 1: Bu sayı, virgülden sonra biten, yani sonlu bir ondalık sayıdır.
Adım 2: Sonlu ondalık sayıları her zaman kesir olarak yazabiliriz: –1982/10000.
Adım 3: a/b şeklinde yazılabildiği için bu sayı rasyoneldir.
Sonuç: [✓] –0,1982f. ☐ √400
Adım 1: Kareköklü bir ifade gördüğümüzde hemen “irrasyonel” demeden önce kökün dışına tam çıkıp çıkmadığını kontrol etmeliyiz.
Adım 2: 400 sayısı, 20’nin karesidir (20 x 20 = 400). Dolayısıyla √400 = 20’dir.
Adım 3: 20 bir tam sayıdır ve her tam sayı rasyoneldir.
Sonuç: [✓] √400g. ☐ √23
Adım 1: 23 sayısı tam kare bir sayı mıdır? Yani “hangi sayının kendisiyle çarpımı 23 eder?” diye soralım. Böyle bir tam sayı yok (4×4=16, 5×5=25).
Adım 2: 23 kök dışına tam olarak çıkamaz. Bu yüzden irrasyonel bir sayıdır.
Sonuç: [X] √23ğ. ☐ 4,6 (6’nın üzerinde devir çizgisi var)
Adım 1: Bu da bir devirli ondalık sayıdır (4,6666…).
Adım 2: Yukarıdaki kuralımızı hatırlayalım: Devirli ondalık sayılar her zamanrasyoneldir.
Sonuç: [✓] 4,6
2. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başına “D”, yanlış olanların başına “Y” yazınız.
Şimdi de bu ifadelerin doğruluğunu kontrol edelim. Bildiklerimizi kullanarak mantık yürüteceğiz.
a. (….) Bütün rasyonel sayılar gerçek sayıdır.
Açıklama: Gerçek sayılar kümesi, rasyonel sayılar ile irrasyonel sayıların birleşiminden oluşan en geniş sayı kümesidir. Yani rasyonel sayılar, gerçek sayılar ailesinin bir üyesidir. Bu ifade DOĞRUDUR.
Sonuç: (D)b. (….) İrrasyonel sayılar iki tam sayının oranı şeklinde yazılabilir.
Açıklama: Bu tanım, rasyonel sayılara aittir. İrrasyonel sayıların tanımı tam olarak bunun zıttıdır: “iki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan” sayılardır. Bu ifade YANLIŞTIR.
Sonuç: (Y)c. (….) Devirli ondalık gösterimle verilen her sayı irrasyonel sayıdır.
Açıklama: Bu tuzağa düşme! Tam tersi! Devirli ondalık sayıların hepsi kesre çevrilebildiği için rasyonel sayılardır. İrrasyonel sayıların ondalık gösterimi devirsiz (düzensiz) ve sonsuzdur. Bu ifade YANLIŞTIR.
Sonuç: (Y)ç. (….) Her ondalık gösterim, bir irrasyonel sayıdır.
Açıklama: Bu da yanlış bir genelleme. Örneğin 0,5 bir ondalık gösterimdir ama 1/2’ye eşit olduğu için rasyoneldir. Sadece virgülden sonrası düzensiz bir şekilde sonsuza giden ondalık gösterimler (pi sayısı gibi) irrasyoneldir. Bu ifade YANLIŞTIR.
Sonuç: (Y)d. (….) Gerçek sayılar R sembolü ile gösterilir.
Açıklama: Evet, bu temel bir bilgidir. Gerçek sayılar kümesi (Reel Sayılar olarak da bilinir) matematikte R sembolü ile gösterilir. Bu ifade DOĞRUDUR.
Sonuç: (D)
Umarım açıklamalarım net ve anlaşılır olmuştur. Bu konuları bol bol tekrar ederek ve soru çözerek çok daha iyi öğrenebilirsin. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin. Başarılar dilerim!