Merhaba sevgili öğrencilerim! Bugün birlikte bu alıştırmaları çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıda verilen ondalık gösterimleri 10’un tam sayı kuvvetlerini kullanarak çözümleyiniz.
a) 12,73 =
Bu sayıyı çözümlemek için her bir basamağın değerini 10’un kuvvetleriyle çarpıp toplarız. Virgülden önceki 1’in basamak değeri 101, 2’nin basamak değeri 100‘dır. Virgülden sonraki 7’nin basamak değeri 10-1, 3’ün basamak değeri 10-2‘dir.
12,73 = 1 * 101 + 2 * 100 + 7 * 10-1 + 3 * 10-2
b) 102,4 =
Aynı mantıkla bu sayıyı da çözümleyelim. 1’in basamak değeri 102, 0’ın basamak değeri 101, 2’nin basamak değeri 100, 4’ün basamak değeri ise 10-1‘dir.
102,4 = 1 * 102 + 0 * 101 + 2 * 100 + 4 * 10-1
c) 68,476 =
Bu sayıyı da çözümlediğimizde:
68,476 = 6 * 101 + 8 * 100 + 4 * 10-1 + 7 * 10-2 + 6 * 10-3
2. Aşağıda çözümlenmiş biçimleri verilen ondalık gösterimleri yazınız.
a) 2 * 100 + 6 * 10-2 =
Burada 100‘ın yanında 2 var, bu da sayının tam kısmında 2 olduğunu gösterir. 10-2‘nin yanında 6 var, bu da virgülden sonra ikinci basamakta 6 olduğunu gösterir. Arada bir basamak boş kalır.
2 * 100 = 2
6 * 10-2 = 0,06
2 + 0,06 = 2,06
b) 4 * 102 + 3 * 101 + 2 * 100 + 6 * 10-1 + 4 * 10-2 + 7 * 10-3 =
Bu uzun çözümlemeyi de basamak değerlerine göre yazalım. 102‘nin yanında 4 var, bu 400 demek. 101‘in yanında 3 var, bu 30 demek. 100‘ın yanında 2 var, bu 2 demek. 10-1‘in yanında 6 var, bu 0,6 demek. 10-2‘nin yanında 4 var, bu 0,04 demek. 10-3‘ün yanında 7 var, bu da 0,007 demek.
400 + 30 + 2 + 0,6 + 0,04 + 0,007 = 432,647
c) 8 * 105 + 6 * 102 + 7 * 100 + 5 * 10-1 + 4 * 10-2 =
Bu çözümlemeyi de aynı şekilde yapalım. 105‘in yanında 8 var, bu 800.000 demek. 102‘nin yanında 6 var, bu 600 demek. 100‘ın yanında 7 var, bu 7 demek. 10-1‘in yanında 5 var, bu 0,5 demek. 10-2‘nin yanında 4 var, bu da 0,04 demek.
800.000 + 600 + 7 + 0,5 + 0,04 = 800.607,54
3. Aşağıdaki ifadelerde yerine yazılması gereken sayıları bulunuz.
a) 600 000 = 6 * 10
600.000 sayısında 6’nın basamak değeri 105‘tir. Çünkü 6’dan sonra 5 tane sıfır var.
Cevap: 5
b) 25 = 0,25 * 10
0,25’i 25 yapmak için virgülü iki basamak sağa kaydırmamız gerekir. Bu da 10’un kuvvetini 2 artırmak anlamına gelir.
0,25 * 102 = 25
Cevap: 2
c) 2 * 103 = 0,2 * 10
2 * 103 = 2000
0,2’yi 2000 yapmak için virgülü 4 basamak sağa kaydırmamız gerekir. Bu da 10’un kuvvetini 4 artırmak demektir.
0,2 * 104 = 2000
Cevap: 4
ç) 6 * 10 = 0,006 * 102
0,006 * 102 = 0,006 * 100 = 0,6
6’yı 0,6 yapmak için virgülü bir basamak sola kaydırırız. Bu da 10’un kuvvetini 1 azaltmak demektir.
6 * 10-1 = 0,6
Cevap: -1
d) 83,4 * 10-8 = 8,34 * 10
83,4’ü 8,34 yapmak için virgülü bir basamak sola kaydırırız. Bu da 10’un kuvvetini 1 azaltmak demektir.
83,4 * 10-8 = (8,34 * 101) * 10-8 = 8,34 * 101 + (-8) = 8,34 * 10-7
Cevap: -7
e) 70,2 * 10 = 702 * 106
70,2’yi 702 yapmak için virgülü iki basamak sağa kaydırırız. Bu da 10’un kuvvetini 2 artırmak demektir.
70,2 * 10x = 702 * 106
70,2 * 106+2 = 70,2 * 108
Şimdi 70,2 * 108 = 702 * 106 eşitliğini kontrol edelim.
70,2 * 108 = 702 * 10-1 * 108 = 702 * 107
Soruda bir yanlışlık olabilir mi diye kontrol edelim. Eğer 702 yerine 0,702 olsaydı:
70,2 * 10x = 0,702 * 106
70,2’yi 0,702 yapmak için virgülü iki basamak sola kaydırırız. Bu da 10’un kuvvetini 2 azaltmak demektir.
70,2 * 106-2 = 70,2 * 104
Bu da 0,702 * 106 olur.
Şimdi sorudaki ifadeyi tekrar inceleyelim: 70,2 * 10 = 702 * 106
70,2’yi 702 yapmak için virgülü 2 basamak sağa kaydırırız, yani 102 ile çarparız.
70,2 * 102 = 702
O halde: 70,2 * 102 * 10x = 702 * 106
702 * 102+x = 702 * 106
Buradan 2+x = 6 olmalı, yani x = 4.
Cevap: 4
4. x * 10-5 = 0,23 * 102 olduğuna göre x sayısının kaç basamaklı olduğunu bulunuz.
Önce sağdaki ifadeyi hesaplayalım:
0,23 * 102 = 0,23 * 100 = 23
Şimdi denklemimiz şu hale geldi:
x * 10-5 = 23
x’i yalnız bırakmak için her iki tarafı 10-5‘e bölelim:
x = 23 / 10-5
Bir sayıyı 10’un negatif kuvvetine bölmek, o sayıyı 10’un aynı pozitif kuvvetiyle çarpmak demektir:
x = 23 * 105
Bu da 23’ün yanına 5 tane sıfır eklemek demektir:
x = 2.300.000
Bu sayının kaç basamaklı olduğunu bulmak için basamaklarını sayarız. 2.300.000 sayısı 7 basamaklıdır.
Cevap: 7
5. Aşağıda verilen sayıları 10’un farklı tam sayı kuvvetlerini kullanarak yazınız.
a) 28,3 =
İlk olarak 28,3’ü 10-1 ile ifade edelim. 28,3’ü 10 ile çarparsak 283 olur. Yani 10-1 ile çarpmak demek, sayıyı 10’a bölmek demektir. 28,3’ü 10’a bölersek 2,83 olur. Bu istediğimiz değil.
Şimdi 28,3’ü 10-1 ile ifade etmek için sayıyı 10 ile çarpmamız gerekir. Yani 28,3 = 283 * 10-1 olmalı. Ama burada 28,3’ü aynen yazıp yanına 10’un kuvvetini eklememiz isteniyor.
28,3’ü 10-1 ile ifade etmek için sayıyı 10 ile çarparız ve 10-1 ile çarpmış oluruz. Bu yanlış bir mantık.
Doğrusu şu: 28,3 = A * 10B şeklinde yazacağız.
1. yol: 28,3 = 2,83 * 101
Ama burada 10-1, 10-2, 10-3 istenmiş.
2. yol: 28,3 = 283 * 10-1
Bu, 28,3 sayısını 10 ile çarptığımızda 283 elde ettiğimizi ve bu işlemi 10-1 ile çarpmış olduğumuzu gösterir. Yani sayıyı 10’a bölmüş oluyoruz.
28,3 = 283 * 10-1
3. yol: 28,3 = 2830 * 10-2
28,3’ü 100 ile çarparsak 2830 olur. Bunu da 10-2 ile çarpmış oluyoruz.
4. yol: 28,3 = 28300 * 10-3
28,3’ü 1000 ile çarparsak 28300 olur. Bunu da 10-3 ile çarpmış oluyoruz.
a) 28,3 = ………… 10-1
28,3 = 283 * 10-1
= ………… 10-2
28,3 = 2830 * 10-2
= ………… 10-3
28,3 = 28300 * 10-3
b) 5680 =
Şimdi 5680 sayısını 10’un farklı kuvvetleriyle yazalım.
b) 5680 = ………… 102
5680 = 56,8 * 102
= ………… 103
5680 = 5,68 * 103
= ………… 104
5680 = 0,568 * 104
6. 0,0001 = 10x ve 1000 = 10y olduğuna göre xy ifadesinin değeri kaçtır?
Önce x ve y’nin değerlerini bulalım.
0,0001 = 10x
0,0001’i 10’un kuvveti olarak yazarsak, 1’in basamak değeri 10-4‘tür.
0,0001 = 1 * 10-4
Yani, 10x = 10-4 ise, x = -4’tür.
1000 = 10y
1000’i 10’un kuvveti olarak yazarsak, 10 * 10 * 10 = 103‘tür.
Yani, 10y = 103 ise, y = 3’tür.
Şimdi xy ifadesinin değerini hesaplayalım:
xy = (-4)3
(-4)3 = (-4) * (-4) * (-4)
(-4) * (-4) = 16
16 * (-4) = -64
Cevap: -64
7. Ankara ile Çankırı arası mesafe 121 km’dir. Bu mesafenin milimetre cinsinden bilimsel gösterimini yazınız.
Önce kilometreleri milimetreye çevirelim. 1 km = 1000 metre ve 1 metre = 1000 milimetre.
1 km = 1000 * 1000 = 1.000.000 milimetre = 106 milimetre.
Şimdi 121 km’yi milimetreye çevirelim:
121 km = 121 * 106 milimetre.
Bu sayıyı bilimsel gösterimle yazmak için sayıyı 1 ile 10 arasında bir sayıya çevirmemiz gerekir. Virgülü iki basamak sola kaydırırız.
121 = 1,21 * 102
Şimdi bulduğumuz bu ifadeyi milimetre cinsinden yazalım:
121 * 106 milimetre = (1,21 * 102) * 106 milimetre
Üslü sayılarda çarpma kuralını kullanarak kuvvetleri toplarız:
1,21 * 102 + 6 milimetre = 1,21 * 108 milimetre.
Cevap: 1,21 * 108 mm
8. Jüpiter, Güneş sisteminde yer alan bir gezegendir. Jüpiter’in Güneş’e uzaklığı yaklaşık olarak 780 000 000 kilometredir. Jüpiter’in Güneş’e uzaklığının metre cinsinden bilimsel gösterimini yazınız.
Önce kilometreleri metreye çevirelim. 1 km = 1000 metre.
780.000.000 km = 780.000.000 * 1000 metre
Bu da 780.000.000.000 metre eder.
Şimdi bu sayıyı bilimsel gösterimle yazalım. Sayıyı 1 ile 10 arasında bir sayıya çevirmeliyiz.
780.000.000.000 = 7,8 * 10
Virgülü sayının en başına (7’nin sağına) getirmek için 11 basamak kaydırmamız gerekir.
780.000.000.000 = 7,8 * 1011 metre.
Cevap: 7,8 * 1011 m
9. Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarının bilimsel gösterimlerini yazınız.
a) (0,45 * 109) * (0,2 * 10-4)
Önce katsayıları çarpalım:
0,45 * 0,2 = 0,09
Şimdi de 10’un kuvvetlerini çarpalım:
109 * 10-4 = 109 + (-4) = 105
Şimdi bu iki sonucu birleştirelim:
0,09 * 105
Bu sayıyı bilimsel gösterimle yazmak için virgülü bir basamak sağa kaydırırız. Bu durumda 10’un kuvveti 1 azalır.
0,09 * 105 = 0,9 * 104
Cevap: 0,9 * 104
b) (128 * 10-7) * (0,8 * 10-6)
Önce katsayıları çarpalım:
128 * 0,8 = 102,4
Şimdi de 10’un kuvvetlerini çarpalım:
10-7 * 10-6 = 10-7 + (-6) = 10-13
Şimdi bu iki sonucu birleştirelim:
102,4 * 10-13
Bu sayıyı bilimsel gösterimle yazmak için virgülü iki basamak sola kaydırırız. Bu durumda 10’un kuvveti 2 artar.
102,4 * 10-13 = 1,024 * 10-13 + 2 = 1,024 * 10-11
Cevap: 1,024 * 10-11
c) $frac{5 cdot 10^9}{0,02 cdot 10^{-4}}$
Önce paydaki ve paydadaki katsayıları ayrı ayrı inceleyelim:
Paydaki katsayı: 5
Paydadaki katsayı: 0,02
Paydaki 10’un kuvveti: 109
Paydadaki 10’un kuvveti: 10-4
Şimdi katsayıları birbirine bölelim:
5 / 0,02
0,02’yi ondalık olarak yazmak yerine kesir olarak yazabiliriz: 0,02 = 2/100
5 / (2/100) = 5 * (100/2) = 5 * 50 = 250
Şimdi de 10’un kuvvetlerini bölelim:
109 / 10-4 = 109 – (-4) = 109 + 4 = 1013
Şimdi bu iki sonucu birleştirelim:
250 * 1013
Bu sayıyı bilimsel gösterimle yazmak için virgülü iki basamak sola kaydırırız. Bu durumda 10’un kuvveti 2 artar.
250 * 1013 = 2,5 * 102 * 1013 = 2,5 * 102 + 13 = 2,5 * 1015
Cevap: 2,5 * 1015
ç) $frac{64,2 cdot 10^{-5}}{0,1 cdot 10^{-9}}$
Önce paydaki ve paydadaki katsayıları ayrı ayrı inceleyelim:
Paydaki katsayı: 64,2
Paydadaki katsayı: 0,1
Paydaki 10’un kuvveti: 10-5
Paydadaki 10’un kuvveti: 10-9
Şimdi katsayıları birbirine bölelim:
64,2 / 0,1
0,1’e bölmek, 10 ile çarpmak demektir.
64,2 / 0,1 = 64,2 * 10 = 642
Şimdi de 10’un kuvvetlerini bölelim:
10-5 / 10-9 = 10-5 – (-9) = 10-5 + 9 = 104
Şimdi bu iki sonucu birleştirelim:
642 * 104
Bu sayıyı bilimsel gösterimle yazmak için virgülü iki basamak sola kaydırırız. Bu durumda 10’un kuvveti 2 artar.
642 * 104 = 6,42 * 102 * 104 = 6,42 * 102 + 4 = 6,42 * 106
Cevap: 6,42 * 106
41