8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Ada Yayınları Sayfa 17

Harika bir çalışma! 8. Sınıf matematiğinin en temel ve önemli konularından biri olan EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat) konusuna giriş yapıyoruz. Bu sayfadaki soruları bir öğretmeniniz olarak size adım adım, tane tane anlatacağım. Hadi başlayalım!

En Büyük Ortak Bölen ve En Küçük Ortak Kat (Giriş Sorusu)

Soru: Kenar uzunlukları 100 m ve 60 m olan yandaki dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın etrafına rüzgâr erozyonunu önlemek için eşit aralıklarla fidanlar dikilmek isteniyor.

a) Fidanların arasındaki aralıklar kaçar metre olabilir?

b) Fidanlar arasındaki aralıkların en büyük olması durumunda dikilecek fidan sayısı nasıl hesaplanabilir? Tartışınız.

Çözüm:

Sevgili öğrenciler, bu tarz “eşit aralıklara bölme”, “parçalara ayırma” gibi ifadeler gördüğümüzde aklımıza hemen BÖLEN bulma işlemi gelmeli. Burada hem 100 metrelik kenarı hem de 60 metrelik kenarı eşit aralıklara böleceğimiz için, bu aralığın her iki sayıyı da tam bölebilen bir sayı olması gerekir. Yani aradığımız şey ortak bölendir.

a) Fidanlar arasındaki aralıkların olası değerlerini bulalım:

Adım 1: Önce 100’ün bölenlerini (çarpanlarını) bulalım. Bir sayıyı hangi sayıların tam böldüğünü düşünelim.

• 100’ün bölenleri: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

Adım 2: Şimdi de 60’ın bölenlerini bulalım.

• 60’ın bölenleri: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Adım 3: Fidan aralığı her iki kenarı da tam bölmesi gerektiği için, bu iki listedeki ortak sayıları bulmalıyız.

• Ortak Bölenler: 1, 2, 4, 5, 10, 20

Sonuç: Fidanların arasındaki aralıklar 1 m, 2 m, 4 m, 5 m, 10 m veya 20 m olabilir.

b) En büyük aralıkta kaç fidan gerektiğini bulalım:

Adım 1: Soruda bizden “aralıkların en büyük olması” isteniyor. Bu, bulduğumuz ortak bölenlerin en büyüğünü seçmemiz gerektiği anlamına gelir. Yani EBOB (En Büyük Ortak Bölen)‘u bulmalıyız.

• Ortak bölenlerimiz 1, 2, 4, 5, 10, 20 idi. Bunların en büyüğü 20‘dir.
• Demek ki fidanlar arasındaki aralık en fazla 20 metre olabilir.

Adım 2: Şimdi de kaç fidan gerektiğini hesaplayalım. Fidanları tarlanın etrafına, yani çevresine dikeceğiz. Bu yüzden önce tarlanın çevresini bulmalıyız.

• Dikdörtgenin Çevresi = 2 x (kısa kenar + uzun kenar)
• Çevre = 2 x (60 + 100)
• Çevre = 2 x 160
• Çevre = 320 metre

Adım 3: Toplam fidan sayısını bulmak için, tarlanın çevresini bulduğumuz en büyük ortak aralığa (EBOB’a) böleriz.

• Fidan Sayısı = Çevre / EBOB
• Fidan Sayısı = 320 / 20
• Fidan Sayısı = 16

Sonuç: Fidanlar arasındaki aralık en büyük 20 metre olur ve bu durumda tarlanın etrafına toplam 16 fidan dikilir.

ETKİNLİK

Soru: Kısa kenarının uzunluğu 8 cm ve uzun kenarının uzunluğu 12 cm olan bir dikdörtgeni, kenar uzunlukları 1 cm, 2 cm ve 4 cm olan karelere ayırdığımızı düşünelim.

a) Hangi durumda daha fazla kare elde ettiğimizi söyleyelim.

b) Hangi kenar uzunluğunda kareler oluşturduğumuzda daha az kare elde ettiğimizi söyleyelim.

c) Söylediğimiz sayının dikdörtgenin kenar uzunluklarıyla olan ilişkisini tartışalım.

Çözüm:

Arkadaşlar, burada da bir bütünü (dikdörtgeni) eş parçalara (karelere) ayırıyoruz. Bu yüzden yine ortak bölen mantığını kullanacağız. Bir dikdörtgenden hiç boşluk kalmayacak şekilde kareler kesebilmemiz için, karenin kenar uzunluğunun hem dikdörtgenin kısa kenarını (8 cm) hem de uzun kenarını (12 cm) tam bölmesi gerekir.

• 8’in bölenleri: 1, 2, 4, 8
• 12’nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12
• Ortak Bölenler: 1, 2, 4

Gördüğünüz gibi, etkinlikte bize verilen 1, 2 ve 4 sayıları zaten 8 ve 12’nin ortak bölenleridir.

a) En fazla kareyi ne zaman elde ederiz?

Adım 1: Mantıken, bir bütünü ne kadar küçük parçalara ayırırsak o kadar çok parça elde ederiz. Bu yüzden en küçük karelerle (kenarı 1 cm olan) en fazla sayıda kare elde ederiz.

Sonuç: Kenar uzunluğu 1 cm olan kareler oluşturduğumuzda daha fazla kare elde ederiz.

b) En az kareyi ne zaman elde ederiz?

Adım 1: Aynı mantıkla, bir bütünü ne kadar büyük parçalara ayırırsak o kadar az parça elde ederiz. Bu yüzden en büyük karelerle (kenarı 4 cm olan) en az sayıda kare elde ederiz.

Sonuç: Kenar uzunluğu 4 cm olan kareler oluşturduğumuzda daha az kare elde ederiz.

c) Bu sayıların (1, 2, 4) kenar uzunluklarıyla (8, 12) ilişkisi nedir?

Adım 1: Yukarıda da gösterdiğimiz gibi, karelerin kenar uzunlukları olabilecek 1, 2 ve 4 sayıları, dikdörtgenin kenar uzunlukları olan 8 ve 12’nin ortak bölenleridir.

Adım 2: Elde edebileceğimiz en az kare sayısını veren 4 cm’lik kenar uzunluğu ise, 8 ve 12’nin en büyük ortak böleni (EBOB)‘dir. Yani bu dikdörtgenden kesilebilecek en büyük karenin bir kenarı 4 cm olur.

1. Örnek

Soru: 30 ve 45 sayılarının ortak bölenlerini bulalım. Bu bölenlerden en büyük olanı belirleyelim.

Çözüm:

Bu örnek, EBOB’un en temel tanımını anlamamız için harika bir alıştırma.

Adım 1: 30 sayısını tam bölen doğal sayıları yazalım.

• 30’un bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Adım 2: 45 sayısını tam bölen doğal sayıları yazalım.

• 45’in bölenleri: 1, 3, 5, 9, 15, 45

Adım 3: Şimdi bu iki listede de bulunan, yani ortak olan sayıları işaretleyelim.

• 30 ve 45’in ortak bölenleri: 1, 3, 5, 15

Adım 4: Son olarak, bu ortak bölenler listesindeki en büyük sayıyı bulalım.

• 1, 3, 5, 15 sayılarının en büyüğü 15’tir.

Sonuç: 30 ve 45 sayılarının en büyük ortak böleni (EBOB’u) 15‘tir.

Umarım açıklamalarım anlaşılır olmuştur. Unutmayın, EBOB problemleri genellikle büyük bir bütünü eş küçük parçalara ayırma durumlarında karşımıza çıkar. Bol bol pratik yaparak bu konuyu çok daha iyi kavrayabilirsiniz. Başarılar dilerim!