8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Ada Yayınları Sayfa 61

Harika bir çalışma! Hadi gel, bu kareköklü sayılarla ilgili alıştırmaları birlikte, adım adım çözelim. Unutma, matematikte en önemli şey konunun mantığını anlamaktır. Ben de sana tam olarak bunu göstermeye çalışacağım.

1. Aşağıda verilen kareköklü ifadeleri a√b şeklinde yazınız.

Bu soruda bizden, kök içindeki sayıyı olabildiğince küçültmemiz isteniyor. Bunu yapmak için kök içindeki sayının içinde “tam kare” bir çarpan, yani bir sayının karesi olan bir sayı arayacağız. Bu tam kare sayıyı bulup kökün dışına çıkaracağız.

• a. √72

  Adım 1: 72 sayısının içinde tam kare bir çarpan arayalım. 72’yi hangi iki sayının çarpımı olarak yazabiliriz? Aklımıza ilk gelenler 8 x 9 olabilir. 9 bir tam karedir (3’ün karesi)! Ama 8’in içinde de 4 var, o da bir tam kare. En iyisi, içindeki en büyük tam kare çarpanı bulmaktır. 72 = 36 x 2. 36, 6’nın karesidir!
  Adım 2: Şimdi √72’yi √(36 x 2) olarak yazabiliriz. 36 kök dışına 6 olarak çıkar, ama 2 içeride kalır.
  Sonuç: 6√2

• b. √300

  Adım 1: 300’ün içindeki en büyük tam kare çarpanı bulalım. 300’ü 100 x 3 olarak yazabiliriz. 100, 10’un karesidir.
  Adım 2: √300 = √(100 x 3). 100 dışarıya 10 olarak çıkar, 3 içeride kalır.
  Sonuç: 10√3

• c. √108

  Adım 1: 108’in içindeki en büyük tam kare çarpanı arıyoruz. 108 = 36 x 3. 36, 6’nın karesidir.
  Adım 2: √108 = √(36 x 3). 36 dışarıya 6 olarak çıkar, 3 içeride kalır.
  Sonuç: 6√3

• ç. √180

  Adım 1: 180 = 36 x 5. 36 yine karşımıza çıktı, 6’nın karesi.
  Adım 2: √180 = √(36 x 5). 36 dışarıya 6 olarak çıkar, 5 içeride kalır.
  Sonuç: 6√5

• d. √150

  Adım 1: 150’nin içindeki en büyük tam kare çarpan 25’tir. 150 = 25 x 6.
  Adım 2: √150 = √(25 x 6). 25 dışarıya 5 olarak çıkar, 6 içeride kalır.
  Sonuç: 5√6

• e. √320

  Adım 1: 320’nin içindeki en büyük tam kare çarpan 64’tür. 320 = 64 x 5.
  Adım 2: √320 = √(64 x 5). 64 dışarıya 8 olarak çıkar, 5 içeride kalır.
  Sonuç: 8√5

• f. √363

  Adım 1: Bu sayı biraz zor görünebilir. Rakamları toplamı (3+6+3=12) 3’e bölündüğü için sayı 3’e bölünür. 363 = 121 x 3. 121’i tanıdın mı? Evet, 11’in karesi!
  Adım 2: √363 = √(121 x 3). 121 dışarıya 11 olarak çıkar, 3 içeride kalır.
  Sonuç: 11√3

• g. √44

  Adım 1: 44 = 4 x 11. 4, 2’nin karesidir.
  Adım 2: √44 = √(4 x 11). 4 dışarıya 2 olarak çıkar, 11 içeride kalır.
  Sonuç: 2√11

• ğ. √162

  Adım 1: 162’nin içindeki en büyük tam kare çarpan 81’dir. 162 = 81 x 2.
  Adım 2: √162 = √(81 x 2). 81 dışarıya 9 olarak çıkar, 2 içeride kalır.
  Sonuç: 9√2

2. Aşağıda a√b şeklinde verilen ifadeleri √a²b şeklinde yazınız.

Bu sefer tam tersini yapıyoruz. Kökün dışındaki sayıyı (katsayıyı) içeri alacağız. Bir sayıyı kökün içine alırken onun karesini alarak içeri sokarız. Hadi yapalım!

• a. 7√2 = √(7² x 2) = √(49 x 2) = √98
• b. 2√5 = √(2² x 5) = √(4 x 5) = √20
• c. 13√3 = √(13² x 3) = √(169 x 3) = √507
• ç. 19√5 = √(19² x 5) = √(361 x 5) = √1805
• d. 7√6 = √(7² x 6) = √(49 x 6) = √294
• e. 6√3 = √(6² x 3) = √(36 x 3) = √108
• f. 14√3 = √(14² x 3) = √(196 x 3) = √588
• g. 19√2 = √(19² x 2) = √(361 x 2) = √722
• ğ. 15√7 = √(15² x 7) = √(225 x 7) = √1575

3. Aşağıdaki sayıların en yakın oldukları pozitif tam sayıları bulunuz.

Bir kareköklü sayının hangi tam sayıya yakın olduğunu bulmak için, önce sayıyı tamamen kök içine alırız (2. sorudaki gibi). Sonra bu sayının hangi iki tam kare sayı arasında olduğuna bakarız ve hangisine daha yakınsa cevap odur.

• a. 7√2

  Adım 1: 7√2’yi kök içine alalım: √(7² x 2) = √98.
  Adım 2: √98, hangi iki tam kare sayı arasındadır? √81 (yani 9) ile √100 (yani 10) arasındadır.
  Adım 3: 98 sayısı 81’e mi daha yakın, 100’e mi? 98’den 81’i çıkarırsak 17, 100’den 98’i çıkarırsak 2 kalır. 100’e çok daha yakın!
  Sonuç: En yakın olduğu tam sayı 10‘dur.

• b. 9√3

  Adım 1: 9√3 = √(9² x 3) = √(81 x 3) = √243.
  Adım 2: √243, hangi iki tam kare sayı arasındadır? 15²=225 ve 16²=256. Yani √225 (15) ile √256 (16) arasındadır.
  Adım 3: 243, 225’e mi daha yakın, 256’ya mı? 243-225=18, 256-243=13. 256’ya daha yakın.
  Sonuç: En yakın olduğu tam sayı 16‘dır.

• c. 6√7

  Adım 1: 6√7 = √(6² x 7) = √(36 x 7) = √252.
  Adım 2: √252, yine √225 (15) ile √256 (16) arasındadır.
  Adım 3: 252, 225’e mi daha yakın, 256’ya mı? 256-252=4. 256’ya çok daha yakın.
  Sonuç: En yakın olduğu tam sayı 16‘dır.

• ç. 5√5

  Adım 1: 5√5 = √(5² x 5) = √(25 x 5) = √125.
  Adım 2: √125, √121 (11) ile √144 (12) arasındadır.
  Adım 3: 125-121=4, 144-125=19. 121’e çok daha yakın.
  Sonuç: En yakın olduğu tam sayı 11‘dir.

4. x ve y doğal sayılar olmak üzere x√y = √512 olduğuna x + y değeri en az kaçtır?

Bu soruda √512’yi farklı x√y şekillerinde yazıp, her seferinde x+y toplamını hesaplayacağız ve en küçüğünü bulacağız. Bunun için 512’yi tam kare çarpanlarına ayırmalıyız.

Unutma: x√y ifadesinde x’in 1’den büyük bir doğal sayı olması gerekir.

Adım 1: 512’nin tam kare çarpanlarını bulalım. 512 = 2 x 256. 256, 16’nın karesidir! Bu güzel bir başlangıç.
√512 = √(256 x 2) = 16√2. Bu durumda x=16, y=2 olur. Toplamları: x+y = 16+2 = 18.
Adım 2: Başka çarpan var mı diye bakalım. 512 = 4 x 128. √512 = √(4 x 128) = 2√128. Burada x=2, y=128. Toplamları: x+y = 2+128 = 130.
Adım 3: 512 = 16 x 32. √512 = √(16 x 32) = 4√32. Burada x=4, y=32. Toplamları: x+y = 4+32 = 36.
Adım 4: 512 = 64 x 8. √512 = √(64 x 8) = 8√8. Burada x=8, y=8. Toplamları: x+y = 8+8 = 16.
Adım 5: Bulduğumuz toplamları karşılaştıralım: 18, 130, 36, 16. En küçüğü 16’dır.
Sonuç: x+y değerinin en az 16 olduğunu bulduk.

5. 6√3, √105, 2√26, 3√3, √123 ifadelerini sembol kullanarak büyükten küçüğe doğru sıralayınız.

Kareköklü sayıları sıralamanın en kolay yolu, hepsini tek bir kök içine almaktır (2. sorudaki gibi). Sonra kökün içindeki sayıları karşılaştırırız. Kökün içi ne kadar büyükse, sayı da o kadar büyüktür.

Adım 1: Tüm sayıları kök içine alalım.
6√3 = √(6² x 3) = √(36 x 3) = √108
√105 = √105 (zaten kök içinde)
2√26 = √(2² x 26) = √(4 x 26) = √104
3√3 = √(3² x 3) = √(9 x 3) = √27
√123 = √123 (zaten kök içinde)
Adım 2: Şimdi kök içindeki sayıları büyükten küçüğe sıralayalım: 123 > 108 > 105 > 104 > 27.
Adım 3: Bu sıralamaya göre sayıların orijinal hallerini yazalım.
Sonuç: √123 > 6√3 > √105 > 2√26 > 3√3

6. Aşağıdaki eşitliklerde noktalı yerlere gelmesi gereken sayıları yazınız.

Bu sorularda eşitliğin iki tarafını birbirine benzetmeye çalışacağız.

• a. 4√3 = …√12

  Adım 1: Sağ taraftaki √12’yi a√b şeklinde yazalım. √12 = √(4 x 3) = 2√3.
  Adım 2: Eşitliği yeniden yazalım: 4√3 = … x 2√3. Her iki tarafta da √3 var. O zaman 4 = … x 2 olmalı. Noktalı yere ne gelmeli? Tabii ki 2.
  Sonuç: 2

• b. 8√2 = 2√…

  Adım 1: Sol taraftaki 8√2’yi tamamen kök içine alalım: 8√2 = √(8² x 2) = √(64 x 2) = √128.
  Adım 2: Sağ taraftaki 2’yi de kök içine alalım: 2√… = √(2² x …) = √(4 x …).
  Adım 3: Eşitliğimiz √128 = √(4 x …) oldu. O zaman 128 = 4 x … olmalı. 128’i 4’e bölersek noktalı yeri buluruz. 128 / 4 = 32.
  Sonuç: 32

• c. …√3 = √192

  Adım 1: Sağ taraftaki √192’yi a√b şeklinde yazalım. 192’yi 3’e bölelim, çünkü sol tarafta √3 var. 192 / 3 = 64.
  Adım 2: O zaman √192 = √(64 x 3) = 8√3.
  Adım 3: Eşitliğimiz …√3 = 8√3 oldu. Noktalı yere gelmesi gereken sayı açıkça görünüyor.
  Sonuç: 8

• ç. 10√2 = 2√…

  Bu soru (b) şıkkıyla aynı mantıkta, hadi tekrar edelim.
  Adım 1: Sol tarafı tamamen kök içine alalım: 10√2 = √(10² x 2) = √(100 x 2) = √200.
  Adım 2: Sağ taraftaki 2’yi kök içine alalım: 2√… = √(2² x …) = √(4 x …).
  Adım 3: Eşitliğimiz √200 = √(4 x …) oldu. 200 = 4 x … olmalı. 200’ü 4’e bölelim. 200 / 4 = 50.
  Sonuç: 50

Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Kareköklü sayılarla oynamak aslında bir bulmaca çözmek gibidir. Bol bol pratik yaparak bu konuda çok daha hızlanabilirsin. Başarılar dilerim!