Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle birlikte silindirler konusundaki alıştırmaları çözeceğiz. Bu sorular, silindirin temel özelliklerini, alanını ve açınımını ne kadar iyi anladığımızı görmemize yardımcı olacak. Unutmayın, geometri sabır ve dikkat gerektirir. Hadi başlayalım!
Soru 1:Yanda verilen dik dairesel silindirin eksenini, yüksekliğini ve yarıçapını belirleyerek silindirin üzerinde gösteriniz.
Bu soruda bizden bir silindirin temel elemanlarını tanımamız isteniyor. Bu bir hesaplama sorusu değil, bir tanıma sorusu. Gelin bu elemanların ne anlama geldiğini hatırlayalım.
- Eksen: Bir silindirin alt ve üst tabanlarının tam merkezlerini birleştiren hayali doğru parçasıdır. Silindirin tam ortasından geçer.
- Yükseklik (h): Silindirin iki tabanı arasındaki dik mesafedir. Bu mesafe, eksenin uzunluğuna eşittir.
- Yarıçap (r): Silindirin dairesel tabanlarından birinin merkezinden kenarına olan mesafedir. Yani dairenin yarıçapıdır.
Görsel üzerinde bunları çizerek gösteremeyeceğim için, yerlerini tarif ederek açıklayacağım. Yüksekliği göstermek için tabanlar arasına dikey bir çizgi çizebiliriz. Yarıçapı göstermek için ise üst veya alt tabanın merkezinden dairenin herhangi bir kenarına bir çizgi çekeriz. Eksen ise bu iki dairenin merkezini birleştiren tam ortadaki çizgidir.
Soru 2:Yanda açınımı verilen dik dairesel silindirde |AB| = 5 · |BC| ve silindirin taban çapı 20 cm’dir. Buna göre |BC| kaç santimetredir? (π yerine 3 alınız.)
Sevgili çocuklar, bu soruda bir silindirin açınımı verilmiş. Silindirin açınımı bir dikdörtgen ve iki daireden oluşur. Buradaki ABCD dikdörtgeni, silindirin yanal yüzeyidir.
Unutmamamız gereken en önemli bilgi şudur: Yanal yüzeyi oluşturan dikdörtgenin bir kenarı (|AB| kenarı), tabandaki dairenin çevresine eşittir. Diğer kenarı (|BC| kenarı) ise silindirin yüksekliğine eşittir.
Haydi adım adım çözelim:
Adım 1: Tabanın çevresini bulalım.
Bize taban çapı 20 cm olarak verilmiş. Yarıçap (r), çapın yarısıdır.
r = 20 / 2 = 10 cm
Şimdi dairenin çevre formülünü kullanalım: Çevre = 2 · π · r
Çevre = 2 · 3 · 10 = 60 cm
Bu bulduğumuz çevre, aynı zamanda dikdörtgenin |AB| kenarının uzunluğudur. Yani |AB| = 60 cm.
Adım 2: Verilen eşitliği kullanarak |BC|’yi bulalım.
Soruda bize |AB| = 5 · |BC| olduğu söylenmişti.
|AB| yerine bulduğumuz 60 cm’yi yazalım:
60 = 5 · |BC|
|BC|’yi bulmak için 60’ı 5’e bölmemiz yeterli.
|BC| = 60 / 5 = 12 cm
Sonuç: |BC| uzunluğu 12 cm’dir.
Soru 3:Yanda yarıçapının uzunluğu ve yüksekliği verilen dik dairesel silindirin yüzey alanını hesaplayınız (π yerine 3 alınız.).
Bu soruda bizden silindirin toplam yüzey alanını bulmamız isteniyor. Bir silindirin yüzey alanı, iki tane dairesel tabanının alanı ile yanal yüzeyinin alanının toplamına eşittir.
Yüzey Alanı = (2 · Taban Alanı) + Yanal Alan
Görselden bilgileri alalım:
- Yükseklik (h) = 35 cm
- Taban Çapı = 14 cm. O zaman yarıçap (r) = 14 / 2 = 7 cm’dir.
- π = 3
Adım 1: Taban Alanını hesaplayalım.
Tabanımız bir daire. Dairenin alanı formülü: Alan = π · r2
Taban Alanı = 3 · (7)2 = 3 · 49 = 147 cm2
Silindirde iki tane taban olduğu için bu alanı 2 ile çarparız: 2 · 147 = 294 cm2
Adım 2: Yanal Alanı hesaplayalım.
Yanal alan formülü: Yanal Alan = 2 · π · r · h
Yanal Alan = 2 · 3 · 7 · 35 = 6 · 7 · 35 = 42 · 35 = 1470 cm2
Adım 3: Toplam Yüzey Alanını bulalım.
Toplam Alan = İki Tabanın Alanı + Yanal Alan
Toplam Alan = 294 + 1470 = 1764 cm2
Sonuç: Silindirin yüzey alanı 1764 cm2‘dir.
Soru 4:Taban çapının uzunluğu 40 m, yüksekliği 60 m olan dik dairesel silindirin alanını bulunuz (π yerine 3,14 alınız.).
Yine bir yüzey alanı sorusu! Formüllerimizi hemen hatırlayalım. Önce soruda verilenleri not edelim.
- Taban Çapı = 40 m. O zaman yarıçap (r) = 40 / 2 = 20 m.
- Yükseklik (h) = 60 m.
- π = 3,14
Adım 1: İki tabanın toplam alanını bulalım.
Bir tabanın alanı: Alan = π · r2 = 3,14 · (20)2 = 3,14 · 400 = 1256 m2
İki tabanın alanı: 2 · 1256 = 2512 m2
Adım 2: Yanal alanı bulalım.
Yanal Alan = 2 · π · r · h = 2 · 3,14 · 20 · 60 = 6,28 · 1200 = 7536 m2
Adım 3: Toplam yüzey alanını hesaplayalım.
Toplam Alan = İki Tabanın Alanı + Yanal Alan
Toplam Alan = 2512 + 7536 = 10048 m2
Sonuç: Silindirin alanı 10048 m2‘dir.
Soru 5:Yan yüzeyinin alanı 240 cm² olan dik dairesel silindirin yüksekliği 10 cm’dir. Buna göre bu silindirin yarıçap uzunluğunu hesaplayınız (π yerine 3 alınız.).
Bu sefer tersten gidiyoruz! Bize yanal alanı ve yüksekliği vermiş, yarıçapı istiyor. Hiç sorun değil, bildiğimiz formülü kullanacağız.
Yanal Alan formülümüz neydi? Yanal Alan = 2 · π · r · h
Şimdi bildiklerimizi formülde yerlerine yazalım.
Adım 1: Değerleri formülde yerine yaz.
240 = 2 · 3 · r · 10
Adım 2: Denklemi çözerek ‘r’yi bul.
Önce sağdaki sayıları çarpalım:
240 = (2 · 3 · 10) · r
240 = 60 · r
Şimdi yarıçapı (r) bulmak için 240’ı 60’a bölmemiz gerekiyor.
r = 240 / 60 = 4 cm
Sonuç: Silindirin yarıçap uzunluğu 4 cm’dir.
Soru 6:ABCD dikdörtgeninin kısa kenar uzunluğu 4 cm, uzun kenar uzunluğu 9 cm’dir. ABCD dikdörtgeni AB kenarı etrafında 360° döndürüldüğünde oluşan cismin yüzey alanını bulunuz (π yerine 3 alınız.).
Harika bir hayal gücü sorusu! Bir dikdörtgeni bir kenarı etrafında 360 derece döndürdüğümüzde ne oluşur? Tabii ki bir silindir!
Hangi kenar etrafında döndürüyorsak o kenar, silindirimizin yüksekliği (h) olur. Diğer kenar ise silindirimizin taban yarıçapı (r) olur.
Soruda dikdörtgenin AB kenarı etrafında döndürüldüğü söyleniyor. Görsele göre |AB| = 9 cm ve |BC| = 4 cm.
- Döndürme ekseni AB olduğu için yükseklik (h) = |AB| = 9 cm olur.
- Diğer kenar BC olduğu için yarıçap (r) = |BC| = 4 cm olur.
Artık yarıçapı ve yüksekliği bilinen bir silindirin yüzey alanını bulma sorusuna dönüştü. Haydi hesaplayalım!
Adım 1: İki tabanın toplam alanını bulalım.
Bir tabanın alanı: Alan = π · r2 = 3 · (4)2 = 3 · 16 = 48 cm2
İki tabanın alanı: 2 · 48 = 96 cm2
Adım 2: Yanal alanı bulalım.
Yanal Alan = 2 · π · r · h = 2 · 3 · 4 · 9 = 6 · 36 = 216 cm2
Adım 3: Toplam yüzey alanını hesaplayalım.
Toplam Alan = İki Tabanın Alanı + Yanal Alan
Toplam Alan = 96 + 216 = 312 cm2
Sonuç: Oluşan cismin yüzey alanı 312 cm2‘dir.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, bol bol pratik yaparak bu konuda çok daha iyi olabilirsiniz. Başarılar dilerim