Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle beraber “Çarpanlara Ayırma” konusuna harika bir başlangıç yapacağız. Önümüzdeki görselde yer alan etkinlik ve örnekleri adım adım, herkesin anlayacağı bir şekilde çözeceğiz. Hazırsanız, haydi başlayalım!
ETKİNLİK
Öncelikle yandaki, iç içe geçmiş iki dikdörtgenden oluşan şekli bir dedektif gibi inceleyelim ve bize sorulanları cevaplayalım.
ABEF dikdörtgeninin alanını veren cebirsel ifadeyi yazalım.
Çözüm: Sevgili arkadaşlar, bir dikdörtgenin alanını bulmak için kısa kenarı ile uzun kenarını çarptığımızı hepimiz biliyoruz. Şekle baktığımızda ABEF dikdörtgeninin kenar uzunluklarının a ve c olduğunu görüyoruz. O halde bu dikdörtgenin alanı bu iki kenarın çarpımına eşittir.
Alan(ABEF) = a ⋅ c
BCDE dikdörtgeninin alanını veren cebirsel ifadeyi yazalım.
Çözüm: Aynı şekilde, BCDE dikdörtgenine odaklanalım. Bu dikdörtgenin kenar uzunlukları ise b ve c‘dir. Alanını bulmak için yine bu iki kenarı çarpıyoruz.
Alan(BCDE) = b ⋅ c
ACDF dikdörtgeninin alanını veren cebirsel ifadeyi yazalım.
Çözüm: Şimdi de büyük resme bakalım, yani ACDF dikdörtgeninin tamamına. Bu en büyük dikdörtgenin bir kenarı c uzunluğunda. Diğer kenarı ise A’dan C’ye kadar olan mesafedir. Bu mesafe, ‘a’ uzunluğu ile ‘b’ uzunluğunun toplamıdır, yani (a + b)‘dir. Öyleyse büyük dikdörtgenin alanı:
Alan(ACDF) = c ⋅ (a + b)
ABEF dikdörtgeni ile BCDE dikdörtgeninin alanları toplamı ACDF dikdörtgeninin alanına eşit olur mu? Tartışalım.
Çözüm: Bu harika bir soru! Haydi hesaplayalım. İki küçük dikdörtgenin alanlarını toplayalım:
Alan(ABEF) + Alan(BCDE) = (a ⋅ c) + (b ⋅ c)
Büyük dikdörtgenin alanını ise c ⋅ (a + b) olarak bulmuştuk. Peki bu iki ifade birbirine eşit mi? Elbette eşit! Çünkü bu, matematikte dağılma özelliği dediğimiz şeyin ta kendisi. Yani c ⋅ (a + b) = c⋅a + c⋅b‘dir. Şekil üzerinde de gördüğümüz gibi, parçaların alanları toplamı, bütünün alanına eşittir. Sonuç: Evet, eşittir.
Bu eşitliği sağlayan matematiksel ifadeyi yazalım.
Çözüm: Az önce bulduğumuz eşitliği matematiksel olarak ifade edelim:
c ⋅ (a + b) = ac + bc
ACDF dikdörtgeni ile ABEF ve BCDE dikdörtgenlerinin ortak olan kenarının hangisi olduğunu söyleyelim.
Çözüm: Şekli dikkatlice incelediğimizde, her üç dikdörtgenin de ortak olarak sahip olduğu bir kenar olduğunu fark ederiz. Bu kenar, uzunluğu c olan dikey kenardır. Yani [AF], [BE] ve [CD] doğru parçalarının hepsi birbirine eşittir ve bu kenar üç dikdörtgen için de ortaktır.
1. Örnek
Yandaki modelleri kullanarak 4x + 8 ifadesini iki ifadenin çarpımı şeklinde yazalım.
Çözüm:
Bu soruda bize verilen model parçalarıyla bir dikdörtgen oluşturmamız isteniyor. Elimizde ne var bir bakalım: Alanı ‘x’ olan mavi dikdörtgenler ve alanı ‘1’ olan sarı birim kareler.
Adım 1: İfadeyi anlayalım. 4x + 8 demek, elimizde 4 tane ‘x’ alanlı mavi dikdörtgen ve 8 tane ‘1’ alanlı sarı kare var demektir.
Adım 2: Bu parçaları kullanarak büyük bir dikdörtgen oluşturalım. Kitaptaki çözümde çok güzel bir şekilde göstermişler. 4 tane mavi (x’lik) dikdörtgeni alt alta dizmişler. 8 tane sarı (1’lik) kareyi de dörderli iki sütun halinde mavilerin yanına eklemişler.
Adım 3: Oluşan yeni büyük dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulalım.
- Dikdörtgenin dikey kenarına (yüksekliğine) bakalım. 4 tane mavi dikdörtgen üst üste konulduğu için ve her birinin kısa kenarı 1 birim olduğu için, bu kenarın toplam uzunluğu 4 birimdir.
- Şimdi de yatay kenarına (genişliğine) bakalım. Bu kenar, bir tane mavi dikdörtgenin ‘x’ uzunluğundaki kenarı ile iki tane sarı karenin ‘1’ birimlik kenarlarının toplamından oluşur. Yani toplam uzunluk x + 1 + 1 = x + 2 birimdir.
Adım 4: Sonuca ulaşalım. Bir dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımıdır. Bizim büyük dikdörtgenimizin kenarları 4 ve (x+2) olduğuna göre, alanı 4 ⋅ (x + 2)‘dir. E, bu alan aynı zamanda en baştaki parçaların alanları toplamına, yani 4x + 8‘e eşit değil miydi? Kesinlikle öyle!
Sonuç:
4x + 8 = 4 ⋅ (x + 2)
Gördüğünüz gibi, 4x + 8 ifadesini, 4 ve (x+2) ifadelerinin çarpımı şeklinde yazdık. Buna ortak çarpan parantezine alma diyoruz.
2. Örnek
5x + 20 ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Çözüm:
Bu sefer model kullanmadan, doğrudan işlem yaparak çarpanlara ayıracağız. Aslında yaptığımız şey, terimlerin içindeki “ortak” sayıyı bulup onu parantezin dışına çıkarmak.
Adım 1: İfadenin terimlerine bakalım: 5x ve 20.
Adım 2: Bu iki terimin katsayıları arasındaki ortak çarpanı (EBOB’u) bulalım. Yani hem 5’i hem de 20’yi bölebilen en büyük sayıyı arıyoruz.
- 5’in çarpanları: 1, 5
- 20’nin çarpanları: 1, 2, 4, 5, 10, 20
Gördüğümüz gibi, en büyük ortak çarpan 5‘tir.
Adım 3: Her bir terimi, bu ortak çarpanı kullanarak yeniden yazalım.
- 5x zaten 5 ⋅ x demektir.
- 20 ise 5 ⋅ 4 demektir.
Adım 4: Şimdi ifademizi bu yeni haliyle yazalım:
5x + 20 = (5 ⋅ x) + (5 ⋅ 4)
Adım 5: Ortak olan 5 çarpanını parantezin dışına alalım. Parantezin içine ise geriye kalanları yazalım. Birinci terimden geriye ‘x’ kaldı, ikinci terimden ise ‘4’ kaldı. Aradaki işlem toplama (+) olduğu için onu da araya koyuyoruz.
Sonuç:
5 ⋅ (x + 4)
Sağlamasını yapalım mı? Parantezin dışındaki 5’i içeri dağıtalım: 5 ⋅ x = 5x ve 5 ⋅ 4 = 20. Sonuç 5x + 20. Demek ki doğru yapmışız!
Umarım bu açıklamalar konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olmuştur. Unutmayın, matematik bol bol pratik yaparak öğrenilir. Başarılar dilerim