Merhaba sevgili öğrencim. Paylaştığın görseldeki matematik alıştırmalarını senin için adım adım, anlaşılır bir şekilde inceledim ve çözdüm. Konumuz rasyonel denklemler ve problemler. Hadi gel, bu soruları birlikte çözelim.
1. Aşağıdaki denklemlerle denklemleri sağlayan bilinmeyenlerin değerlerini eşleştiriniz.
Burada dört farklı denklemimiz var. Her birini tek tek çözüp x değerini bulalım ve kutucuklarla eşleştirelim.
Birinci Denklem: $frac{3x}{5} + frac{x}{2} = 22$
- Adım 1: Paydaları eşitlememiz gerekiyor. 5 ve 2 sayıları 10’da eşitlenir. Birinci kesri 2 ile, ikinci kesri 5 ile genişletelim.
- Adım 2: $frac{6x}{10} + frac{5x}{10} = 22$
- Adım 3: Paydalar eşit olduğu için payları toplayalım: $frac{11x}{10} = 22$
- Adım 4: İçler dışlar çarpımı yapalım: $11x = 220$
- Adım 5: Her iki tarafı 11’e bölelim: x = 20
Bu denklemin cevabı 20 kutucuğu ile eşleşir.
İkinci Denklem: $frac{x}{2} – frac{x}{6} = 10$
- Adım 1: Paydaları eşitleyelim. 2 ve 6 sayıları 6’da eşitlenir. Birinci kesri 3 ile genişletelim.
- Adım 2: $frac{3x}{6} – frac{x}{6} = 10$
- Adım 3: Payları çıkaralım: $frac{2x}{6} = 10$
- Adım 4: Sadeleştirme yapabiliriz ($frac{2x}{6} = frac{x}{3}$) veya direkt içler dışlar çarpımı yapalım: $2x = 60$
- Adım 5: Her iki tarafı 2’ye bölelim: x = 30
Bu denklemin cevabı 30 kutucuğu ile eşleşir.
Üçüncü Denklem: $frac{x}{3} – frac{2x}{5} = -4$
- Adım 1: Paydaları eşitleyelim. 3 ve 5 sayıları 15’te eşitlenir. Birinciyi 5 ile, ikinciyi 3 ile genişletelim.
- Adım 2: $frac{5x}{15} – frac{6x}{15} = -4$
- Adım 3: Payları çıkaralım (Dikkat: 5x’ten 6x çıkarsa -x kalır): $frac{-x}{15} = -4$
- Adım 4: İçler dışlar çarpımı yapalım: $-x = -60$
- Adım 5: Eksileri artı yapalım: x = 60
Bu denklemin cevabı 60 kutucuğu ile eşleşir.
Dördüncü Denklem: $frac{2x}{7} + frac{x}{2} = 55$
- Adım 1: Paydaları eşitleyelim. 7 ve 2 sayıları 14’te eşitlenir. Birinciyi 2 ile, ikinciyi 7 ile genişletelim.
- Adım 2: $frac{4x}{14} + frac{7x}{14} = 55$
- Adım 3: Payları toplayalım: $frac{11x}{14} = 55$
- Adım 4: Şimdi pratik bir yol izleyelim. Eşitliğin her iki tarafındaki payları sadeleştirebiliriz. 11 ile 55 sadeleşirse sağ tarafta 5 kalır. Yani: $frac{x}{14} = 5$ olur.
- Adım 5: İçler dışlar çarpımı: $x = 14 cdot 5$ ise x = 70
Bu denklemin cevabı 70 kutucuğu ile eşleşir.
2. Aşağıda verilen denklemleri çözerek bilinmeyenlerin değerlerini bulunuz.
a. $frac{x-2}{3} = 15$
- Adım 1: Kesirden kurtulmak için içler dışlar çarpımı yapalım. 3 ile 15’i çarpacağız.
- Adım 2: $x – 2 = 45$
- Adım 3: -2’yi karşıya atalım (+2 olarak geçer).
- Sonuç:x = 47
b. $frac{x}{4} + 5 = frac{x}{2}$
- Adım 1: Bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler diğer tarafa. $frac{x}{4}$’ü sağ tarafa atalım.
- Adım 2: $5 = frac{x}{2} – frac{x}{4}$
- Adım 3: Sağ tarafta payda eşitleyelim (2 ile genişlet).
- Adım 4: $5 = frac{2x}{4} – frac{x}{4}$
- Adım 5: $5 = frac{x}{4}$ ise içler dışlar çarpımından x = 20
c. $frac{x-2}{3} = frac{2x+1}{2}$
- Adım 1: Çapraz çarpım (içler dışlar) yapalım.
- Adım 2: $2 cdot (x – 2) = 3 cdot (2x + 1)$
- Adım 3: Parantezleri dağıtalım: $2x – 4 = 6x + 3$
- Adım 4: 2x’i sağa, +3’ü sola atalım.
- Adım 5: $-4 – 3 = 6x – 2x$
- Adım 6: $-7 = 4x$
- Sonuç:x = -7/4
ç. $frac{2x-1}{5} – frac{x+3}{2} = 3$
- Adım 1: Paydaları 10’da eşitleyelim. Birinciyi 2 ile, ikinciyi 5 ile çarpalım.
- Adım 2: $frac{2(2x-1)}{10} – frac{5(x+3)}{10} = 3$
- Adım 3: Ortak paydada yazalım ve parantezleri açalım. Dikkat: Kesrin önündeki eksi işareti, ikinci parantezin içindeki tüm işaretleri değiştirir!
- Adım 4: $frac{4x – 2 – 5x – 15}{10} = 3$
- Adım 5: Payı düzenleyelim: $frac{-x – 17}{10} = 3$
- Adım 6: İçler dışlar çarpımı: $-x – 17 = 30$
- Adım 7: -17’yi karşıya atalım: $-x = 47$ ise x = -47
d. $frac{2x+4}{3x} – frac{x-5}{3x} = 8$
- Adım 1: Paydalar zaten eşit (3x). Payları birbirinden çıkaralım. Yine aradaki eksi işaretine dikkat!
- Adım 2: $frac{(2x + 4) – (x – 5)}{3x} = 8$
- Adım 3: Eksiyi dağıtalım: $frac{2x + 4 – x + 5}{3x} = 8$
- Adım 4: Düzenleyelim: $frac{x + 9}{3x} = 8$
- Adım 5: İçler dışlar çarpımı: $x + 9 = 24x$
- Adım 6: x’i karşıya atalım: $9 = 23x$
- Sonuç:x = 9/23
e. $frac{3}{x} cdot (x-7) = 9$
- Adım 1: Çarpmayı yapalım (3’ü parantez içine dağıtıp paya yazalım): $frac{3(x-7)}{x} = 9$
- Adım 2: $frac{3x – 21}{x} = 9$
- Adım 3: İçler dışlar çarpımı: $3x – 21 = 9x$
- Adım 4: 3x’i sağ tarafa atalım: $-21 = 6x$
- Adım 5: Her iki tarafı 6’ya bölelim: $x = frac{-21}{6}$
- Sonuç: Sadeleştirirsek (3’e bölerek) x = -7/2
3. Ardışık iki çift sayının birbirine oranı $frac{2}{3}$’tür. Bu sayıları bulunuz.
Bu bir oran problemi. Ardışık çift sayılar ikişer ikişer artar.
- Adım 1: Küçük sayıya n diyelim.
- Adım 2: Büyük sayı, ardışık çift olduğu için n + 2 olur.
- Adım 3: Oranları $frac{2}{3}$ ise, $frac{kucuk}{buyuk} = frac{n}{n+2} = frac{2}{3}$ denklemini kurarız.
- Adım 4: İçler dışlar çarpımı yapalım: $3 cdot n = 2 cdot (n + 2)$
- Adım 5: $3n = 2n + 4$
- Adım 6: 2n’i karşıya atalım: $n = 4$
- Sonuç: Küçük sayı 4, büyük sayı (4+2) 6‘dır. Sayılarımız 4 ve 6.
4. $frac{5}{6}$’sı dolu olan bir havuzdaki suyun $frac{1}{8}$’i buharlaşmıştır. Havuzda 875 L su kaldığına göre havuzun tamamı kaç litre su alır?
Burada “suyun $frac{1}{8}$’i” ifadesine dikkat etmeliyiz.
- Adım 1: Havuzun tamamına V diyelim.
- Adım 2: Başlangıçtaki su miktarı: $frac{5V}{6}$
- Adım 3: Buharlaşan miktar, mevcut suyun 8’de 1’idir. Yani: $frac{5V}{6} cdot frac{1}{8} = frac{5V}{48}$ (Buharlaşan su).
- Adım 4: Kalan su miktarını bulmak için başlangıçtaki sudan buharlaşanı çıkaralım:
$frac{5V}{6} – frac{5V}{48}$ - Adım 5: Payda eşitleyelim (48’de). Birinci kesri 8 ile genişletelim:
$frac{40V}{48} – frac{5V}{48} = frac{35V}{48}$ (Kalan su) - Adım 6: Kalan suyun 875 Litre olduğu söylenmiş. Denklemi kuralım:
$frac{35V}{48} = 875$ - Adım 7: Sadeleştirme yapalım. 875’i 35’e bölersek 25 çıkar. Yani: $frac{V}{48} = 25$
- Adım 8: İçler dışlar çarpımı: $V = 25 cdot 48$
- Sonuç:V = 1200 Litre. Havuzun tamamı 1200 litre su alır.
5. Yandaki ABC eşkenar üçgeninde, $|AB| = (frac{2x}{5} – 3)$ cm, $|BC| = (frac{x+10}{6})$ cm olduğuna göre ABC üçgeninin çevre uzunluğunu hesaplayınız.
Eşkenar üçgenin en önemli özelliği tüm kenar uzunluklarının birbirine eşit olmasıdır. Bu bilgiyi kullanarak x’i bulacağız.
- Adım 1: Verilen iki kenarı birbirine eşitleyelim:
$frac{2x}{5} – 3 = frac{x+10}{6}$ - Adım 2: Paydaları eşitleyelim. 5 ve 6 sayıları 30’da birleşir. Denklemin tamamını 30 ile çarpıp paydalardan kurtulmak en kolay yoldur.
$30 cdot (frac{2x}{5}) – 30 cdot 3 = 30 cdot (frac{x+10}{6})$ - Adım 3: Sadeleştirmeleri yapalım:
$6 cdot (2x) – 90 = 5 cdot (x+10)$ - Adım 4: Düzenleyelim:
$12x – 90 = 5x + 50$ - Adım 5: Bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler diğer tarafa:
$12x – 5x = 50 + 90$
$7x = 140$ - Adım 6: Her iki tarafı 7’ye bölelim: x = 20
- Adım 7: Şimdi bir kenar uzunluğunu bulmak için x yerine 20 yazalım. $|BC|$ kenarında yazmak daha kolay:
Kenar = $frac{20+10}{6} = frac{30}{6} = 5$ cm. - Adım 8: Çevre uzunluğu sorulmuş. Eşkenar üçgenin 3 kenarı vardır ve hepsi eşittir.
Çevre = $3 cdot 5 = 15$ cm. - Sonuç: Üçgenin çevresi 15 cm‘dir.