Harika bir çalışma! Sevgili öğrenciler, bu alıştırmaları birlikte adım adım çözelim. Matematikte bir konuyu en iyi öğrenmenin yolu bol bol soru çözmektir. Haydi başlayalım!
1. Aşağıda verilen doğal sayıların tam kare pozitif tam sayı olup olmadığını belirtiniz.
Bir sayının tam kare olması demek, o sayının başka bir tam sayının kendisiyle çarpımına eşit olması demektir. Mesela 9, 3’ün kendisiyle çarpımı (3×3) olduğu için bir tam karedir. Haydi şimdi şıklara bakalım.
- a. 9: 3 x 3 = 9 olduğu için, 9 bir tam kare sayıdır.
- b. 64: 8 x 8 = 64 olduğu için, 64 bir tam kare sayıdır.
- c. 80: 80’i elde etmek için kendisiyle çarpabileceğimiz bir tam sayı yoktur. 8 x 8 = 64 ve 9 x 9 = 81’dir. 80 bu ikisinin arasında kalır. Bu yüzden 80 tam kare
değildir. - ç. 121: 11 x 11 = 121 olduğu için, 121 bir tam kare sayıdır.
- d. 60: 60’ı elde etmek için de kendisiyle çarpabileceğimiz bir tam sayı yok. 7 x 7 = 49 ve 8 x 8 = 64’tür. 60 bu ikisinin arasındadır. Bu yüzden 60 tam kare
değildir. - e. 144: 12 x 12 = 144 olduğu için, 144 bir tam kare sayıdır.
2. Alanı 289 m² olan karenin çevresinin uzunluğunun kaç metre olduğunu bulunuz.
Bu soruyu çözmek için iki adımımız var. Önce karenin bir kenarını, sonra da çevresini bulacağız.
- Adım 1: Karenin bir kenarını bulalım.
Biliyorsunuz, bir karenin alanı, bir kenarının kendisiyle çarpılmasıyla (yani kenarının karesiyle) bulunur. Alanı 289 m² ise, bir kenarını bulmak için “Hangi sayıyı kendisiyle çarparsam 289 eder?” diye sormalıyız. Bu da 289’un karekökünü almak demektir.
√289 = 17 metredir. (Çünkü 17 x 17 = 289) - Adım 2: Karenin çevresini bulalım.
Karenin çevresi, dört kenarının toplamıdır. Yani bir kenar uzunluğunu 4 ile çarparız.
Çevre = 4 x 17 = 68 metre.
Sonuç: Karenin çevresi 68 metredir.
3. Aşağıda verilen eşitliklerde noktalı yerlere gelmesi gereken sayıları bulunuz.
Karekök işareti (√), içindeki sayının “hangi sayının karesi olduğunu” sorar. Örneğin √25, “25 hangi sayının karesidir?” demektir. Cevap 5’tir.
- a. √81 = 9(çünkü 9 x 9 = 81)
- b. √100 = 10(çünkü 10 x 10 = 100)
- c. √196 = 14(çünkü 14 x 14 = 196)
- ç. √400 = 20(çünkü 20 x 20 = 400)
- d. √625 = 25(çünkü 25 x 25 = 625)
- e. √900 = 30(çünkü 30 x 30 = 900)
4. Aşağıdaki kareköklü ifadeleri, verilen sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.
Bu ifadeleri sayı doğrusunda gösterebilmek için önce değerlerini bulmamız gerekiyor.
- a. √36: 36, 6’nın karesi olduğu için √36 = 6‘dır. Bu nokta, sayı doğrusunda 0’ın 6 birim sağındadır.
- b. -√64: Önce kökün içini halledelim. √64 = 8’dir. Başında eksi olduğu için ifadenin değeri -8 olur. Bu nokta, sayı doğrusunda 0’ın 8 birim solundadır.
- c. √49: 49, 7’nin karesi olduğu için √49 = 7‘dir. Bu nokta, sayı doğrusunda 0’ın 7 birim sağındadır.
5. Karekökünün değeri 7 ile 8 arasında olan kaç farklı pozitif tam sayı vardır?
Harika bir soru! Bu sorunun mantığı aslında çok basit.
- Adım 1: Sınırları belirleyelim.
Eğer bir sayının karekökü 7 ise, o sayı 7² = 49’dur.
Eğer bir sayının karekökü 8 ise, o sayı 8² = 64’tür. - Adım 2: Aradaki sayıları bulalım.
Bizden karekökü 7 ile 8 arasında olan sayılar isteniyor. Demek ki bu sayılar 49’dan büyük ve 64’ten küçük olmalı. Yani 50, 51, 52, …, 62, 63 sayıları olabilir. - Adım 3: Kaç tane sayı olduğunu hesaplayalım.
Bu aralıktaki sayı adedini (terim sayısını) bulmak için şu formülü kullanabiliriz: (Son Terim – İlk Terim) + 1
(63 – 50) + 1 = 13 + 1 = 14.
Sonuç: Karekökü 7 ile 8 arasında olan 14 farklı pozitif tam sayı vardır.
6. Aşağıda verilen kareköklü ifadelerin hangi ardışık iki doğal sayı arasında olduğunu bulunuz.
Bir kareköklü ifadenin hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulmak için, kökün içindeki sayıdan küçük en büyük tam kareyi ve o sayıdan büyük en küçük tam kareyi buluruz.
- a. √98: 98’e en yakın tam kareler 81 (9²) ve 100 (10²)’dür. 81 < 98 < 100 olduğuna göre, √98 de 9 ile 10 arasındadır.
- b. √130: 130’a en yakın tam kareler 121 (11²) ve 144 (12²)’tür. 121 < 130 < 144 olduğuna göre, √130 da 11 ile 12 arasındadır.
- c. √19: 19’a en yakın tam kareler 16 (4²) ve 25 (5²)’tir. 16 < 19 < 25 olduğuna göre, √19 da 4 ile 5 arasındadır.
- ç. √7: 7’ye en yakın tam kareler 4 (2²) ve 9 (3²)’tür. 4 < 7 < 9 olduğuna göre, √7 de 2 ile 3 arasındadır.
- d. √73: 73’e en yakın tam kareler 64 (8²) ve 81 (9²)’dir. 64 < 73 < 81 olduğuna göre, √73 de 8 ile 9 arasındadır.
- e. √202: 202’ye en yakın tam kareler 196 (14²) ve 225 (15²)’tir. 196 < 202 < 225 olduğuna göre, √202 de 14 ile 15 arasındadır.
- f. √43: 43’e en yakın tam kareler 36 (6²) ve 49 (7²)’dir. 36 < 43 < 49 olduğuna göre, √43 de 6 ile 7 arasındadır.
- g. √113: 113’e en yakın tam kareler 100 (10²) ve 121 (11²)’dir. 100 < 113 < 121 olduğuna göre, √113 de 10 ile 11 arasındadır.
- ğ. √286: 286’ya en yakın tam kareler 256 (16²) ve 289 (17²)’dir. 256 < 286 < 289 olduğuna göre, √286 da 16 ile 17 arasındadır.
7. Alanı 180 m² olan karenin bir kenarının uzunluğunun metre cinsinden hangi iki doğal sayı arasında olduğunu bulunuz.
Bu soru aslında 6. sorunun bir benzeri. Alanı 180 m² ise, bir kenar uzunluğu √180 metredir. Şimdi √180’in hangi iki doğal sayı arasında olduğunu bulalım.
- Adım 1: 180’e en yakın tam kareleri bulalım.
13 x 13 = 169
14 x 14 = 196 - Adım 2: Karşılaştıralım.
169 < 180 < 196 olduğuna göre, bu sayıların karekökleri için de aynı sıralama geçerlidir:
√169 < √180 < √196
Yani, 13 < √180 < 14
Sonuç: Karenin bir kenarının uzunluğu 13 ile 14 metre arasındadır.
8. √250, √39, √128 ve √195 sayılarına en yakın tam sayıları tahmin ediniz ve tahminlerinizi hesap makinesi kullanarak kontrol ediniz.
En yakın tam sayıyı tahmin etmek için, sayının hangi tam kareye daha yakın olduğuna bakarız.
- √250:
250 sayısı, 15²=225 ile 16²=256 arasındadır.
250’nin 225’e uzaklığı: 250 – 225 = 25
250’nin 256’ya uzaklığı: 256 – 250 = 6
250, 256’ya daha yakın olduğu için √250 de 16‘ya daha yakındır. - √39:
39 sayısı, 6²=36 ile 7²=49 arasındadır.
39’un 36’ya uzaklığı: 39 – 36 = 3
39’un 49’a uzaklığı: 49 – 39 = 10
39, 36’ya daha yakın olduğu için √39 da 6‘ya daha yakındır. - √128:
128 sayısı, 11²=121 ile 12²=144 arasındadır.
128’in 121’e uzaklığı: 128 – 121 = 7
128’in 144’e uzaklığı: 144 – 128 = 16
128, 121’e daha yakın olduğu için √128 de 11‘e daha yakındır. - √195:
195 sayısı, 13²=169 ile 14²=196 arasındadır.
195’in 169’a uzaklığı: 195 – 169 = 26
195’in 196’ya uzaklığı: 196 – 195 = 1
195, 196’ya çok daha yakın olduğu için √195 de 14‘e daha yakındır.
Unutmayın, bu tahminleri bir hesap makinesi ile kontrol ederek ne kadar isabetli olduklarını görebilirsiniz. Başarılar dilerim!