Merhaba sevgili öğrencim! Seninle bu sayfadaki matematik sorularını tek tek inceleyip çözelim. Eşitsizlikler konusu bazen kafa karıştırıcı olabilir ama kurallara dikkat ettiğimizde aslında bulmaca çözmek gibidir. Hadi başlayalım!
4. Soru: Aşağıda verilen eşitsizliklerin çözümlerini bulunuz.
Bu soruda x’i yalnız bırakmak için gerekli işlemleri yapacağız. Unutma, negatif bir sayı ile çarpar veya bölersek eşitsizlik yön değiştirir!
a. x + 3 > -2
Adım 1: x’i yalnız bırakmak için +3’ü karşıya atalım. Karşıya geçerken işaret değiştirip -3 olur.
x > -2 – 3
Sonuç: x > -5
b. 6 – x > -4
Adım 1: Önce 6’yı karşıya -6 olarak atalım.
-x > -4 – 6
-x > -10
Adım 2: x’in önündeki eksiden kurtulmak için her iki tarafı -1’e bölelim. Dikkat: Negatif sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirir (büyüktür işareti küçüktür olur).
Sonuç: x < 10
c. (x – 7) / 2 ≤ -3
Adım 1: Bölüm durumundaki 2’yi karşıya çarpım olarak atalım. 2 pozitif olduğu için yön değişmez.
x – 7 ≤ -3 × 2
x – 7 ≤ -6
Adım 2: -7’yi karşıya +7 olarak atalım.
x ≤ -6 + 7
Sonuç: x ≤ 1
ç. 4(x – 6) ≥ 9
Adım 1: Parantezi dağıtalım.
4x – 24 ≥ 9
Adım 2: -24’ü karşıya +24 olarak atalım.
4x ≥ 9 + 24
4x ≥ 33
Adım 3: Her iki tarafı 4’e bölelim.
Sonuç: x ≥ 33/4
d. -2x – 5 ≤ -9
Adım 1: -5’i karşıya +5 olarak atalım.
-2x ≤ -9 + 5
-2x ≤ -4
Adım 2: Her iki tarafı -2’ye bölelim. Negatif sayıya böldüğümüz için işaret yön değiştirir (≤ işareti ≥ olur).
x ≥ -4 / -2
Sonuç: x ≥ 2
e. (x/4) + 7 > -5
Adım 1: +7’yi karşıya -7 olarak atalım.
x/4 > -5 – 7
x/4 > -12
Adım 2: Bölüm halindeki 4’ü karşıya çarpım olarak atalım.
x > -12 × 4
Sonuç: x > -48
f. (x/3) – 7 > (x/2) + 4
Adım 1: Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayalım. (x/2)’yi sola, -7’yi sağa atalım.
(x/3) – (x/2) > 4 + 7
(x/3) – (x/2) > 11
Adım 2: Paydaları eşitleyelim (6’da eşitlenir). Birinciyi 2 ile, ikinciyi 3 ile genişletelim.
(2x/6) – (3x/6) > 11
-x/6 > 11
Adım 3: Bölüm halindeki 6’yı karşıya atalım.
-x > 66
Adım 4: Her iki tarafı -1’e bölelim (işaret yön değiştirir).
Sonuç: x < -66
g. 3x – 7 ≤ 6 – 2x
Adım 1: -2x’i sola +2x olarak, -7’yi sağa +7 olarak atalım.
3x + 2x ≤ 6 + 7
5x ≤ 13
Adım 2: Her iki tarafı 5’e bölelim.
Sonuç: x ≤ 13/5
ğ. (x/5) – (x/8) > 36
Adım 1: Paydaları eşitleyelim (40’ta eşitlenir). Birinciyi 8 ile, ikinciyi 5 ile çarpalım.
(8x/40) – (5x/40) > 36
3x/40 > 36
Adım 2: Bölüm halindeki 40’ı karşıya çarpım olarak atalım.
3x > 36 × 40
3x > 1440
Adım 3: Her iki tarafı 3’e bölelim.
Sonuç: x > 480
h. (2x/3) + (x/5) ≤ (x/15) – 48
Adım 1: Tüm paydaları 15 yapacak şekilde eşitleyelim. Birinciyi 5 ile, ikinciyi 3 ile genişletelim.
(10x/15) + (3x/15) ≤ (x/15) – 48
13x/15 ≤ (x/15) – 48
Adım 2: Sağdaki (x/15)’i sola eksi olarak atalım.
(13x/15) – (x/15) ≤ -48
12x/15 ≤ -48
Adım 3: İfadeyi sadeleştirelim (her iki tarafı 3’e bölelim pay ve paydada).
4x/5 ≤ -48
Adım 4: 5’i karşıya çarpım olarak atalım.
4x ≤ -48 × 5
4x ≤ -240
Adım 5: Her iki tarafı 4’e bölelim.
Sonuç: x ≤ -60
5. Soru: 2x + 4 < 7 eşitsizliğinin çözümü bulunurken yapılan işlemler adım adım verilmiştir. Bu işlemlerin karşısındaki noktalı yerlere uygun açıklamaları yazınız.
Burada yapılan işlemleri dikkatlice inceleyelim. Kırmızı ile yazılanlar bize ipucu veriyor.
1. Adım: 2x + 4 – 4< 7 – 4 işleminde her iki taraftan 4 sayısı çıkarılmış.
Açıklama: Eşitsizliğin her iki tarafından 4 çıkarılmıştır. (Bir eşitsizliğin her iki tarafından aynı sayı çıkarılırsa eşitsizlik bozulmaz.)
2. Adım: (2x / 2) < (3 / 2) işleminde her iki taraf 2’ye bölünmüş.
Açıklama: Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı olan 2’ye bölünmüştür. (Pozitif bir sayıya bölündüğü için eşitsizliğin yönü değişmemiştir.)
6. Soru: Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların önündeki noktalı yerlere D, yanlış olanların önündeki noktalı yerlere Y yazınız.
Burada eşitsizliklerin temel kurallarını hatırlayalım.
(D) Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı sayı ile toplanır ya da her iki tarafından aynı sayı çıkarılırsa eşitsizliğin yönü değişmez. (Doğru, toplama ve çıkarma yön değiştirmez.)
(Y) Bir eşitsizliğin her iki tarafının aynı pozitif bir sayı ile çarpılması ya da aynı pozitif sayıya bölünmesi eşitsizliğin yönünü değiştirir. (Yanlış, pozitif sayılarla çarpma/bölme yönü değiştirmez.)
(D) Bir eşitsizliğin her iki tarafının aynı negatif bir sayı ile çarpılması ya da aynı negatif sayıya bölünmesi eşitsizliğin yönünü değiştirir. (Doğru, negatif sayılar eşitsizliği ters çevirir.)
7. Soru: Dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin kısa kenarının uzunluğu 20 metredir. Bu bahçenin çevre uzunluğunun en az 120 metre ve en fazla 160 metre olduğu biliniyor. Buna göre bahçenin uzun kenarının uzunluğu hangi aralıktadır?
Bu bir problem sorusu. Adım adım denklemimizi kuralım.
Verilenler:
- Kısa kenar = 20 m
- Uzun kenar = x diyelim.
- Çevre Formülü = 2 × (Kısa Kenar + Uzun Kenar)
- Çevre Aralığı: 120 ile 160 arasında (sınırlar dahil, çünkü en az ve en fazla denmiş).
Çözüm:
Adım 1: Çevre formülünü eşitsizlik içine yazalım.
120 ≤ 2 × (20 + x) ≤ 160
Adım 2: Her tarafı 2’ye bölerek parantez dışındaki 2’den kurtulalım.
120 / 2 ≤ 20 + x ≤ 160 / 2
60 ≤ 20 + x ≤ 80
Adım 3: x’i yalnız bırakmak için her taraftan 20 çıkaralım.
60 – 20 ≤ x ≤ 80 – 20
40 ≤ x ≤ 60
Sonuç: Bahçenin uzun kenarının uzunluğu 40 metre ile 60 metre aralığındadır (40 ve 60 dahildir).