Merhaba sevgili öğrencim! Ben senin 8. Sınıf Matematik öğretmeninim. Gönderdiğin görseldeki soruları senin için adım adım, kolayca anlayacağın bir dille çözeceğim. Haydi başlayalım!
Özdeşlikler Konu Girişi Sorusu
Pazarcı Ali Bey 1 kg domatesi alış fiyatının 2 TL eksiğinin 3 katı fiyatla satıyor. Pazarcı Ahmet Bey ise aynı domatesin 1 kg’ını alış fiyatının 3 katının 6 TL eksiği fiyatla satıyor. Ali Bey ile Ahmet Bey müşterilerine çürük ve ezik domatesleri satmıyorlar. Ali Bey, Ahmet Bey’e göre domatesi daha ucuza sattığını iddia ediyor. Sizce Ali Bey haklı mıdır? Nedenini açıklayınız.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için pazarcıların satış fiyatlarını matematiksel olarak ifade etmemiz, yani birer cebirsel ifade yazmamız gerekiyor. Bu tür problemlerde bilinmeyen değere bir harf vermek işimizi çok kolaylaştırır.
Adım 1: Değişken Belirleyelim
Domatesin kilogram alış fiyatını bilmediğimiz için bu fiyata ‘a’ diyelim.
Adım 2: Ali Bey’in Satış Fiyatını Yazalım
Ali Bey, alış fiyatının (a) 2 TL eksiğinin (a – 2) 3 katına satıyor.
O zaman Ali Bey’in satış fiyatı: 3 . (a – 2) olur.
Adım 3: Ahmet Bey’in Satış Fiyatını Yazalım
Ahmet Bey, alış fiyatının (a) 3 katının (3a) 6 TL eksiğine satıyor.
O zaman Ahmet Bey’in satış fiyatı: 3a – 6 olur.
Adım 4: İfadeleri Karşılaştıralım
Şimdi Ali Bey’in satış fiyatını veren cebirsel ifadeyi daha sade bir hale getirelim. Bunun için çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğini kullanacağız. Parantezin dışındaki 3’ü, parantezin içindeki her bir terimle tek tek çarpacağız.
3 . (a – 2) = (3 . a) – (3 . 2) = 3a – 6
Gördüğün gibi, Ali Bey’in satış fiyatı için bulduğumuz 3a – 6 ifadesi, Ahmet Bey’in satış fiyatı olan 3a – 6 ifadesi ile tamamen aynı!
Sonuç:
Ali Bey haklı değildir. Çünkü domatesin alış fiyatı ne olursa olsun (yani ‘a’ yerine hangi sayıyı yazarsak yazalım) her zaman Ahmet Bey ile aynı fiyata domates satmış olurlar. İki farklı şekilde söylenmiş olsalar da aslında bu iki fiyatlandırma matematiksel olarak birbirinin aynısıdır. İşte bu tür, içindeki değişkene verilen bütün gerçek sayılar için doğru olan eşitliklere biz özdeşlik diyoruz.
1. Örnek
x . (x – 5) = -5x + x² eşitliğini sağlayan x değerlerini bulalım.
Çözüm:
Bu soruda bize bir eşitlik verilmiş ve bu eşitliğin hangi x değerleri için doğru olduğunu bulmamız isteniyor. Kitaptaki gibi tek tek değer vererek deneyebiliriz ama daha kesin bir yolumuz var. Tıpkı bir önceki soruda yaptığımız gibi, eşitliğin sol tarafındaki parantezli ifadeyi düzenleyelim.
Adım 1: Eşitliğin Sol Tarafını Düzenleyelim
Eşitliğin sol tarafında x . (x – 5) ifadesi var. Burada yine çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğini kullanacağız. Parantezin dışındaki ‘x’i, parantezin içindeki her bir terimle çarpalım.
- x . x = x²
- x . (-5) = -5x
Bu durumda ifademizin yeni hali: x² – 5x olur.
Adım 2: Eşitliği Tekrar Yazalım
Şimdi bulduğumuz bu yeni ifadeyi eşitlikteki yerine koyalım:
x² – 5x = -5x + x²
Adım 3: Eşitliği Yorumlayalım
Eşitliğin sol tarafında x² – 5x var. Sağ tarafında ise -5x + x² var. Toplama işleminde terimlerin yer değiştirmesi sonucu değiştirmez. Yani sağ tarafı da x² – 5x olarak yazabiliriz.
x² – 5x = x² – 5x
Gördüğün gibi, eşitliğin iki tarafı da birbirinin tıpatıp aynısı oldu!
Sonuç:
Bu eşitlik, bir özdeşliktir. Bu da demek oluyor ki, ‘x’ yerine aklına gelebilecek bütün gerçek sayıları koysan bile bu eşitlik her zaman doğru çıkar. Örneğin kitaptaki gibi x yerine 0, 1, 5 veya -2 koyduğunda eşitliğin sağlandığını görebilirsin. Bu yüzden çözüm kümesi tüm gerçek sayılardır.