Merhaba sevgili öğrencim. Ben Türkçe, Matematik, Fen Bilimleri, İngilizce ve Sosyal Bilimler öğretmeninim. Seninle bu sayfadaki geometri problemlerini birlikte inceleyip, adım adım çözeceğiz. Bu sorular silindirlerin hacimleri ile ilgili. Hazırsan kağıdını kalemini al, başlıyoruz!
6. Soru: Yandaki dik dairesel silindir diliminde O noktası tabanın merkezi, m(AOD) = 90°, |AO| = 4 cm ve |CD| = 9 cm olduğuna göre dik dairesel silindir diliminin hacmi kaç santimetreküptür? (π yerine 3 alınız.)
Bu soruda bizden tam bir silindirin değil, sanki bir pastadan kesilmiş bir dilim gibi duran parçanın hacmi isteniyor. Açının 90 derece olduğunu görüyoruz. Tam bir çember 360 derecedir. 90 derece, 360 derecenin dörtte biridir (90/360 = 1/4). Yani bu şekil, tam bir silindirin çeyreğidir.
- Adım 1: Önce bu silindir tam olsaydı taban alanı ne olurdu onu bulalım. Taban yarıçapı (r) 4 cm verilmiş.
Taban Alanı Formülü: π . r²
Taban Alanı = 3 . 4²
Taban Alanı = 3 . 16
Taban Alanı = 48 cm² - Adım 2: Şimdi dilimin taban alanını bulalım. Çeyrek dilim olduğu için bulduğumuz alanı 4’e bölmeliyiz.
Dilim Taban Alanı = 48 / 4 = 12 cm² - Adım 3: Hacmi bulmak için taban alanı ile yüksekliği çarparız. Yükseklik (h) 9 cm verilmiş.
Hacim = Dilim Taban Alanı . Yükseklik
Hacim = 12 . 9
Hacim = 108 cm³
Sonuç: Silindir diliminin hacmi 108 cm³ tür.
7. Soru: Dik dairesel silindir biçimindeki bir borunun uzunluğu 20 cm, iç yarıçapının uzunluğu 8 cm ve dış yarıçapının uzunluğu 10 cm’dir. Buna göre borunun dolgu kısmının hacmini hesaplayınız (π yerine 3 alınız.)
Burada içi boş bir boru var. Dolgu kısmının (yani malzemenin) hacmini bulmak için; büyük silindirin hacminden, ortadaki boşluğun (küçük silindirin) hacmini çıkarmamız gerekir.
- Adım 1: Dıştaki büyük silindirin taban alanını bulalım. (Dış yarıçap = 10 cm)
Dış Alan = π . r²
Dış Alan = 3 . 10²
Dış Alan = 3 . 100 = 300 cm² - Adım 2: İçteki boş silindirin taban alanını bulalım. (İç yarıçap = 8 cm)
İç Alan = π . r²
İç Alan = 3 . 8²
İç Alan = 3 . 64 = 192 cm² - Adım 3: Sadece halkanın (dolgu kısmın tabanının) alanını bulmak için çıkarma yapalım.
Halka Alanı = 300 – 192 = 108 cm² - Adım 4: Şimdi hacmi bulmak için bu alanı yükseklik ile çarpalım. Yükseklik 20 cm verilmiş.
Hacim = Taban Alanı . Yükseklik
Hacim = 108 . 20
Hacim = 2160 cm³
Sonuç: Borunun dolgu kısmının hacmi 2160 cm³ tür.
8. Soru: Taban yarıçapının uzunluğu 8 cm olan dik dairesel silindir şeklinde ve içinde su bulunan kaba bir ayrıtının uzunluğu 5 cm olan bir küp atılıyor. Küp atıldıktan sonra dik dairesel silindirdeki suyun yüksekliği kaç santimetre artar? (π yerine 3 alınız.)
Suyun içine batan bir cisim, kendi hacmi kadar suyu yer değiştirir ve yükseltir. Yani “Küpün Hacmi”, silindirde “Yükselen Suyun Hacmine” eşit olacaktır.
- Adım 1: Önce suya atılan küpün hacmini bulalım. Küpün bir kenarı (a) 5 cm.
Küp Hacmi = a . a . a
Küp Hacmi = 5 . 5 . 5 = 125 cm³
Bu demek oluyor ki suyun içinde 125 cm³’lük bir yükselme olacak. - Adım 2: Silindirin taban alanını bulalım. Yarıçap (r) 8 cm.
Silindir Taban Alanı = π . r²
Silindir Taban Alanı = 3 . 8²
Silindir Taban Alanı = 3 . 64 = 192 cm² - Adım 3: Suyun ne kadar yükseleceğini (h) bulmak için hacim formülünü tersten kullanalım.
Yükselen Su Hacmi = Taban Alanı . Yükseklik (h)
125 = 192 . h
Burada h’yi bulmak için 125’i 192’ye bölmemiz gerekir. Tam bölünmediği için kesir olarak bırakabiliriz.
h = 125 / 192 cm
Sonuç: Suyun yüksekliği 125/192 cm artar. (Bu yaklaşık 0,65 cm’dir.)
9. Soru: Yanda açınımı verilen dik dairesel silindirde |AA’| = 84 cm ve |BA| = 40 cm olduğuna göre silindir hacminin kaç santimetreküp olduğunu bulunuz (π yerine 3 alınız.)
Görselde bir silindirin açılmış hali var. Dikdörtgenin uzun kenarı (|AA’| = 84 cm), silindirin tabanındaki dairenin çevresine eşittir. Kısa kenar (|BA| = 40 cm) ise silindirin yüksekliğidir.
- Adım 1: Önce taban yarıçapını (r) bulmamız lazım. Dairenin çevresi 84 cm imiş.
Çevre Formülü = 2 . π . r
84 = 2 . 3 . r
84 = 6 . r
r = 84 / 6
r = 14 cm (Yarıçapı bulduk!) - Adım 2: Şimdi silindirin taban alanını hesaplayalım.
Taban Alanı = π . r²
Taban Alanı = 3 . 14²
Taban Alanı = 3 . 196
Taban Alanı = 588 cm² - Adım 3: Son olarak hacmi hesaplayalım. Yükseklik 40 cm idi.
Hacim = Taban Alanı . Yükseklik
Hacim = 588 . 40
Hacim = 23.520 cm³
Sonuç: Silindirin hacmi 23.520 cm³ tür.
10. Soru: Yüksekliği 120 cm olan ve taban kenar uzunluğu x cm olan kare prizma şeklindeki kap su ile tamamen doludur. Yarıçapı x cm olan bir silindir şeklindeki kabın kare prizma şeklindeki suyun tamamını alabilmesi için yüksekliği en az kaç santimetre olmalıdır? (π yerine 3 alınız.)
Burada kare prizmanın içindeki suyun hacmi ile silindirin hacminin birbirine eşit olması gerekiyor. Prizmadaki suyu silindire boşaltıyoruz.
- Adım 1: Kare prizmanın hacmini yazalım.
Tabanı kare olduğu için Taban Alanı = x . x = x²
Yüksekliği = 120 cm
Prizma Hacmi = x² . 120 = 120x² - Adım 2: Silindirin hacim formülünü yazalım. Yarıçapı x cm, yüksekliğine de “h” diyelim.
Silindir Hacmi = π . r² . h
Silindir Hacmi = 3 . x² . h = 3x²h - Adım 3: Bu iki hacmi birbirine eşitleyelim çünkü sular aynı.
120x² = 3x²h
Her iki tarafta da x² var, bunları sadeleştirebiliriz (silebiliriz).
120 = 3 . h
h = 120 / 3
h = 40 cm
Sonuç: Silindirin yüksekliği en az 40 cm olmalıdır.
11. Soru: Yarıçapının uzunluğu 40 cm ve yüksekliği 120 cm olan dik dairesel silindir şeklindeki benzin varilinin 3/5’i benzin doludur. Varilin tam dolu olabilmesi için varile kaç litre daha benzin eklenmelidir? (π yerine 3 alınız.)
Bu soruda dikkat etmemiz gereken en önemli yer sonucun “litre” olarak istenmesi. Unutma: 1000 cm³ = 1 Litredir. Varilin 3/5’i doluysa, dolması gereken boş kısım 5’te 2’sidir (2/5).
- Adım 1: Önce varilin toplam hacmini cm³ cinsinden bulalım.
r = 40 cm, h = 120 cm
Hacim = π . r² . h
Hacim = 3 . 40² . 120
Hacim = 3 . 1600 . 120
Hacim = 4800 . 120
Hacim = 576.000 cm³ - Adım 2: Bizden boş kısmın doldurulması isteniyor. Boş kısım tamamının 2/5’idir (Tamamı 5/5, dolu kısım 3/5 ise; 5/5 – 3/5 = 2/5).
Gereken Benzin Hacmi = 576.000 . (2/5)
Önce 5’e bölelim: 576.000 / 5 = 115.200
Sonra 2 ile çarpalım: 115.200 . 2 = 230.400 cm³ - Adım 3: Sonucu litreye çevirelim. cm³’ü litreye çevirmek için 1000’e böleriz.
Litre = 230.400 / 1000
Sıfırları silelim: 230,4 Litre
Sonuç: Varile 230,4 litre daha benzin eklenmelidir.