Merhaba sevgili öğrencilerim! Matematik dersinde üslü ifadelerle ilgili harika sorular çözmeye devam ediyoruz. Hazırsanız, bu soruları birlikte adım adım inceleyelim ve çözelim. Unutmayın, her zaman anlamadığınız yerleri sormaktan çekinmeyin!
6. Aşağıdaki eşitliklerde harfli ifadelerin yerine yazılması gereken sayıları bulunuz.
Bu soruda bizden, verilen eşitliklerdeki harflerin yerine hangi sayıların gelmesi gerektiğini bulmamız isteniyor. Üslü ifadelerin temel kurallarını kullanarak bu harfleri tek tek bulacağız.
a) $2^3 = frac{1}{2^a}$
Adım 1: Eşitliğin sol tarafındaki $2^3$ ifadesini hesaplayalım. $2^3 = 2 times 2 times 2 = 8$.
Adım 2: Eşitliğin sağ tarafındaki ifadeye bakalım: $frac{1}{2^a}$. Bu ifadeyi, tabanı 2 olan bir üslü ifadeye dönüştürmek için üslü sayılarda bölme kuralını kullanmalıyız. Hatırlayalım, $frac{1}{x^n} = x^{-n}$’dir. Yani $frac{1}{2^a} = 2^{-a}$ olur.
Adım 3: Şimdi eşitliğimiz şu hale geldi: $8 = 2^{-a}$. Biz biliyoruz ki $8 = 2^3$. O halde, $2^3 = 2^{-a}$ olur.
Adım 4: Tabanlar eşit olduğunda üsler de eşit olmak zorundadır. Bu durumda $3 = -a$ olur. Her iki tarafı -1 ile çarparsak, $a = -3$ buluruz.
Sonuç: $a = -3$
b) $125 = frac{1}{5^b}$
Adım 1: Eşitliğin sol tarafındaki 125 sayısını 5’in kuvveti şeklinde yazmaya çalışalım. $5 times 5 = 25$ ve $25 times 5 = 125$. Yani $125 = 5^3$.
Adım 2: Eşitliğimiz şimdi $5^3 = frac{1}{5^b}$ şeklinde oldu.
Adım 3: Sağ taraftaki $frac{1}{5^b}$ ifadesini de üslü sayı olarak yazarsak, $5^{-b}$ olur.
Adım 4: Eşitliğimiz $5^3 = 5^{-b}$ halini aldı. Tabanlar eşit olduğuna göre üsler de eşittir. $3 = -b$.
Adım 5: Her iki tarafı -1 ile çarparsak, $b = -3$ buluruz.
Sonuç: $b = -3$
c) $3^c = frac{1}{3^{-4}}$
Adım 1: Eşitliğin sağ tarafındaki ifadeye bakalım: $frac{1}{3^{-4}}$. Üslü sayılarda bölme kuralını hatırlayalım: $frac{1}{x^n} = x^{-n}$ ve $frac{1}{x^{-n}} = x^n$. Buna göre $frac{1}{3^{-4}} = 3^{-(-4)} = 3^4$ olur.
Adım 2: Eşitliğimiz şimdi $3^c = 3^4$ haline geldi.
Adım 3: Tabanlar eşit olduğu için üsler de eşittir. $c = 4$.
Sonuç: $c = 4$
ç) $4^5 = frac{1}{4^d}$
Adım 1: Eşitliğin sol tarafındaki $4^5$ zaten üslü ifade şeklinde verilmiş.
Adım 2: Eşitliğin sağ tarafındaki ifadeye bakalım: $frac{1}{4^d}$. Bu ifadeyi, tabanı 4 olan bir üslü ifadeye dönüştürmek için üslü sayılarda bölme kuralını kullanmalıyız. $frac{1}{4^d} = 4^{-d}$ olur.
Adım 3: Şimdi eşitliğimiz şu hale geldi: $4^5 = 4^{-d}$.
Adım 4: Tabanlar eşit olduğundan üsler de eşittir. $5 = -d$.
Adım 5: Her iki tarafı -1 ile çarparsak, $d = -5$ buluruz.
Sonuç: $d = -5$
7. $frac{1}{5} cdot frac{1}{5} cdot frac{1}{5} cdot frac{1}{5} cdot frac{1}{5} cdot frac{1}{5}$ işleminin sonucunu üslü ifade şeklinde yazınız.
Bu soruda, aynı sayıyı birden çok kez çarptığımızda bu işlemi üslü ifadeyle nasıl göstereceğimizi hatırlayacağız.
Adım 1: Çarpma işleminde tekrar eden sayı $frac{1}{5}$’tir.
Adım 2: Bu sayı kaç defa tekrarlamış? Sayalım: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Tam 6 defa tekrarlamış.
Adım 3: Bir sayının kendisiyle tekrar tekrar çarpılması, o sayının üssünü alarak ifade edilir. Taban, çarpılan sayının kendisi olur, üs ise çarpım sayısının adedi olur.
Adım 4: Bu durumda, $frac{1}{5}$’i 6 defa çarptığımız için bu işlemi $left(frac{1}{5}right)^6$ şeklinde yazabiliriz.
Sonuç: $left(frac{1}{5}right)^6$
8. $frac{1}{8} cdot (16^2 + 16^2 + 16^2 + 16^2)$ işleminin sonucunu 2’nin kuvveti şeklinde yazınız.
Bu soruda hem çarpma hem de toplama işlemleri var ve sonucu 2’nin kuvveti şeklinde istiyor. Adım adım gidelim.
Adım 1: Önce parantez içindeki toplama işlemini yapalım. $16^2 + 16^2 + 16^2 + 16^2$ işlemini, aynı sayıyı topladığımız için çarpma şeklinde yazabiliriz. $16^2$’den 4 tane olduğu için $4 times 16^2$ şeklinde yazarız.
Adım 2: Şimdi işlemimiz $frac{1}{8} cdot (4 times 16^2)$ oldu.
Adım 3: Bu işlemi daha kolay çözebilmek için tüm sayıları 2’nin kuvveti şeklinde yazalım.
* $frac{1}{8}$: 8, $2^3$’tür. O halde $frac{1}{8} = frac{1}{2^3} = 2^{-3}$ olur.
* $4$: $2^2$’dir.
* $16$: $4^2$’dir ve $4=2^2$ olduğu için $16 = (2^2)^2 = 2^{2 times 2} = 2^4$’tür.
Adım 4: Bu değerleri işlemimize yerleştirelim:
$2^{-3} cdot (2^2 times (2^4)^2)$
Adım 5: Üslü sayılarda üssün üssü alınırken üsler çarpılır. $(2^4)^2 = 2^{4 times 2} = 2^8$.
Adım 6: Şimdi işlemimiz şu hale geldi: $2^{-3} cdot (2^2 times 2^8)$.
Adım 7: Parantez içindeki çarpma işlemini yapalım. Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız: $2^2 times 2^8 = 2^{2+8} = 2^{10}$.
Adım 8: İşlemimiz $2^{-3} cdot 2^{10}$ oldu.
Adım 9: Son olarak bu çarpma işlemini yapalım. Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız: $2^{-3} cdot 2^{10} = 2^{-3+10} = 2^7$.
Sonuç: $2^7$
9. Aşağıdaki ifadelerde harflerin yerine gelmesi gereken sayıları bulunuz.
Yine harflerin yerine gelecek sayıları bulmamız gereken bir soru. Üslü sayılarda eşitlikleri kullanacağız.
a) $2^3 = 2^a$
Adım 1: Eşitliğin her iki tarafında da taban aynı: 2.
Adım 2: Tabanlar aynı olduğunda, eşitliğin sağlanması için üslerin de eşit olması gerekir.
Adım 3: Bu durumda $3 = a$ olur.
Sonuç: $a = 3$
b) $(7^5)^2 = 7^b$
Adım 1: Eşitliğin sol tarafında üssün üssü alınmış. Üssün üssü alınırken üsler çarpılır.
Adım 2: $(7^5)^2 = 7^{5 times 2} = 7^{10}$ olur.
Adım 3: Eşitliğimiz $7^{10} = 7^b$ haline geldi.
Adım 4: Tabanlar aynı olduğu için üsler de eşittir. $10 = b$.
Sonuç: $b = 10$
c) $4^7 = 2^c$
Adım 1: Bu eşitlikte tabanlar farklı (4 ve 2). Bu yüzden, tabanları eşitlemeye çalışmalıyız. 4 sayısını 2’nin kuvveti olarak yazabiliriz: $4 = 2^2$.
Adım 2: Eşitliğin sol tarafını yeniden yazalım: $(2^2)^7 = 2^c$.
Adım 3: Üssün üssü alınırken üsler çarpılır: $(2^2)^7 = 2^{2 times 7} = 2^{14}$.
Adım 4: Eşitliğimiz $2^{14} = 2^c$ haline geldi.
Adım 5: Tabanlar aynı olduğu için üsler de eşittir. $14 = c$.
Sonuç: $c = 14$
ç) $(6^d)^6 = 6^{24}$
Adım 1: Eşitliğin sol tarafında üssün üssü alınmış. Üsleri çarparak bu ifadeyi tek bir üslü ifadeye çevirelim: $(6^d)^6 = 6^{d times 6} = 6^{6d}$.
Adım 2: Eşitliğimiz $6^{6d} = 6^{24}$ haline geldi.
Adım 3: Tabanlar eşit olduğu için üsler de eşittir. $6d = 24$.
Adım 4: $d$’yi bulmak için eşitliğin her iki tarafını 6’ya bölelim: $d = frac{24}{6} = 4$.
Sonuç: $d = 4$
d) $(e^2)^5 = 9^{10}$
Adım 1: Eşitliğin sol tarafında üssün üssü alınmış. Üsleri çarparak ifadeyi tek bir üslü ifadeye çevirelim: $(e^2)^5 = e^{2 times 5} = e^{10}$.
Adım 2: Eşitliğimiz $e^{10} = 9^{10}$ haline geldi.
Adım 3: Tabanlar farklı olsa da, üsler eşit. Eğer üsler çift bir sayı ise, tabanlar birbirine eşit veya birbirinin negatiflisi olabilir. Ancak genellikle bu tür sorularda tabanların pozitif olduğu varsayılır. Üsler eşit ve pozitif olduğunda, tabanların da eşit olması gerekir.
Adım 4: Bu durumda $e = 9$ olur.
Sonuç: $e = 9$
e) $(8^f)^5 = 2^{45}$
Adım 1: Eşitliğin sol tarafında üssün üssü alınmış. Üsleri çarparak ifadeyi tek bir üslü ifadeye çevirelim: $(8^f)^5 = 8^{f times 5} = 8^{5f}$.
Adım 2: Eşitliğimiz $8^{5f} = 2^{45}$ haline geldi.
Adım 3: Tabanlar farklı (8 ve 2). Tabanları eşitlemek için 8’i 2’nin kuvveti olarak yazalım: $8 = 2^3$.
Adım 4: Sol tarafı yeniden yazalım: $(2^3)^{5f} = 2^{45}$.
Adım 5: Üssün üssünü alırken üsleri çarparız: $(2^3)^{5f} = 2^{3 times 5f} = 2^{15f}$.
Adım 6: Eşitliğimiz $2^{15f} = 2^{45}$ haline geldi.
Adım 7: Tabanlar aynı olduğu için üsler de eşittir. $15f = 45$.
Adım 8: $f$’yi bulmak için eşitliğin her iki tarafını 15’e bölelim: $f = frac{45}{15} = 3$.
Sonuç: $f = 3$
10. $3 cdot 16^2 cdot 5^7$ ifadesinin kaç basamaklı olduğunu bulunuz.
Bu tür sorularda, ifadeyi $a times 10^n$ şeklinde yazmaya çalışırız. Çünkü $10^n$ sayısının sonuna $n$ tane sıfır gelir ve sayının basamak sayısını belirlemede bize yardımcı olur.
Adım 1: İfadede bulunan sayıları 2 ve 5’in kuvvetleri şeklinde yazmaya çalışalım.
* $16^2$: $16 = 2^4$ idi. O halde $16^2 = (2^4)^2 = 2^8$.
Adım 2: İfadede bulunan sayılar şimdi $3$, $2^8$ ve $5^7$ oldu. İşlemimiz $3 cdot 2^8 cdot 5^7$ şeklinde yazılabilir.
Adım 3: $10$’un kuvvetlerini oluşturmak için $2$ ve $5$’in aynı üsse sahip olması gerekir. Bizim elimizde $2^8$ ve $5^7$ var. Üslerden küçük olan 7’yi kullanarak $2^7$ ve $5^7$ şeklinde ayırabiliriz.
Adım 4: $2^8 = 2^7 cdot 2^1$ şeklinde yazılabilir.
Adım 5: İfadede yerine koyalım: $3 cdot (2^7 cdot 2^1) cdot 5^7$.
Adım 6: Sayıları yeniden düzenleyelim: $3 cdot 2 cdot (2^7 cdot 5^7)$.
Adım 7: Tabanları farklı ama üsleri aynı olan sayıların çarpımında, üsler aynı kalır, tabanlar çarpılır: $2^7 cdot 5^7 = (2 cdot 5)^7 = 10^7$.
Adım 8: İfade şimdi $3 cdot 2 cdot 10^7$ oldu.
Adım 9: Çarpma işlemini yapalım: $3 cdot 2 = 6$.
Adım 10: Son olarak ifade $6 cdot 10^7$ haline geldi.
Adım 11: $6 cdot 10^7$ demek, 6’nın yanına 7 tane sıfır koymak demektir. Bu da $60.000.000$ sayısını elde etmemizi sağlar.
Adım 12: Bu sayının basamak sayısını bulmak için, sayının kendisini düşünelim. 6’nın kendisi 1 basamaklıdır. Yanına eklenen 7 sıfır ise 7 basamak ekler. Toplam basamak sayısı $1 + 7 = 8$ olur.
Sonuç: 8 basamaklıdır.
11. Üslü sayıların özelliklerini kullanarak aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
Bu soruda bizden, üslü sayılarda kuvvet alma özelliklerini kullanarak verilen boşlukları doldurmamız isteniyor.
a) $(2 cdot 7)^4 = ldots cdot ldots cdot ldots cdot ldots$
Adım 1: Burada üslü sayılarda çarpımın kuvveti özelliğini kullanacağız. Bu özellik der ki: $(a cdot b)^n = a^n cdot b^n$.
Adım 2: Bu kuralı $(2 cdot 7)^4$ ifadesine uyguladığımızda, tabandaki her bir sayının üssünün 4 olacağını görürüz.
Adım 3: Yani, $(2 cdot 7)^4 = 2^4 cdot 7^4$ olur.
Adım 4: $2^4$ demek, 2’yi 4 defa kendisiyle çarpmak demektir: $2 cdot 2 cdot 2 cdot 2$.
Adım 5: $7^4$ demek, 7’yi 4 defa kendisiyle çarpmak demektir: $7 cdot 7 cdot 7 cdot 7$.
Adım 6: Bu durumda boşlukları doldururken, bu çarpımları ayrı ayrı yazabiliriz: $2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 7 cdot 7 cdot 7 cdot 7$. Ancak soruda sadece 4 tane boşluk verilmiş. Bu, ilk kuralı uyguladığımız haliyle doldurmamızı istiyor olabilir. Eğer ilk satırda 4 tane boşluk varsa, bu $2 cdot 7 cdot 2 cdot 7$ gibi bir şey olabilir ama bu $(2 cdot 7)^2$ olurdu. Sorunun formatına göre, ilk boşluğa $2$, ikinciye $7$, üçüncüye $2$, dördüncüye $7$ yazmak $(2 cdot 7 cdot 2 cdot 7)$ bu da $(2 cdot 7)^2$ olur.
Adım 7: Soru metnini ve boşluk sayısını tekrar inceleyelim. $(2 cdot 7)^4 = ldots cdot ldots cdot ldots cdot ldots$ burada 4 boşluk var. Bu, tabanların 4 kez tekrarlandığını gösteriyor.
Adım 8: Demek ki, $(2 cdot 7)^4 = (2 cdot 7) cdot (2 cdot 7) cdot (2 cdot 7) cdot (2 cdot 7)$ şeklinde yazılabilir.
Sonuç: $(2 cdot 7) cdot (2 cdot 7) cdot (2 cdot 7) cdot (2 cdot 7)$
= $(ldots cdot ldots cdot ldots cdot ldots ) cdot (ldots cdot ldots cdot ldots cdot ldots )$
Bu satırda, $2^4$ ve $7^4$ şeklinde ayırmış olsaydık, $2^4 = 2 cdot 2 cdot 2 cdot 2$ ve $7^4 = 7 cdot 7 cdot 7 cdot 7$ olurdu. Sorudaki boşluk sayısına göre bu şekilde doldurmak mantıklı görünüyor.
Sonuç: $(2 cdot 2 cdot 2 cdot 2) cdot (7 cdot 7 cdot 7 cdot 7)$
= $ldots cdot ldots cdot ldots cdot ldots cdot ldots cdot ldots cdot ldots cdot ldots$
Bu son boşlukta ise tüm çarpımları bir arada yazmamız istenmiş. 2’den 4 tane ve 7’den 4 tane çarpılacak.
Sonuç: $2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 7 cdot 7 cdot 7 cdot 7$
b) $left(frac{12}{5}right)^3 = frac{ldots cdot ldots cdot ldots}{ldots cdot ldots cdot ldots}$
Adım 1: Bu soruda da kesrin kuvvetini alma özelliğini kullanacağız. Bu özellik şöyledir: $left(frac{a}{b}right)^n = frac{a^n}{b^n}$.
Adım 2: Bu kuralı $left(frac{12}{5}right)^3$ ifadesine uyguladığımızda, hem payın hem de paydanın üssünün 3 olacağını görürüz.
Adım 3: Yani, $left(frac{12}{5}right)^3 = frac{12^3}{5^3}$ olur.
Adım 4: $12^3$ demek, 12’yi 3 defa kendisiyle çarpmak demektir: $12 cdot 12 cdot 12$.
Adım 5: $5^3$ demek, 5’i 3 defa kendisiyle çarpmak demektir: $5 cdot 5 cdot 5$.
Adım 6: Boşlukları bu şekilde doldurabiliriz.
Sonuç: $frac{12 cdot 12 cdot 12}{5 cdot 5 cdot 5}$
= $frac{ldots cdot ldots cdot ldots}{ldots cdot ldots cdot ldots}$
Burada da üstteki çarpımları aynen yazıyoruz.
Sonuç: $frac{12 cdot 12 cdot 12}{5 cdot 5 cdot 5}$
= $ldots$
Bu son adımda ise kesrin değerini hesaplamamız isteniyor gibi görünüyor. Ancak soruda sadece noktalı yerler var ve bir sonuç istenmiyor. Eğer hesaplama istenseydi, payı ve paydayı çarparak sonucu bulurduk. Ancak sadece üslü ifade özelliğini göstermemiz isteniyor. Bu yüzden, buradaki boşluklar için, hesaplanmış halini yazmak yerine, üslü ifadeyi tekrar yazabiliriz. Ancak, sorunun formatına göre, bu son boşluğun değeri hesaplanmış olmalı. Fakat hesaplanmış sayılar yerine, üslü ifadeyi tekrar yazmak daha doğru olabilir. Eğer hesaplama soruluyorsa, şöyle olurdu:
$12^3 = 1728$
$5^3 = 125$
Sonuç $frac{1728}{125}$ olurdu.
Ancak, noktalı yerler olduğu için, orada bir işlem bekleniyor. Belki de sadece üslü ifadeyi tekrar yazmamız istenmiştir.
Eğer son boşluk için bir değer bekleniyorsa ve bu üslü ifadeyi tekrar yazmaksa, o zaman şöyle olurdu: $frac{12^3}{5^3}$.
Sonuç: $frac{12^3}{5^3}$
Umarım bu çözümler sizler için anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız yerleri lütfen tekrar sorun, hep birlikte öğrenelim! Başarılar dilerim!