16. Soru: Biri kare prizma, diğeri dik dairesel silindir olan iki kap tamamen su ile doludur. Silindir şeklindeki kabın taban çapının ve yüksekliğinin uzunlukları, kare prizmanın yüksekliğinin uzunluğuna eşittir. Kare prizmanın taban ayrıtının uzunluğu yüksekliğinin $frac{1}{4}$’üdür. Buna göre silindir şeklindeki kapta, kare prizma şeklindeki kapta bulunan suyun kaç katı kadar su bulunmaktadır? ($pi$ yerine 3 alınız.)
Merhaba sevgili öğrencim, bu soruda hacim formüllerini kullanarak iki farklı şeklin (silindir ve kare prizma) hacimlerini karşılaştırmamız isteniyor. Adım adım gidelim.
Adım 1: Yükseklik ve kenar uzunluklarını belirleyelim.
Soruda kesirli sayılarla uğraşmamak için kare prizmanın yüksekliğine 4h diyelim (çünkü 4’e bölmek kolay olsun).
- Kare Prizma:
- Yüksekliği = 4h
- Taban ayrıtı = Yüksekliğin $frac{1}{4}$’ü = $4h times frac{1}{4} = 1h$ (yani h)
- Silindir:
- Yüksekliği = Kare prizmanın yüksekliğine eşit = 4h
- Taban Çapı = Kare prizmanın yüksekliğine eşit = 4h
- Taban Yarıçapı (r) = Çapın yarısıdır. Yani $4h / 2 = 2h$
Adım 2: Kare Prizmanın Hacmini Hesaplayalım.
Kare prizmanın hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır.
Hacim = Taban Alanı x Yükseklik
Taban bir kare olduğu için alanı $h times h = h^{2}$ olur.
$V_{prizma} = h^{2} times 4h = 4h^{3}$
Adım 3: Silindirin Hacmini Hesaplayalım.
Silindirin hacim formülü: $V = pi times r^{2} times h$
Burada $pi = 3$, $r = 2h$ ve yükseklik $= 4h$ olarak bulmuştuk.
$V_{silindir} = 3 times (2h)^{2} times 4h$
$V_{silindir} = 3 times 4h^{2} times 4h$
$V_{silindir} = 12h^{2} times 4h$
$V_{silindir} = 48h^{3}$
Adım 4: Oranlayalım.
Soruda silindirdeki suyun, prizmadaki suyun kaç katı olduğu soruluyor. Yani silindirin hacmini prizmanın hacmine böleceğiz.
Oran = $frac{48h^{3}}{4h^{3}}$
$h^{3}$’ler birbirini götürür.
Oran = $frac{48}{4} = 12$
Sonuç:
Silindirdeki su, kare prizmadaki suyun 12 katıdır.
Doğru cevap C) 12 seçeneğidir.
17. Soru: Yüksekliği ve tabanının çap uzunluğu x santimetre olan bir dik dairesel silindirin hacminin, bir ayrıtının uzunluğu 2x santimetre olan bir küpün hacmine oranı aşağıdakilerden hangisidir?
Bu soruda cebirsel ifadelerle (harflerle) hacim hesabı yapacağız. Sakın gözün korkmasın, formülleri yerine koyduğumuzda her şey sadeleşecek.
Adım 1: Silindirin Hacmini Bulalım ($V_{silindir}$).
Bize verilenler:
- Yükseklik (h) = x
- Çap (R) = x (Öyleyse yarıçap $r = frac{x}{2}$ olur)
- Formül: $V = pi times r^{2} times h$
Şimdi yerine koyalım:
$V_{silindir} = pi times (frac{x}{2})^{2} times x$
$V_{silindir} = pi times frac{x^{2}}{4} times x$
$V_{silindir} = frac{pi cdot x^{3}}{4}$
Adım 2: Küpün Hacmini Bulalım ($V_{küp}$).
Küpün bir kenarı = 2x
Küpün hacmi üç kenarının çarpımıdır ($a^{3}$).
$V_{küp} = (2x)^{3}$
$V_{küp} = 2x times 2x times 2x$
$V_{küp} = 8x^{3}$
Adım 3: Oranlayalım.
Silindirin hacminin küpün hacmine oranını bulacağız.
Oran = $frac{V_{silindir}}{V_{küp}}$
Oran = $frac{frac{pi cdot x^{3}}{4}}{8x^{3}}$
Rasyonel sayılarda bölme işlemi yaparken birinciyi aynen yazar, ikinciyi ters çevirip çarparız:
Oran = $frac{pi cdot x^{3}}{4} times frac{1}{8x^{3}}$
Burada $x^{3}$ ifadeleri birbirini sadeleştirir (yok eder).
Oran = $frac{pi}{4 times 8}$
Oran = $frac{pi}{32}$
Sonuç:
Doğru cevap A) $frac{pi}{32}$ seçeneğidir.
18. Soru: Yarıçapı 5 cm, hacmi 450 $cm^{3}$ olan dik dairesel silindirin açınımı aşağıdakilerden hangisidir? ($pi$ yerine 3 alınız.)
Silindirin açınımını (açılmış halini) bulmak için iki temel bilgiye ihtiyacımız var: Yükseklik ve taban çevresi (dikdörtgenin uzun kenarı).
Adım 1: Silindirin Yüksekliğini Bulalım.
Hacim formülünü kullanarak yüksekliği (h) bulabiliriz.
$V = pi times r^{2} times h$
Verilenleri yerine yazalım:
$450 = 3 times 5^{2} times h$
$450 = 3 times 25 times h$
$450 = 75 times h$
Her iki tarafı 75’e bölelim:
$h = frac{450}{75}$
h = 6 cm
Demek ki açınımdaki dikdörtgenin kısa kenarı (yüksekliği) 6 cm olmalı. Bu bilgiyle C ve D şıklarını eleriz (çünkü onların yüksekliği 12 cm).
Adım 2: Dikdörtgenin Uzun Kenarını (Taban Çevresini) Bulalım.
Silindir açıldığında oluşan dikdörtgenin uzun kenarı, dairenin çevresine eşittir.
Çevre Formülü: $Ç = 2 times pi times r$
$Ç = 2 times 3 times 5$
$Ç = 6 times 5$
$Ç = 30$ cm
Demek ki dikdörtgenin uzun kenarı 30 cm olmalı.
Adım 3: Şıkları İnceleyelim.
Bulduğumuz değerler:
- Daire yarıçapı: 5 cm
- Dikdörtgen uzun kenarı: 30 cm
- Dikdörtgen kısa kenarı: 6 cm
Bu ölçülere uyan seçenek A şıkkıdır. (B şıkkında uzun kenar 20 cm verilmiş, yanlıştır.)
Sonuç:
Doğru cevap A seçeneğidir.
19. Soru: Dik dairesel silindir biçimindeki bir bardağın %80’i su ile doludur. Yarıçapının uzunluğu 6 cm ve yüksekliği 15 cm olan bardakta kaç santimetreküplük boşluk bırakılmıştır? ($pi$ yerine 3 alınız.)
Bu soruda bardağın tamamının hacmini bulup, boş olan kısmın hacmini hesaplayacağız.
Adım 1: Bardağın Toplam Hacmini Bulalım.
Formülümüz yine: $V = pi times r^{2} times h$
Verilenler: $r = 6$ cm, $h = 15$ cm, $pi = 3$.
$V = 3 times 6^{2} times 15$
$V = 3 times 36 times 15$
Önce 3 ile 36’yı çarpalım:
$3 times 36 = 108$
Şimdi 108 ile 15’i çarpalım:
$108 times 15 = 1620$ $cm^{3}$ (Bardağın tamamı)
Adım 2: Boş Kısmın Hacmini Bulalım.
Bardağın %80’i dolu ise, tamamı %100 olduğuna göre:
%100 – %80 = %20‘si boştur.
Bizden bu boş kısmın hacmi isteniyor. Yani 1620’nin %20’sini bulmalıyız.
$Boş Hacim = 1620 times frac{20}{100}$
Sadeleştirme yapalım (sıfırları silelim):
$Boş Hacim = 162 times 2$
$Boş Hacim = 324$ $cm^{3}$
Sonuç:
Bardaktaki boşluk miktarı 324 santimetreküptür.
Doğru cevap A) 324 seçeneğidir.