1. Çevresinin uzunluğu 40 cm olan bir üçgenin bir kenarının uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 10 cm
B) 12 cm
C) 15 cm
D) 20 cm
Çözüm:
Sevgili öğrencim, bu soruyu çözmek için “Üçgen Eşitsizliği” kuralını hatırlamamız gerekiyor. Bir üçgenin çizilebilmesi için herhangi bir kenar uzunluğunun, diğer iki kenarın toplamından küçük olması gerekir.
Adım 1: Üçgenimizin çevresi 40 cm olarak verilmiş. Bir kenarına “a”, diğer iki kenarın toplamına “b + c” diyelim. Çevre formülü şöyledir:
a + (b + c) = 40 cm
Adım 2: Kuralımıza göre; bir kenar (a), diğer iki kenarın toplamından (b + c) kesinlikle küçük olmalıdır.
a < b + c
Adım 3: Eğer bir kenar uzunluğu çevrenin yarısı (yani 20 cm) olursa ne olacağını düşünelim. Eğer bir kenar 20 cm ise, geriye kalan iki kenarın toplamı da 20 cm olur (40 – 20 = 20). Ancak kuralımız ne diyordu? Bir kenar, diğerlerinin toplamından küçük olmalı. 20 sayısı 20’den küçük değildir, eşittir. Bu durumda üçgen kapanmaz, düz bir çizgi olur.
Adım 4: Şıkları inceleyelim:
- A) 10 cm: Çevrenin yarısından (20) küçüktür. Olabilir.
- B) 12 cm: Çevrenin yarısından (20) küçüktür. Olabilir.
- C) 15 cm: Çevrenin yarısından (20) küçüktür. Olabilir.
- D) 20 cm: Çevrenin tam yarısıdır. Bir kenar çevrenin yarısı veya yarısından fazla olamaz.
Sonuç:
Doğru cevap D şıkkıdır.
2. Yandaki kareli kâğıda çizilen üçgenin iç açılarının ölçülerinin büyükten küçüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir?
A) m(ÊD̂F) > m(DÊF) > m(D̂F̂E)
B) m(DÊF) > m(D̂F̂E) > m(ÊD̂F)
C) m(DÊF) > m(ÊD̂F) > m(D̂F̂E)
D) m(D̂F̂E) > m(DÊF) > m(ÊD̂F)
Çözüm:
Bu soruda “Büyük kenar karşısında büyük açı, küçük kenar karşısında küçük açı bulunur” kuralını kullanacağız. Öncelikle kareli kağıt üzerindeki kenar uzunluklarını karşılaştırmamız gerekiyor.
Adım 1: Kenar uzunluklarını kareleri sayarak (veya Pisagor bağıntısı mantığıyla) tahmin edelim:
- DE Kenarı: Dikeyde 3 birim, yatayda 3 birimlik bir üçgenin hipotenüsüdür. (3² + 3² = 9 + 9 = 18). Uzunluğu $sqrt{18}$ diyebiliriz.
- DF Kenarı: Dikeyde 4 birim, yatayda 2 birimlik bir üçgenin hipotenüsüdür. (4² + 2² = 16 + 4 = 20). Uzunluğu $sqrt{20}$ diyebiliriz.
- EF Kenarı: Yatayda 5 birim, dikeyde 1 birimlik bir üçgenin hipotenüsüdür. (5² + 1² = 25 + 1 = 26). Uzunluğu $sqrt{26}$ diyebiliriz.
Adım 2: Kenar uzunluklarını büyükten küçüğe sıralayalım:
EF (en uzun) > DF (orta) > DE (en kısa)
Adım 3: Şimdi bu kenarların karşısındaki açıları sıralayalım:
- En uzun kenar EF’nin karşısındaki açı: D açısı (m(ÊD̂F)) en büyüktür.
- Orta uzunluktaki kenar DF’nin karşısındaki açı: E açısı (m(DÊF)) ortadadır.
- En kısa kenar DE’nin karşısındaki açı: F açısı (m(D̂F̂E)) en küçüktür.
Adım 4: Sıralamamız D > E > F şeklinde olmalıdır.
Sonuç:
Bu sıralamayı veren seçenek A şıkkıdır.
3. Aşağıda verilen üçgenlerin hangisi dik üçgendir?
A) 2 cm, 3 cm, 4 cm
B) 7 cm, 6 cm, 9 cm
C) 17 cm, 15 cm, 8 cm
D) 12 cm, 25 cm, 16 cm
Çözüm:
Bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını anlamak için Pisagor Bağıntısı‘nı kullanırız. Bu bağıntıya göre; dik kenarların karelerinin toplamı, en uzun kenarın (hipotenüs) karesine eşit olmalıdır ($a^2 + b^2 = c^2$).
Adım 1: Şıkları tek tek deneyelim:
A Şıkkı: Kenarlar 2, 3, 4. En uzun kenar 4.
- $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$
- $4^2 = 16$
- 13 eşit değildir 16’ya. Bu yüzden dik üçgen değildir.
B Şıkkı: Kenarlar 6, 7, 9. En uzun kenar 9.
- $6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85$
- $9^2 = 81$
- 85 eşit değildir 81’e. Bu yüzden dik üçgen değildir.
C Şıkkı: Kenarlar 8, 15, 17. En uzun kenar 17.
- $8^2 = 64$
- $15^2 = 225$
- Şimdi toplayalım: 64 + 225 = 289
- En uzun kenarın karesi: $17^2 = 17 times 17 = mathbf{289}$
- Gördüğün gibi eşitlik sağlandı! (Bu özel bir üçgendir: 8-15-17 üçgeni).
D Şıkkı: Kenarlar 12, 16, 25. En uzun kenar 25.
- $12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$
- $25^2 = 625$
- 400 eşit değildir 625’e. (Not: Eğer en uzun kenar 20 olsaydı dik üçgen olurdu).
Sonuç:
Pisagor bağıntısını sağlayan tek seçenek C şıkkıdır.