Merhaba sevgili öğrencim. Ben senin Matematik öğretmeninim. Seninle bu “Dik Koni” konusundaki alıştırmaları birlikte inceleyip, adım adım çözeceğiz. Konilerde temel elemanları ve açınım kurallarını iyi anlarsan bu soruları çok rahat yapabilirsin. Hazırsan başlayalım!
1. Soru: Yandaki dik koninin temel elemanlarını noktalı yerlere yazınız.
Çözüm:
Bu soruda bizden koninin parçalarının isimlerini bilmemiz isteniyor. Görseldeki okları yukarıdan aşağıya doğru takip edelim.
- Adım 1: En üstteki ok, koninin en sivri ucunu gösteriyor. Burası tüm ana doğruların birleştiği noktadır. Buna Tepe Noktası denir.
- Adım 2: İkinci ok, tepe noktasından tabanın merkezine inen dik çizgiyi gösteriyor. Bu uzunluk koninin boyunu belirler. Buna Yükseklik denir.
- Adım 3: Üçüncü ok, tepe noktasından taban dairesinin kenarına giden yan çizgiyi gösteriyor. Koninin yan yüzeyini oluşturan bu doğru parçasına Ana Doğru denir.
- Adım 4: En alttaki ok, tabandaki dairenin merkezinden kenarına olan mesafeyi gösteriyor. Buna da Taban Yarıçapı denir.
Sonuç: Yukarıdan aşağıya sırasıyla: Tepe Noktası, Yükseklik, Ana Doğru, Taban Yarıçapı.
2. Soru: Yandaki şekilde verilen dik |AO| = 15 cm ve |AC| = 17 cm’dir. Dik koninin taban yarıçapının uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Burada dik koninin içinde oluşan dik üçgeni görmemiz gerekiyor. Yükseklik (AO), taban yarıçapı (OC veya r) ve ana doğru (AC) bir dik üçgen oluşturur.
Adım 1: Verilenleri yerine koyalım.
- Yükseklik (|AO|) = 15 cm
- Ana Doğru (|AC|) = 17 cm
- Yarıçap (r) = ? (Bizden bu isteniyor)
Adım 2: Bu bir dik üçgen olduğu için Pisagor Bağıntısını kullanacağız. Formülümüz: (Yarıçapın karesi) + (Yüksekliğin karesi) = (Ana Doğrunun karesi)
r² + 15² = 17²
Adım 3: İşlemleri yapalım.
15’in karesi (15 x 15) = 225
17’nin karesi (17 x 17) = 289
r² + 225 = 289
Adım 4: r²’yi yalnız bırakmak için 225’i karşı tarafa çıkarma işlemi olarak atalım.
r² = 289 – 225
r² = 64
Adım 5: Hangi sayının karesi 64 eder? Tabii ki 8’in.
Ayrıca hatırla, bu özel bir üçgendir: 8 – 15 – 17 özel dik üçgeni.
Sonuç: Taban yarıçapının uzunluğu 8 cm‘dir.
3. Soru: Yandaki bir dik koninin açınımı verilmiştir. |TL| = 10 cm ve taban yarıçapı 3 cm olduğuna göre KTL açısının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Koninin açık hali verildiğinde, taban yarıçapı (r) ile ana doğru (a veya l) ve merkez açı (α) arasında çok önemli bir orantı vardır. Bu formülü mutlaka not etmelisin.
Formül:(Yarıçap / Ana Doğru) = (Açı / 360) yani r / l = α / 360
Adım 1: Verilenleri belirleyelim.
- Ana Doğru (l) = |TL| = 10 cm
- Yarıçap (r) = 3 cm
- Açı (α) = ? (Bizden istenen KTL açısı)
Adım 2: Formülde yerine koyalım.
3 / 10 = α / 360
Adım 3: İçler dışlar çarpımı yapabiliriz veya orantı kurabiliriz. 10 sayısı 360 olması için 36 ile çarpılmış. O zaman 3 sayısı da 36 ile çarpılmalıdır.
α = 3 x 36
Adım 4: Çarpma işlemini yapalım.
3 x 30 = 90
3 x 6 = 18
90 + 18 = 108
Sonuç: KTL açısının ölçüsü 108 derecedir.
4. Soru: Yanda açınımı verilen dik koninin taban yarıçapının uzunluğu 5 cm ve m(BAC) = 75° olduğuna göre |AC| kaç santimetredir?
Çözüm:
Bu soru bir önceki soruyla aynı mantıkta, sadece bu sefer farklı bir değişkeni bulmamız isteniyor. Yine o “altın kural” formülümüzü kullanacağız.
Formül:r / l = α / 360
Adım 1: Verilenleri yazalım.
- Yarıçap (r) = 5 cm
- Açı (α) = 75°
- Ana Doğru (l) = |AC| = ? (Bizden bu isteniyor)
Adım 2: Formülde yerine koyalım.
5 / |AC| = 75 / 360
Adım 3: İşlemi kolaylaştırmak için eşitliğin sağ tarafındaki 75/360 kesrini sadeleştirelim.
- Her iki tarafı 5’e bölelim: 75 / 5 = 15 ve 360 / 5 = 72. (Yeni kesir: 15/72)
- Şimdi her iki tarafı 3’e bölelim: 15 / 3 = 5 ve 72 / 3 = 24. (Yeni kesir: 5/24)
Yani denklemimiz şu hale geldi: 5 / |AC| = 5 / 24
Adım 4: Eşitliğe dikkatli bakarsan, pay kısımları eşit (ikisi de 5). O halde payda kısımları da eşit olmak zorundadır.
|AC| = 24
Sonuç: |AC| uzunluğu 24 cm‘dir.