Merhaba sevgili öğrencim! Seninle birlikte bu matematik sorularını adım adım, sanki sınıfta tahtada çözüyormuşuz gibi inceleyeceğiz. Dik dairesel silindirlerin hacimlerini hesaplarken formüllerimizi dikkatli kullanmamız çok önemli. Hazırsan başlayalım!
20. Soru: Dik dairesel silindir şeklindeki bir su deposunun yarıçapının yüksekliğine oranı 1/2’dir. Taban çevresinin uzunluğu 42 metre olan bu deponun hacmi kaç metreküptür? (π yerine 3 alınız.)
Bu soruda bize verilen ipuçlarını kullanarak önce yarıçapı ve yüksekliği bulacağız, ardından hacim formülünü uygulayacağız.
Adım 1: Yarıçapı (r) bulalım.
Bize taban çevresinin 42 metre olduğu söylenmiş. Silindirin tabanı bir dairedir ve dairenin çevre formülü 2 . π . r şeklindedir.
- Çevre = 2 . π . r
- 42 = 2 . 3 . r (π yerine 3 yazdık)
- 42 = 6 . r
- Buradan r = 7 metre buluruz.
Adım 2: Yüksekliği (h) bulalım.
Soruda yarıçapın yüksekliğe oranının 1/2 olduğu verilmiş. Yani yarıçap 1 birimse, yükseklik 2 birimdir. Başka bir deyişle yükseklik, yarıçapın 2 katıdır.
- r / h = 1 / 2
- 7 / h = 1 / 2
- Buradan h = 14 metre buluruz.
Adım 3: Hacmi hesaplayalım.
Silindirin hacim formülü: V = π . r² . h şeklindedir.
- V = 3 . (7)² . 14
- V = 3 . 49 . 14
- Önce 3 ile 49’u çarpalım: 3 . 49 = 147
- Şimdi 147 ile 14’ü çarpalım:
İşlem:
147
x 14
—-
588 (147 x 4)
+147 (147 x 1, basamak kaydırarak)
—–
2058
Sonuç olarak deponun hacmi 2058 metreküptür.
Doğru Cevap: B) 2058
21. Soru: Dik dairesel silindir şeklinde boru üretilen bir atölyede, yandaki boru ile aynı hacimde üretilecek yeni boru aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Bu soruda referans borunun hacmini hesaplayıp, şıklardaki boruların hacimleriyle karşılaştıracağız. (Not: Görseldeki örnek borunun yarıçapı “6 m” yazılmış ancak şıklar ve yükseklik “cm” cinsinden olduğu için bunun “6 cm” olması gerektiğini anlıyoruz. İşlemleri cm üzerinden yapacağız.)
Adım 1: Örnek borunun hacim değerini bulalım.
Hacim formülümüz V = π . r² . h idi. Karşılaştırma yapacağımız için π sayısını hesaplamaya katmamıza gerek yok, çünkü tüm şıklarda π ortak olacaktır. Biz sadece r² . h değerine bakalım.
- Yarıçap (r) = 6 cm
- Yükseklik (h) = 24 cm
- Değer = 6² . 24 = 36 . 24
- 36 . 24 = 864 (Bu bizim hedef sayımız)
Adım 2: Şıkları tek tek kontrol edelim.
A Şıkkı: r = 8 cm, h = 13,5 cm
Değer = 8² . 13,5 = 64 . 13,5
64 ile 13,5’i çarparsak sonuç 864 çıkar. (Aynı hacimde)
B Şıkkı: r = 4 cm, h = 54 cm
Değer = 4² . 54 = 16 . 54
16 ile 54’ü çarparsak sonuç 864 çıkar. (Aynı hacimde)
C Şıkkı: r = 3 cm, h = 48 cm
Değer = 3² . 48 = 9 . 48
9 ile 48’i çarparsak: 9 . 8 = 72 (elde var 7), 9 . 4 = 36, 7 daha 43. Sonuç 432 çıkar.
Dikkat! Hedefimiz 864 idi, ancak burada 432 bulduk. Bu borunun hacmi diğerleriyle aynı değildir.
D Şıkkı: r = 10 cm, h = 8,64 cm
Değer = 10² . 8,64 = 100 . 8,64
100 ile 8,64’ü çarpmak virgülü iki sağa kaydırmaktır. Sonuç 864 çıkar. (Aynı hacimde)
Sonuç olarak C şıkkındaki borunun hacmi diğerlerinden farklıdır.
Doğru Cevap: C
22. Soru: Açınımı yanda verilen dik dairesel şeklindeki konserve kutusunun hacmi kaç santimetreküptür? (π yerine 3 alınız.)
Burada bir silindirin açınımı verilmiş. Açınımda gördüğümüz dikdörtgenin uzun kenarı, aslında tabandaki dairenin çevresine eşittir. Kısa kenar ise silindirin yüksekliğidir.
Adım 1: Verilenleri yerleştirelim.
- Dikdörtgenin uzun kenarı = 24 cm (Bu, taban çevresidir)
- Dikdörtgenin kısa kenarı = 10 cm (Bu, yüksekliktir, yani h = 10 cm)
Adım 2: Taban yarıçapını (r) bulalım.
Taban çevresi formülünü kullanarak yarıçapı bulacağız.
- Çevre = 2 . π . r = 24
- 2 . 3 . r = 24
- 6 . r = 24
- Buradan r = 4 cm buluruz.
Adım 3: Hacmi hesaplayalım.
Artık yarıçapı (r=4) ve yüksekliği (h=10) biliyoruz. Hacim formülünü (V = π . r² . h) uygulayabiliriz.
- V = 3 . (4)² . 10
- V = 3 . 16 . 10
- V = 48 . 10
- V = 480 cm³
Bu konserve kutusunun hacmi 480 santimetreküptür.
Doğru Cevap: C) 480