Harika bir çalışma sayfası! Merhaba sevgili öğrencim, ben 8. sınıf matematik öğretmenin. Gel şimdi bu etkinlik ve örnekleri birlikte, adım adım anlayarak çözelim. Kafana takılan bir yer olursa hiç çekinme, tekrar üzerinden geçeriz.
ETKİNLİK
Bu etkinlikte bizden, alanı verilen karelerin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi, özellikle de tam kare olmayan sayıların kareköklerini tahmin etmeyi öğrenmemiz isteniyor. Haydi başlayalım!
Adım 1: Bildiklerimizi İnceleyelim
Öncelikle bize verilen bilgilere bir göz atalım. Elimizde üç tane kare var:
- Birinci karenin alanı 16 cm² ve bir kenarı 4 cm. Çünkü biliyoruz ki 4 x 4 = 16, yani √16 = 4’tür.
- Üçüncü karenin alanı 25 cm² ve bir kenarı 5 cm. Çünkü 5 x 5 = 25, yani √25 = 5’tir.
Adım 2: Ortadaki Kareyi Tahmin Edelim
Şimdi gelelim ortadaki, alanı 20 cm² olan gizemli kareye. Bu karenin bir kenarını bulmak için kendimize şu soruyu sormalıyız: “Hangi sayıyı kendisiyle çarparsam 20 eder?” Bu sorunun cevabı aslında √20‘dir.
Peki, √20 hangi sayılar arasında olabilir? Mantık yürütelim:
Alanı 20 cm² olan kare, alanı 16 cm² olan kareden büyük, alanı 25 cm² olan kareden ise küçüktür. O zaman bu karenin bir kenar uzunluğu da (√20), kenarı 4 cm olan kareden uzun, kenarı 5 cm olan kareden kısa olmalıdır.
Yani, √20 sayısı 4 ile 5 arasındadır.
Adım 3: Hangisine Daha Yakın?
Peki sence 4’e mi daha yakın, 5’e mi? Bunu anlamak için 20 sayısının, 16’ya mı yoksa 25’e mi daha yakın olduğuna bakarız.
- 20 ile 16 arasındaki fark: 20 – 16 = 4
- 25 ile 20 arasındaki fark: 25 – 20 = 5
Gördüğün gibi 20 sayısı, 16’ya biraz daha yakın. Bu yüzden √20 sayısının da 4’e biraz daha yakın olmasını bekleriz. Yani 4,5’tan (bu iki sayının tam ortası) biraz daha küçük bir sayı olmalı. Mesela 4,4 gibi bir tahminde bulunabiliriz.
Adım 4: Hesap Makinesi ile Kontrol
Hesap makinesine 20 yazıp karekök (√) tuşuna bastığımızda yaklaşık olarak 4,47 gibi bir sonuç görürüz. Tahminimiz oldukça yakındı, harika!
Sonuç:
Bir sayının karekökünün hangi iki doğal sayı arasında olduğunu bulmak için, o sayının hangi iki tam kare sayı arasında olduğunu buluruz. Karekökü de bu tam kare sayıların karekökleri olan doğal sayılar arasında yer alır.
7. Örnek
√55 sayısının hangi ardışık iki doğal sayı arasında olduğunu belirleyelim.
Çözüm:
Adım 1: Tam Kare Sayıları Düşünelim
Hemen aklımıza bildiğimiz tam kare sayıları getirelim. 55 sayısından küçük en büyük tam kare sayı ve 55’ten büyük en küçük tam kare sayıyı bulmamız gerekiyor.
- 6 x 6 = 36
- 7 x 7 = 49(55’ten küçük en büyük tam kare)
- 8 x 8 = 64(55’ten büyük en küçük tam kare)
Adım 2: Eşitsizliği Yazalım
55 sayısı, 49 ile 64 arasındadır. Bunu matematiksel olarak şöyle yazarız:
49 < 55 < 64
Adım 3: Her Tarafın Karekökünü Alalım
Bu eşitsizlik doğruysa, her sayının karekökünü aldığımızda da sıralama bozulmaz.
√49 < √55 < √64
Adım 4: Sonuca Ulaşalım
√49’un 7’ye ve √64’ün 8’e eşit olduğunu biliyoruz. O zaman eşitsizliğimiz şu hale gelir:
7 < √55 < 8
Sonuç:
Gördüğün gibi, √55 sayısı 7 ile 8 doğal sayıları arasındadır.
8. Örnek
√91 sayısının hangi ardışık iki doğal sayı arasında olduğunu bulalım ve bu doğal sayılardan hangisine daha yakın olduğunu belirleyelim.
Çözüm:
Bu soruda iki işimiz var: önce aralığı bulmak, sonra da hangisine daha yakın olduğunu tespit etmek.
Adım 1: Aralığı Bulalım
Yine 91’e en yakın tam kare sayıları düşünüyoruz.
- 9 x 9 = 81
- 10 x 10 = 100
Harika! 91 sayısı, 81 ile 100 arasında. Hemen eşitsizliğimizi yazıp kareköklerini alalım:
81 < 91 < 100
√81 < √91 < √100
9 < √91 < 10
İlk kısmı başardık! √91 sayısı 9 ile 10 arasındaymış.
Adım 2: Hangisine Daha Yakın Olduğunu Bulalım
Bunu anlamak için, karekökün içindeki 91 sayısının, sınırlarımız olan 81 ve 100‘e olan uzaklıklarına bakacağız.
- 91’in 81’e olan uzaklığı: 91 – 81 = 10
- 91’in 100’e olan uzaklığı: 100 – 91 = 9
Adım 3: Karşılaştırma ve Sonuç
Farklara baktığımızda, 91 sayısı 100’e (aradaki fark 9) daha yakındır, 81’e ise (aradaki fark 10) biraz daha uzaktır.
Madem 91 sayısı 100’e daha yakın, o zaman √91 sayısı da √100’e, yani 10’a daha yakındır.
Sonuç:
√91 sayısı, 9 ile 10 arasındadır ve 10’a daha yakındır.
Umarım açıklamalarım net ve anlaşılır olmuştur. Kareköklü sayılarla ilgili tahmin yürütmek başta biraz zor gelebilir ama bol bol pratik yaptıkça ne kadar kolay olduğunu göreceksin. Başarılar dilerim!