Merhaba sevgili öğrencim,
Harika bir ünite sonu değerlendirme çalışması! Bu sorular, öğrendiğimiz konuları ne kadar iyi anladığımızı görmek için çok güzel bir fırsat. Gel şimdi bu soruları birlikte, adım adım inceleyelim ve çözelim. Tıpkı sınıfta yaptığımız gibi, her adımı anlayarak ilerleyeceğiz. Hazırsan başlayalım!
A. Aşağıda verilen ifadelerden doğru olanların önündeki noktalı yere “D”, yanlış olanların önündeki noktalı yere “Y” yazınız.
(…) a. 50 sayısının 6 tane pozitif tam sayı çarpanı vardır.
(D)
Açıklama:
Bir sayının pozitif çarpanlarını (yani bölenlerini) bulmak için hangi iki sayının çarpımının o sayıyı verdiğini düşünelim. Haydi 50 için bu sayı çiftlerini bulalım:
- 1 x 50 = 50
- 2 x 25 = 50
- 5 x 10 = 50
Şimdi bu çarpanları küçükten büyüğe doğru sıralayalım: 1, 2, 5, 10, 25, 50.
Saydığımızda tam olarak 6 tane pozitif çarpanı olduğunu görüyoruz. Bu yüzden bu ifade Doğru‘dur.
(…) b. 280 sayısının en büyük asal çarpanı 7’dir.
(D)
Açıklama:
Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için “asal çarpan algoritması”nı (bazen bölen listesi de deriz) kullanırız. 280 sayısını en küçük asal sayı olan 2’den başlayarak bölmeye başlayalım:
280 | 2
140 | 2
70 | 2
35 | 5
7 | 7
1Algoritmanın sağ tarafında kalan sayılar, 280’in asal çarpanlarıdır. Bunlar: 2, 5 ve 7‘dir. Bu asal çarpanların içinde en büyüğü ise 7‘dir. Dolayısıyla bu ifade de Doğru‘dur.
(…) c. Asal çarpanları 2 ve 7 olan iki basamaklı en büyük sayı 98’dir.
(D)
Açıklama:
Aradığımız sayının içinde sadece 2 ve 7 asal çarpanları olmalı. Bu sayı, 2 ve 7’nin kuvvetlerinin çarpımı şeklinde yazılabilmeli (yani 2a ⋅ 7b şeklinde). Şimdi iki basamaklı en büyük sayıyı bulana kadar farklı kuvvetleri deneyelim:
- 2¹ ⋅ 7¹ = 14
- 2² ⋅ 7¹ = 4 ⋅ 7 = 28
- 2³ ⋅ 7¹ = 8 ⋅ 7 = 56
- 2⁴ ⋅ 7¹ = 16 ⋅ 7 = 112 (Bu üç basamaklı oldu, o yüzden bunu alamayız.)
- Şimdi 7’nin kuvvetini artıralım: 2¹ ⋅ 7² = 2 ⋅ 49 = 98
Bulduğumuz iki basamaklı sayılar 14, 28, 56 ve 98. Bunların içinde en büyüğü 98‘dir. O halde bu ifade Doğru‘dur.
(…) ç. 20 ile 30’un EBOB’u 5’tir.
(Y)
Açıklama:
EBOB, “En Büyük Ortak Bölen” demektir. 20 ve 30’un EBOB’unu bulmak için yine asal çarpan algoritmasını kullanabiliriz. İki sayıyı da aynı anda bölen asal sayıları işaretleyelim.
20 30 | 2*(İkisini de böldü)
10 15 | 2
5 15 | 3
5 5 | 5*(İkisini de böldü)
1 1İşaretlediğimiz sayıları çarptığımızda EBOB’u buluruz: EBOB(20, 30) = 2 ⋅ 5 = 10.
Soruda EBOB’un 5 olduğu söylenmiş, ama biz 10 bulduk. Bu yüzden bu ifade Yanlış‘tır.
(…) d. Aralarında asal iki sayının EBOB’u, bu sayıların çarpımıdır.
(Y)
Açıklama:
Bu ifadeye dikkat edelim! “Aralarında asal” demek, 1’den başka ortak böleni olmayan sayılar demektir. EBOB da en büyük ortak bölen olduğuna göre, aralarında asal iki sayının EBOB’u her zaman 1‘dir.
Sayıların çarpımına eşit olan şey EBOB’ları değil, EKOK‘larıdır. Örneğin 8 ve 9 aralarında asaldır. EBOB(8, 9) = 1’dir. Ama EKOK(8, 9) = 72’dir (yani 8×9). Bu ifade EBOB dediği için Yanlış‘tır.
(…) e. Belli aralıklarla çalan saatlerin birlikte çaldıktan kaç saat sonra ilk kez birlikte çalacağı zamanı bulmak için EKOK kullanılır.
(D)
Açıklama:
Bu tam bir kural ifadesi. Unutma, sorularda “birlikte”, “aynı anda”, “tekrar ne zaman buluşurlar” gibi ifadeler varsa, bu genellikle bir EKOK (En Küçük Ortak Kat) problemidir. Çünkü sayıların ortak katlarını, yani gelecekte buluşacakları bir noktayı ararız. Bu yüzden bu ifade Doğru‘dur.
(…) f. Sıfır hariç bir tam sayının sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir.
(D)
Açıklama:
Bu, üslü sayıların en temel kurallarından biridir. Hangi sayıyı alırsan al (yeter ki 0 olmasın), 0. kuvveti her zaman 1’dir. Örneğin 5⁰ = 1, (-12)⁰ = 1 gibi. Bu ifade Doğru‘dur.
(…) g. a bir pozitif tam sayı olmak üzere a⁴ ⋅ a² = a⁸dir.
(Y)
Açıklama:
Üslü sayılarda çarpma işleminin kuralını hatırlayalım: Tabanlar aynı ise üsler toplanır. Burada tabanlar aynı (‘a’). O zaman üsleri toplamalıyız.
a⁴ ⋅ a² = a4+2 = a⁶
Sonuç a⁶ olmalıydı ama soruda a⁸ yazıyor. Bu yüzden bu ifade Yanlış‘tır. Üsleri çarpmış, bu hataya düşmeyelim!
(…) ğ. x bir tam sayı olmak üzere (x³)⁷ = x¹⁰dur.
(Y)
Açıklama:
Bu da başka bir temel kural: “Üssün üssü”. Bir üslü sayının tekrar üssü alındığında üsler çarpılır.
(x³)⁷ = x3⋅7 = x²¹
Sonuç x²¹ olmalıydı ama soruda x¹⁰ yazıyor. Burada da üsleri toplamış, bu da yanlış. Dolayısıyla ifade Yanlış‘tır.
B. Aşağıdaki noktalı yerlere uygun ifadeleri yazınız.
a. 1’den başka ortak doğal sayı çarpanı olmayan doğal sayılara aralarında asal sayılar denir.
Açıklama: Bu, aralarında asallığın tanımıdır. Örneğin 9 ve 10’un 1’den başka ortak böleni yoktur, bu yüzden aralarında asaldırlar.
b. x bir gerçek sayı, 1 ≤ |x| < 10 ve a bir tam sayı olmak üzere x ⋅ 10ᵃ şeklindeki gösterime bilimsel gösterim denir.
Açıklama: Çok büyük veya çok küçük sayıları daha kolay yazmak için kullandığımız bu yöntemin adı bilimsel gösterimdir. Örneğin Dünya’nın kütlesi gibi devasa sayıları bu şekilde ifade ederiz.
c. Çözümlenmiş hâli (1 ⋅ 10¹) + (2 ⋅ 10⁻¹) + (5 ⋅ 10⁻²) olan ondalık gösterim 10,25’tir.
Açıklama: Bir sayıyı çözümlerken her basamağı, bulunduğu basamağın değeriyle (yani 10’un kuvvetleriyle) çarparız.
- 1, onlar basamağında olduğu için: 1 ⋅ 10¹
- 0, birler basamağında olduğu için: 0 ⋅ 10⁰ (yazmasak da olur)
- 2, onda birler basamağında olduğu için: 2 ⋅ 10⁻¹
- 5, yüzde birler basamağında olduğu için: 5 ⋅ 10⁻²
Bu ifadeleri topladığımızda sayının çözümlenmiş halini buluruz.
ç. Aralarında asal sayıların EKOK’u bu sayıların çarpımına eşittir.
Açıklama: Yukarıdaki doğru-yanlış sorusunda da konuşmuştuk. Aralarında asal iki sayının en küçük ortak katı (EKOK), bu iki sayının çarpılmasıyla bulunur. Örneğin EKOK(7, 8) = 7 x 8 = 56’dır.
d. 40² sayısı 10² sayısının 16 katıdır.
Açıklama: Bir sayının diğerinin kaç katı olduğunu bulmak için bölme yaparız. Yani 40² sayısını 10² sayısına bölmeliyiz.
Adım 1: Üslü sayıların bölme kuralını hatırlayalım. Üsler aynıysa tabanlar bölünür: (aⁿ / bⁿ) = (a/b)ⁿ
Adım 2: Bu kuralı sorumuza uygulayalım: 40² / 10² = (40/10)²
Adım 3: Parantez içindeki bölmeyi yapalım: (4)²
Adım 4: Sonucu hesaplayalım: 4² = 4 x 4 = 16. Demek ki 16 katıymış.
e. Bir tam sayının birinci kuvveti k kendisine eşittir.
Açıklama: Bu da temel bir kuraldır. Bir sayının üssü 1 ise, sonuç sayının kendisidir. Mesela 15¹ = 15, (-9)¹ = -9 gibi.
Umarım tüm açıklamalar anlaşılır olmuştur. Gördüğün gibi, kuralları ve tanımları iyi bildiğimizde sorular ne kadar da kolaylaşıyor! Takıldığın bir yer olursa hiç çekinme, tekrar sorabilirsin. Başarılar dilerim