Merhaba sevgili öğrencim. Ben senin Matematik öğretmenin. Seninle bu sayfadaki geometri sorularını birlikte inceleyip, adım adım çözeceğiz. Hazırsan başlayalım!
9. Soru: Yandaki ikizkenar üçgen dik prizmanın bazı ayrıtlarının uzunlukları ve tabanının yüksekliği verilmiştir. Buna göre prizmanın alanı kaç metrekaredir? (Not: Soruda “metrekare” denilmiş ancak şıklar ve veriler incelendiğinde “santimetrekare” sorulduğu anlaşılmaktadır, biz işlemi cm² üzerinden yapacağız.)
Bu soruda bizden prizmanın yüzey alanını bulmamız isteniyor. Bir prizmanın yüzey alanı, onu oluşturan tüm yüzlerin alanlarının toplamıdır.
Adım 1: Üçgen Tabanların Alanını Bulalım
Prizmanın önünde ve arkasında iki adet üçgen var.
- Üçgenin tabanı = 12 cm
- Üçgenin yüksekliği = 8 cm
- Üçgenin Alanı = (Taban x Yükseklik) / 2
- Alan = (12 x 8) / 2 = 96 / 2 = 48 cm²
İki tane üçgen olduğu için: 48 x 2 = 96 cm² (Tabanların toplam alanı)
Adım 2: Yan Yüzeylerin Kenar Uzunluğunu Bulalım
Prizmanın çatısını oluşturan dikdörtgenlerin kenarını bulmamız lazım. Üçgenimiz ikizkenar olduğu için, yükseklik tabanı iki eş parçaya böler.
- Tabanın yarısı = 12 / 2 = 6 cm
- Yükseklik = 8 cm
Burada karşımıza 6 – 8 – 10 özel dik üçgeni çıkar (Pisagor bağıntısından). Yani üçgenin yan kenarı (hipotenüs) 10 cm‘dir.
Adım 3: Dikdörtgen Yüzeylerin Alanlarını Bulalım
Prizmada 3 tane dikdörtgen yüzey vardır:
- Alt Taban Dikdörtgeni: Kenarları 12 cm ve 25 cm’dir.
Alanı = 12 x 25 = 300 cm² - Sağ Yan Yüzey: Kenarları 10 cm ve 25 cm’dir.
Alanı = 10 x 25 = 250 cm² - Sol Yan Yüzey: İkizkenar olduğu için bu da aynıdır.
Alanı = 10 x 25 = 250 cm²
Adım 4: Toplam Alanı Bulalım
Şimdi bulduğumuz tüm alanları toplayalım:
300 (Alt taban)
250 (Sağ yüz)
250 (Sol yüz)
+ 96 (İki üçgen)
896 cm²
Doğru cevap C seçeneğidir.
10. Soru: Şekildeki O noktası, verilen dik dairesel koninin taban merkezidir. Şekil üzerindeki verilere göre bu koninin açınımı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Bir koniyi açtığımızda iki temel parça elde ederiz: Bir daire (taban) ve bir daire dilimi (yan yüz).
Adım 1: Ana Doğruyu (Yanal Uzunluğu) Kontrol Edelim
Koninin kapalı halindeki yan uzunluğu (ana doğru), açıldığında oluşan daire diliminin yarıçapı olur.
- Şekildeki yan uzunluk = 7 cm
- Bu durumda açınımda, büyük dilimin kenar uzunluğu 7 cm olmalıdır.
- A ve B şıklarında bu uzunluk 4 cm olarak verilmiş. Bu yüzden A ve B şıklarını eliyoruz.
Adım 2: Yay Uzunluğunu Hesaplayalım
Açınımdaki daire diliminin altındaki yay uzunluğu, koninin tabanındaki küçük dairenin çevresine eşit olmak zorundadır. Çünkü kapandığında bu yay, tabanı sarar.
- Taban yarıçapı (r) = 4 cm
- Çevre Formülü = 2 x π x r
- Çevre = 2 x π x 4
- Çevre = 8π
Adım 3: Doğru Şıkkı Bulalım
Elimizde C ve D şıkları kalmıştı.
- C şıkkında yay uzunluğu 16π verilmiş. (Yanlış)
- D şıkkında yay uzunluğu 8π verilmiş. (Doğru)
Hem yan uzunluğu 7 cm olan hem de yay uzunluğu 8π olan seçenek D şıkkıdır.
Doğru cevap D seçeneğidir.
11. Soru: Aşağıdakilerden hangisi yapıldığında, taban yarıçapının uzunluğu 2 cm, yüksekliği 10 cm olan bir dik dairesel silindir şeklindeki kutunun hacmi yarıya iner?
Önce silindirin mevcut hacmini hesaplayalım, sonra hacmin yarısının kaç olması gerektiğini bulalım.
Adım 1: Mevcut Hacmi Hesapla
Silindir Hacim Formülü: V = π x r² x h
- Yarıçap (r) = 2 cm
- Yükseklik (h) = 10 cm
- Hacim = π x 2² x 10
- Hacim = π x 4 x 10 = 40π cm³
Adım 2: Hedef Hacmi Belirle
Hacmin yarıya inmesi isteniyor.
- Hedef Hacim = 40π / 2 = 20π cm³ olmalı.
Adım 3: Şıkları Tek Tek Deneyelim
- A) Yüksekliği 4 cm azaltıldığında:
Yeni yükseklik = 10 – 4 = 6 cm olur.
Yeni Hacim = π x 2² x 6 = π x 4 x 6 = 24π (20π olmadı, yanlış). - B) Taban yarıçapının uzunluğu yarıya indirildiğinde:
Yeni yarıçap = 2 / 2 = 1 cm olur.
Yeni Hacim = π x 1² x 10 = π x 1 x 10 = 10π (20π olmadı, hacim çeyreğine indi, yanlış). - C) Taban yarıçapının uzunluğu 2 cm artırıldığında:
Yarıçap artarsa hacim büyür, azalmaz. (Yanlış). - D) Yüksekliği 5 cm azaltıldığında:
Yeni yükseklik = 10 – 5 = 5 cm olur.
Yeni Hacim = π x 2² x 5 = π x 4 x 5 = 20π
Evet! Hacim tam olarak yarıya (40π’den 20π’ye) indi.
Doğru cevap D seçeneğidir.