Sevgili öğrencim, merhaba! Seninle bu geometri sorularını adım adım, sanki yan yanaymışız gibi inceleyelim. Bu soruların hepsi Pisagor Bağıntısı ve Özel Dik Üçgenler ile ilgili. Hazırsan başlayalım!
5. Soru: Yanda verilen şekilde m(ABC) = m(ADC) = 90° dir. |AB| = 8 cm, |BC| = 6 cm ve |CD| = 4 cm olduğuna göre |AD| kaç santimetredir?
Bu soruyu çözerken iki farklı dik üçgeni kullanacağız. Hedefimiz x ile gösterilen |AD| kenarını bulmak.
- Adım 1: Önce alttaki ABC üçgenine odaklanalım. Bu bir dik üçgen. Dik kenarları 6 cm ve 8 cm. Hipotenüsü (90 derecenin karşısındaki kenar) yani |AC| kenarını bulmalıyız.
Burada Pisagor bağıntısını uygulayabiliriz ya da özel üçgenleri hatırlayabiliriz (3-4-5 üçgeninin 2 katı olan 6-8-10 üçgeni).
İşlemle yapalım:
|AC|² = 6² + 8²
|AC|² = 36 + 64
|AC|² = 100
Buradan |AC| = 10 cm çıkar. - Adım 2: Şimdi üstteki ADC üçgenine bakalım. Bu da bir dik üçgen.
Hipotenüsü az önce bulduğumuz |AC| kenarıdır, yani 10 cm.
Bir dik kenarı |CD| = 4 cm.
Diğer dik kenarı yani sorulan |AD| = x.
Pisagor bağıntısını kuralım:
x² + 4² = 10²
x² + 16 = 100
x² = 100 – 16
x² = 84 - Adım 3: x’i bulmak için 84’ü kök dışına çıkarmalıyız.
x = √84
84 sayısı 4 ile 21’in çarpımıdır. 4 dışarıya 2 olarak çıkar.
x = 2√21
Sonuç: |AD| uzunluğu 2√21 santimetredir.
6. Soru: Yandaki dik üçgen şeklindeki yelkende, yelkenin yapımında kullanılan kumaşın kaç metrekare olduğunu hesaplayınız.
Yelkenin alanını bulmak için taban uzunluğuna ve yüksekliğe ihtiyacımız var. Yükseklik verilmiş (24 m) ama taban verilmemiş. Önce tabanı bulmalıyız.
- Adım 1: Dik üçgenin tabanına “a” diyelim.
Yükseklik = 24 m
Hipotenüs (en uzun kenar) = 26 m
Pisagor bağıntısı: a² + 24² = 26²
Burada özel bir üçgeni hatırlayabilirsin. 5-12-13 üçgeninin 2 katı olan 10-24-26 üçgeni vardır.
Bu yüzden taban uzunluğu a = 10 metre olur. - Adım 2: Şimdi üçgenin alanını hesaplayalım.
Alan Formülü: (Taban x Yükseklik) / 2
Alan = (10 x 24) / 2
Alan = 240 / 2
Alan = 120
Sonuç: Yelken için kullanılan kumaş 120 metrekaredir.
7. Soru: Şekildeki KLM, KMN ve PKN ikizkenar dik üçgenlerdir. |KL| = 3 cm olduğuna göre PN kenarının uzunluğu kaç santimetredir?
Bu soru bir zincirleme işlem sorusu. İkizkenar dik üçgenlerde çok önemli bir kural vardır: Hipotenüs, dik kenarın √2 katıdır.
- Adım 1:KLM üçgeni ile başlayalım.
Bu bir ikizkenar dik üçgen ve |KL| = 3 cm ise, diğer dik kenar |LM| de 3 cm’dir.
Hipotenüs (|KM|) ise 3’ün √2 katı olur.
|KM| = 3√2 cm - Adım 2: Şimdi KMN üçgenine geçelim.
Bu üçgenin bir dik kenarı olan |KM|’yi az önce 3√2 bulduk. İkizkenar olduğu için diğer dik kenar |MN| de 3√2’dir.
Hipotenüs (|KN|) ise dik kenarın √2 katı olacaktır.
|KN| = (3√2) x √2
|KN| = 3 x 2
|KN| = 6 cm - Adım 3: Son olarak PKN üçgenine bakalım.
Bu üçgenin bir dik kenarı olan |KN|’yi 6 bulduk. İkizkenar olduğu için |PK| da 6’dır.
Bizden istenen hipotenüs yani |PN| kenarıdır.
Kuralımız yine aynı: Dik kenarın √2 katı.
|PN| = 6 x √2
Sonuç: PN kenarının uzunluğu 6√2 santimetredir.
8. Soru: Yandaki şekilde B, D ve C noktaları doğrusaldır. |AB| = 4 cm, |AD| = 5 cm ve |AD| = |DC| olduğuna göre AC kenarının uzunluğunun kaç santimetre olduğunu bulunuz.
Bu soruda önce küçük üçgeni çözüp, oradan büyük üçgene geçiş yapacağız.
- Adım 1: Soldaki küçük ABD dik üçgenine bakalım.
Hipotenüs (|AD|) = 5 cm
Dik kenar (|AB|) = 4 cm
Diğer dik kenarı (|BD|) bulmalıyız.
Bu meşhur 3-4-5 özel üçgenidir.
Bu yüzden |BD| = 3 cm olur. - Adım 2: Soruda bize |AD| = |DC| bilgisi verilmiş.
|AD| 5 cm olduğuna göre, |DC| de 5 cm olur. - Adım 3: Şimdi büyük üçgen olan ABC üçgeninin tabanını bulalım.
Taban |BC| = |BD| + |DC|
|BC| = 3 + 5
|BC| = 8 cm - Adım 4: Artık büyük ABC dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulayarak |AC|’yi bulabiliriz.
Dik kenarlar: 4 cm ve 8 cm.
|AC|² = 4² + 8²
|AC|² = 16 + 64
|AC|² = 80 - Adım 5: 80 sayısını kök dışına çıkaralım.
|AC| = √80
80 sayısı 16 x 5 demektir. 16 dışarıya 4 olarak çıkar.
|AC| = 4√5
Sonuç: AC kenarının uzunluğu 4√5 santimetredir.