Merhaba sevgili öğrencim, gönderdiğin görseldeki soruları bir 8. sınıf matematik öğretmeni olarak senin için adım adım, anlaşılır bir dille çözeceğim. Hadi gel birlikte bu sorulara bakalım!
3. Aşağıdaki alanları ile birlikte verilen karelerden hangisinin bir kenar uzunluğu santimetre cinsinden bir irrasyonel sayıdır?
Bu soruyu çözebilmek için önce bir karenin alanı ile kenar uzunluğu arasındaki ilişkiyi hatırlamamız gerekiyor. Bir karenin alanı, bir kenar uzunluğunun kendisiyle çarpımına, yani karesine eşittir. (Alan = a²). Dolayısıyla, alanı verilen bir karenin bir kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü almamız gerekir. (Kenar = √Alan).
Soru bizden, kenar uzunluğu irrasyonel olan kareyi bulmamızı istiyor. İrrasyonel sayı neydi? Kısaca, kök dışına tam olarak çıkamayan sayılardı (örneğin √2, √7 gibi) ya da π (pi) sayısı gibi devirli olmayan ve sonsuza kadar giden ondalık sayılardı. Rasyonel sayılar ise a/b şeklinde (b sıfır olmamak şartıyla) yazılabilen sayılardı. Kök dışına tam çıkan sayılar (√4=2, √9=3 gibi) rasyoneldir.
Şimdi şıkları tek tek inceleyelim:
- A) Alan = 25/4 cm²
Adım 1: Kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü alalım.
Kenar = √(25/4)
Adım 2: 25, 5’in karesidir (√25 = 5). 4 ise 2’nin karesidir (√4 = 2).
Kenar = 5/2.
Sonuç: 5/2 sayısı a/b şeklinde yazılabildiği için rasyonel bir sayıdır. - B) Alan = √12,25 cm²
Dikkat! Bu şıkta alanın kendisi kök içinde verilmiş. Önce bu değeri kökten çıkararak alanı bulalım.
Adım 1: 12,25 sayısını kesir olarak yazalım: 1225/100.
Alan = √(1225/100)
Adım 2: 1225, 35’in karesidir (√1225 = 35). 100 ise 10’un karesidir (√100 = 10).
Alan = 35/10 = 3,5 cm².
Adım 3: Şimdi bu karenin kenar uzunluğunu bulalım: Kenar = √Alan = √3,5.
√3,5 = √(35/10) = √(7/2). 7 ve 2 tam kare sayılar olmadığı için kök dışına çıkamazlar. Bu yüzden √3,5 irrasyonel bir sayıdır. - C) Alan = √1,6 cm²
Adım 1: B şıkkındaki gibi önce alanı bulalım. 1,6’yı kesir olarak yazalım: 16/10.
Alan = √(16/10)
Adım 2: 16 kök dışına 4 olarak çıkar ama 10 kök dışına tam çıkamaz.
Alan = 4/√10 cm².
Adım 3: Şimdi kenar uzunluğunu bulalım: Kenar = √Alan = √(4/√10). Bu sayı da kök dışına tam çıkamadığı için irrasyoneldir. - D) Alan = 4 cm²
Adım 1: Kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü alalım.
Kenar = √4
Adım 2: 4, 2’nin karesi olduğu için kök dışına 2 olarak çıkar.
Kenar = 2.
Sonuç: 2 sayısı (2/1 olarak yazılabilir) rasyonel bir sayıdır.
Önemli Not: Sorunun yazımında B ve C şıklarındaki kök işaretleri kafa karıştırıcı olabilir. Genellikle bu tür sorularda karelerin içindeki değerler doğrudan alanı ifade eder. Eğer soruyu “Alanı 1,6 cm² olan kare” olarak düşünürsek:
Kenar = √1,6 = √(16/10) = 4/√10. Bu sayı √10 kök dışına tam çıkamadığı için irrasyoneldir.
Eğer soruyu “Alanı 12,25 cm² olan kare” olarak düşünürsek:
Kenar = √12,25 = √(1225/100) = 35/10 = 3,5. Bu sayı rasyoneldir.
Bu ikinci yoruma göre doğru cevap C şıkkı olmalıdır. Test tekniği açısından en mantıklı yorum budur.
Sonuç: C şıkkındaki karenin kenar uzunluğu irrasyonel bir sayıdır.
4. Aşağıda verilen şemada noktalı yerlere gelmesi gereken kavramları yazınız.
Bu şema, öğrendiğimiz sayı kümelerini ve aralarındaki ilişkiyi gösteriyor. Boşlukları tanımlara göre dolduralım.
- En üstteki kutu: “Rasyonel ve irrasyonel sayıların tamamına denir.”
Bildiğimiz tüm sayıları (kesirler, tam sayılar, köklü sayılar vb.) içine alan en geniş kümeye GERÇEK (REEL) SAYILAR denir. - Sol taraftaki ilk kutu: “Paydası 0’dan farklı olmak üzere iki tam sayının oranı olarak ifade edilebilen sayılardır.”
Bu, a/b şeklindeki sayıların tanımıdır. Bu sayı kümesine RASYONEL SAYILAR diyoruz. - Sağ taraftaki kutu: “İki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan sayılardır.”
Bu da rasyonel olmayan sayıların tanımıdır. Yani kök dışına tam çıkamayan veya virgülden sonrası düzensiz olarak sonsuza giden sayılardır. Bu kümeye İRRASYONEL SAYILAR denir. - Soldaki ikinci kutu: “Paydası 1 olan rasyonel sayılardır.”
Paydası 1 olan sayılar 5/1=5, -3/1=-3, 0/1=0 gibi sayılardır. Bu sayılar kümesi TAM SAYILAR‘dır. - Soldaki son kutu: “0 ve 0’dan büyük tam sayılardır.”
{0, 1, 2, 3, …} şeklinde sonsuza kadar giden bu sayılar kümesine DOĞAL SAYILAR denir.
5. Herhangi bir çemberin uzunluğunun rasyonel sayı olup olmadığını nedeniyle açıklayınız.
Harika bir düşünme sorusu! Hadi adım adım gidelim.
Adım 1: Öncelikle bir çemberin uzunluğunu (yani çevresini) nasıl hesapladığımızı hatırlayalım. Formülümüz şuydu:
Çevre = 2 x π x r (Burada ‘r’ yarıçapı, ‘π’ ise pi sayısını temsil eder.)
Adım 2: Bu formüldeki en kilit eleman π (pi) sayısıdır. Pi sayısının nasıl bir sayı olduğunu düşünelim. Biz hesaplamalarda kolaylık olsun diye π’yi bazen 3, bazen 3,14 veya 22/7 olarak alırız. Ancak bunlar sadece birer yaklaşık değerdir.
Adım 3: Pi sayısının gerçek değeri, 3,14159265… şeklinde virgülden sonraki basamakları herhangi bir tekrar olmadan sonsuza kadar devam eden bir sayıdır. Bu özelliği nedeniyle π sayısı, iki tam sayının oranı (a/b) olarak yazılamaz. Yani π sayısı irrasyonel bir sayıdır.
Adım 4: Çevre formülünde, çemberin yarıçapı (r) rasyonel bir sayı olsa bile (mesela 5 cm, 1/2 cm gibi), bu sayıyı irrasyonel olan π sayısı ile çarpmak zorundayız. Matematikte temel bir kural vardır: Sıfır hariç bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı daima irrasyoneldir.
Sonuç: Bir çemberin çevresi hesaplanırken her zaman irrasyonel bir sayı olan π (pi) sayısı kullanıldığı için, çemberin uzunluğu da (yarıçapı veya çapı rasyonel bir sayı olduğu sürece) irrasyonel bir sayı olur.
Umarım açıklamalarım net ve anlaşılır olmuştur. Başarılar dilerim!