Merhaba sevgili öğrencilerim,
Umarım hepiniz iyisinizdir. Bana gönderdiğiniz bu çalışma kağıdındaki soruları şimdi sizin için adım adım, tane tane çözeceğim. Matematik aslında bir bulmaca gibidir, doğru adımları takip ettiğimizde sonuca ulaşmak çok keyiflidir. Haydi birlikte bu bulmacaları çözelim!
3. Soru: Bir çiftçi bir kenarı 5x metre olan kare şeklindeki bahçesinde, her birinin kenar uzunluğu 2y metre olan belli sayıda karesel bölge belirlemiştir. Bahçede karesel bölgeler dışında kalan bölgenin alanı (5x − 8y) ∙ (5x + 8y) metrekare olduğuna göre belirlenen karesel bölge sayısını bulunuz.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için adım adım gidelim. Önce elimizde ne var, ne isteniyor onu anlayalım.
Adım 1: Büyük bahçenin alanını bulalım.
Bahçemiz kare şeklinde ve bir kenarı 5x metre. Karenin alanı bir kenarının kendisiyle çarpımıdır. O zaman;
Büyük Bahçenin Alanı = 5x ∙ 5x = 25x² metrekare.
Adım 2: Karesel bölgeler dışında kalan alan neymiş, ona bakalım.
Soruda bu alanın (5x − 8y) ∙ (5x + 8y) olduğu söylenmiş. Bu ifade size de tanıdık geldi mi? Evet, bu tam olarak iki kare farkı özdeşliği! Yani (a – b)(a + b) = a² – b² formülü.
Kalan Alan = (5x)² − (8y)² = 25x² − 64y² metrekare.
Adım 3: Peki, ekilen karesel bölgelerin toplam alanı ne kadar?
Bunu bulmak çok kolay. Büyük bahçenin toplam alanından, ekilmeyen “kalan alanı” çıkarırsak, ekili olan alanı buluruz.
Ekili Alan = (Toplam Alan) – (Kalan Alan)
Ekili Alan = 25x² – (25x² − 64y²) = 25x² − 25x² + 64y² = 64y² metrekare.
Adım 4: Bir tane küçük karesel bölgenin alanını bulalım.
Bu küçük karelerin bir kenarı 2y metreymiş. Alanı da;
Bir Küçük Karenin Alanı = 2y ∙ 2y = 4y² metrekare.
Adım 5: Kaç tane karesel bölge olduğunu bulalım.
Artık son adıma geldik. Ekili bölgelerin toplam alanını, bir tane küçük karenin alanına bölersek kaç tane kare olduğunu buluruz.
Karesel Bölge Sayısı = (Ekili Alan) / (Bir Küçük Karenin Alanı)
Karesel Bölge Sayısı = 64y² / 4y² = 16
Sonuç: Belirlenen karesel bölge sayısı 16 tanedir.
4. Soru: Uzun kenarının uzunluğu “p”, kısa kenarının uzunluğu “r” olan, eş dikdörtgensel bölgeler, yanda verilen şekildeki gibi birleştiriliyor. Şekildeki boyalı bölgenin alanını cebirsel olarak ifade ediniz.
Çözüm:
Şekle dikkatlice baktığımızda, ortadaki boyalı bölgenin bir kare olduğunu görüyoruz. Alanını bulmak için bir kenar uzunluğunu bilmemiz yeterli.
Adım 1: Boyalı karenin bir kenarını bulalım.
Şeklin en dışındaki büyük karenin bir kenarına bakalım. Bu kenar, bir uzun kenar (p) ve bir kısa kenarın (r) toplamından oluşuyor. Yani büyük karenin bir kenarı p + r‘dir.
Şimdi boyalı karenin bir kenarına odaklanalım. Dikkat ederseniz, uzun kenardan (p) kısa kenar (r) kadar bir parça çıkarılmış. Yani boyalı karenin bir kenarı p − r olur.
Adım 2: Boyalı karenin alanını hesaplayalım.
Bir kenarı (p − r) olan bir karenin alanı, bu kenarın karesi alınarak bulunur.
Alan = (p − r)²
Bu ifade bir tam kare özdeşliğidir. Açılımını yapalım:
Alan = Birincinin karesi (p²) – Birinci ile ikincinin çarpımının iki katı (2pr) + İkincinin karesi (r²)
Sonuç: Boyalı bölgenin alanı p² − 2pr + r² olarak ifade edilir.
5. Soru: Aşağıdaki ifadelerin özdeşlerini bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda tam kare ve iki kare farkı özdeşliklerini kullanacağız. Unutmayalım:
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a – b)² = a² – 2ab + b²
- a² – b² = (a – b)(a + b)
a. (7 − a)² = 7² − 2∙7∙a + a² = 49 − 14a + a²
b. (b + 4)² = b² + 2∙b∙4 + 4² = b² + 8b + 16
c. 25x² − 9y² = (5x)² − (3y)² = (5x − 3y)(5x + 3y)
ç. (2x + y)² = (2x)² + 2∙2x∙y + y² = 4x² + 4xy + y²
d. 49x² − y² = (7x)² − y² = (7x − y)(7x + y)
e. (3c − 2d)² = (3c)² − 2∙3c∙2d + (2d)² = 9c² − 12cd + 4d²
f. (2a − 3b)² = (2a)² − 2∙2a∙3b + (3b)² = 4a² − 12ab + 9b²
g. m² − 64n² = m² − (8n)² = (m − 8n)(m + 8n)
ğ. (2x + 7)² = (2x)² + 2∙2x∙7 + 7² = 4x² + 28x + 49
h. (13 − 3y)² = 13² − 2∙13∙3y + (3y)² = 169 − 78y + 9y²
6. Soru: Aşağıdaki ifadelerden özdeş olanları eşleştiriniz.
Çözüm:
Şimdi soldaki ifadelerin sağdaki hangi ifadelere eşit olduğunu bularak eşleştirelim.
- (x − 3)(x + 3) ➔ Bu bir iki kare farkı özdeşliğidir. x² − 3² olur. Yani x² − 9 ile eşleşir.
- (2x − 3)² ➔ Bu bir tam kare özdeşliğidir. (2x)² − 2∙2x∙3 + 3² = 4x² − 12x + 9 olur. Yani 4x² − 12x + 9 ile eşleşir.
- x² + 6x + 8 ➔ Bu ifadeyi çarpanlarına ayırmamız lazım. Çarpımları 8, toplamları 6 olan iki sayı bulmalıyız. Bunlar 4 ve 2’dir. O zaman bu ifade (x + 2)(x + 4) olur. Yani (x + 2)(x + 4) ile eşleşir.
- 4x² − 9 ➔ Bu da bir iki kare farkı özdeşliğidir. (2x)² − 3² = (2x – 3)(2x + 3) olur. Yani (2x − 3)(2x + 3) ile eşleşir.
7. Soru: a² − ▲ = (a − 13) ∙ (a + 13) eşitliği veriliyor. ▲ yerine yazılması gereken sayıyı bulunuz.
Çözüm:
Bu soru yine en sevdiğimiz özdeşliklerden biri olan iki kare farkı ile ilgili.
Adım 1: Eşitliğin sağ tarafını düzenleyelim.
Eşitliğin sağ tarafında (a − 13)(a + 13) ifadesi var. Bu, iki kare farkı özdeşliğinin açılımıdır ve a² − 13²‘ye eşittir.
Adım 2: 13’ün karesini alalım.
13² = 13 ∙ 13 = 169.
Adım 3: Eşitliği yeniden yazalım ve karşılaştıralım.
a² − ▲ = a² − 169
Gördüğünüz gibi, eşitliğin sağlanması için üçgen (▲) sembolünün yerine 169 gelmesi gerekiyor.
Sonuç: ▲ = 169‘dur.
8. Soru: a² + b² = 97 ve ab = 36 olduğuna göre a + b nin alabileceği değerleri bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda bize verilenleri kullanarak (a + b)² özdeşliğinden faydalanacağız.
Adım 1: (a + b)² özdeşliğini yazalım.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Bu ifadeyi şöyle de yazabiliriz: (a + b)² = (a² + b²) + 2ab
Adım 2: Soruda verilen değerleri formülde yerine koyalım.
Bize a² + b² = 97 ve ab = 36 olarak verilmiş.
(a + b)² = 97 + 2 ∙ (36)
(a + b)² = 97 + 72
(a + b)² = 169
Adım 3: a + b’nin değerini bulalım.
Hangi sayının karesi 169’dur diye düşünmeliyiz. Aklımıza ilk olarak 13 geliyor. Ama dikkat! Sadece 13 değil, -13’ün karesi de 169’dur. Çünkü (-13) ∙ (-13) = 169.
Bu yüzden a + b, 13 de olabilir, -13 de olabilir.
Sonuç: a + b’nin alabileceği değerler 13 ve -13‘tür.
9. Soru: (a − b)² = 64 ve a² + b² = 70 olduğuna göre a ∙ b nin değerini bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda da bir önceki sorudakine benzer şekilde, bu sefer (a − b)² özdeşliğini kullanacağız.
Adım 1: (a − b)² özdeşliğini yazalım.
(a − b)² = a² − 2ab + b²
İfadeyi daha rahat kullanmak için şöyle düzenleyelim: (a − b)² = (a² + b²) − 2ab
Adım 2: Verilen değerleri yerine yazalım.
Bize (a − b)² = 64 ve a² + b² = 70 olarak verilmiş.
64 = 70 − 2ab
Adım 3: Denklemi çözerek ab’yi bulalım.
Şimdi elimizde basit bir denklem var. Bilinmeyenimiz “ab”.
−2ab’yi eşitliğin soluna, 64’ü de sağına atalım (işaretleri değişir).
2ab = 70 − 64
2ab = 6
Her iki tarafı da 2’ye bölelim.
ab = 3
Sonuç: a ∙ b’nin değeri 3‘tür.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, bu özdeşlikler çok önemli ve bol bol pratik yaparak aklınızda kalıcı hale getirebilirsiniz. Başarılar dilerim