Merhaba sevgili öğrencim! Seninle bu güzel geometri sorularını birlikte inceleyelim. Sorular, şekillerin birbirine benzerliği üzerine kurgulanmış. Adım adım, sanki sınıfta tahtada çözüyormuşuz gibi ilerleyelim.
14. Soru: Ali, birinci şekle benzer olacak şekilde ikinci şekli çiziyor. İkinci şekilde kareyi çizdiğinde hangi nokta karenin içerisinde yer alır?
A) K
B) L
C) M
D) N
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için öncelikle iki üçgen arasındaki “benzerlik oranını” bulmamız gerekiyor. Yani ikinci üçgen, birinci üçgenin kaç katı büyüklüğünde? Bunu bulduktan sonra aynı oranı içindeki kareye uygulayacağız.
Adım 1: Üçgenlerin boyutlarını karşılaştıralım.
- 1. Şekil (Küçük Üçgen): Kareli zemindeki birimleri sayalım. Üçgenin tabanı 8 birim, yüksekliği ise 4 birimdir.
- 2. Şekil (Büyük Üçgen): Kareli zemini saydığımızda, tabanın 12 birim, yüksekliğin ise 6 birim olduğunu görüyoruz.
Adım 2: Benzerlik oranını hesaplayalım.
- Tabanları oranlayalım: 12 / 8 = 1,5
- Yükseklikleri oranlayalım: 6 / 4 = 1,5
- Gördüğün gibi, ikinci şekil birinci şeklin tam 1,5 katı (bir buçuk katı) büyüklüğündedir.
Adım 3: Yeni karenin boyutlarını bulalım.
- Birinci şekildeki karenin bir kenarı 2 birimdir.
- Benzerlik kuralına göre, ikinci şekildeki karenin bir kenarı da 1,5 kat artmalıdır.
- Yeni karenin bir kenarı: 2 x 1,5 = 3 birim olmalıdır.
Adım 4: Yeni kareyi ikinci şeklin içine yerleştirelim.
- Kare, üçgenin tabanına tam ortalı bir şekilde yerleşmelidir.
- Yeni karenin genişliği 3 birim ve yüksekliği 3 birim olacak.
- Üçgenin tepe noktasından aşağıya inen hayali bir “simetri çizgisi” (tam orta çizgi) düşünelim. Bu çizgi L noktasının olduğu dikey çizgidir.
- Karenin genişliği 3 birim olduğu için, bu orta çizginin 1,5 birim sağına ve 1,5 birim soluna kadar uzanması gerekir.
- Karenin yüksekliği 3 birim olduğu için, tabandan 3 birim yukarıya kadar çıkması gerekir.
Adım 5: Noktaları kontrol edelim.
- L Noktası: Tam orta çizgidedir ve tabandan 2 birim yukarıdadır. Karenin sınırları (sağ-sol 1,5 birim, yükseklik 3 birim) içinde kalır mı? Evet, kalır.
- K Noktası: Orta çizgiden 2 birim soldadır. Ancak bizim karemiz orta çizgiden en fazla 1,5 birim sola gidebiliyor. Bu yüzden K noktası karenin dışında kalır.
- M Noktası: Orta çizgiden 2 birim sağdadır. Karemiz en fazla 1,5 birim sağa gidebildiği için M noktası da dışarıda kalır.
- N Noktası: Hem sağda (2 birim) hem de yukarıdadır (3 birim). Hem genişlikten hem de yükseklikten dolayı sınırda veya dışarıdadır.
Sonuç olarak, çizilecek 3×3 boyutundaki karenin sınırları içinde kalan tek nokta L noktasıdır.
Cevap: B
15. Soru: Aşağıdakilerin hangisinde iç içe çizilmiş çokgenler benzerdir?
A)
B)
C)
D)
Çözüm:
Sevgili öğrencim, iki şeklin benzer olabilmesi için çok temel iki kuralımız vardır:
1. Karşılıklı açıları eşit olmalı.
2. Karşılıklı kenar uzunlukları arasında sabit bir oran olmalı. Yani şekli büyütüp küçülttüğümüzde şeklin formu bozulmamalı.
Şimdi şıkları tek tek inceleyelim:
A Şıkkı:
- Dıştakinin sol kenarı 4 birim, içtekinin sol kenarı 2 birim. (Oran: 2 kat)
- Dıştakinin alt tabanı 5 birim, içtekinin alt tabanı 3 birim. (Oran: 5/3 kat)
- Oranlar eşit olmadığı için (2, 5/3’e eşit değildir) bu şekiller benzer değildir.
B Şıkkı:
- Dıştakinin dikey sağ kenarı 4 birim, içtekinin 2 birim. (Oran: 2 kat)
- Dıştakinin üst yatay kenarı 3 birim, içtekinin 2 birim. (Oran: 1,5 kat)
- Oranlar yine tutmadı. Biri 2 kat, diğeri 1,5 kat küçülmüş. Benzer değildir.
C Şıkkı:
- Burada iki dikdörtgen var.
- Dıştaki dikdörtgen: 4 birim en, 8 birim boy.
- İçteki dikdörtgen: 2 birim en, 6 birim boy.
- Enlerin oranı: 4 / 2 = 2
- Boyların oranı: 8 / 6 = 1,33…
- Oranlar eşit olmadığı için bu dikdörtgenler de benzer değildir. (Dikkat et, kenarlar arasındaki mesafe eşit olsa bile bu benzerlik anlamına gelmez).
D Şıkkı:
- Burada iç içe iki tane kare görüyoruz.
- Dıştaki kare: 6 x 6 birim.
- İçteki kare: 4 x 4 birim.
- Bütün kareler birbirine benzerdir çünkü bütün açıları 90 derecedir ve kenar oranları her zaman sabittir.
- Yine de kontrol edelim:
- Yatay kenar oranı: 6 / 4 = 1,5
- Dikey kenar oranı: 6 / 4 = 1,5
- Her iki kenar da aynı oranda küçüldüğü için bu iki çokgen kesinlikle benzerdir.
Cevap: D