11. P ve R noktaları KLMN dikdörtgeninin üzerindedir. |RL| = 4 cm, |PL| = 7 cm, |KP| = 4 cm ve m(NPR) = 90° olduğuna göre KLMN dikdörtgeninin çevresinin uzunluğu kaç santimetredir?
A) 18
B) 36
C) 64
D) 77
Çözüm:
Sevgili öğrencim, bu bir geometrik benzerlik sorusudur. Adım adım şekli inceleyerek sonuca ulaşalım.
Adım 1: Açıları Yerleştirelim
Dikdörtgenin köşeleri (K ve L noktaları) 90 derecedir. P noktasındaki açının tamamı bir doğru açı yani 180 derecedir. Ortadaki açı 90 derece olduğuna göre, KPN üçgeni ile LPR üçgeninin açıları birbirini tamamlar.
Şöyle düşünelim:
- KPN üçgenindeki P açısına “a” diyelim.
- LPR üçgenindeki P açısına “b” diyelim.
- a + 90 + b = 180 olduğu için a + b = 90 olur.
- KPN üçgeninde K açısı 90, P açısı “a” ise, N açısı “b” olur.
- LPR üçgeninde L açısı 90, P açısı “b” ise, R açısı “a” olur.
Bu durumda KPN üçgeni ile LPR üçgeni benzer üçgenlerdir (Açı-Açı-Açı Benzerliği).
Adım 2: Benzerlik Oranını Kuralım
Benzer üçgenlerde aynı açıların karşısındaki kenarlar orantılıdır.
- LPR üçgeninde “b” açısının karşısında 4 cm (|RL|) var.
- KPN üçgeninde “b” açısının karşısında 4 cm (|KP|) var.
Gördüğün gibi oran bire bir aynı! Yani bu üçgenler sadece benzer değil, aynı zamanda eş üçgenlerdir.
Adım 3: Bilinmeyen Kenarı Bulalım
Üçgenler eş olduğuna göre;
LPR üçgeninde “a” açısının karşısındaki kenar (|PL|) 7 cm ise,
KPN üçgeninde “a” açısının karşısındaki kenar (|KN|) da 7 cm olmalıdır.
Böylece dikdörtgenin kısa kenarını (|KN|) 7 cm olarak bulduk.
Adım 4: Dikdörtgenin Kenarlarını Belirleyelim
Kısa Kenar = 7 cm
Uzun Kenar (|KL|) = |KP| + |PL| = 4 + 7 = 11 cm
Adım 5: Çevreyi Hesaplayalım
Dikdörtgenin çevresi, iki kısa ve iki uzun kenarın toplamıdır.
11
+ 7
18 (Bir kısa ve bir uzun kenar toplamı)
18
x 2
36 cm
Cevap: B) 36
12. Aşağıdaki kareli alanda verilen şekillerden hangisi diğer üç şekille benzer değildir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Çözüm:
Bu soruda kareli kağıt üzerindeki üçgenlerin kenar uzunluklarını sayarak oranlarına bakacağız. Benzer şekillerde kenar oranları aynı kalmalıdır.
Adım 1: 1 Numaralı Şekli İnceleyelim
Bu bir dik üçgen.
Dik kenarlarından biri 2 birim (dikey), diğeri 3 birim (yatay).
Kenar oranı: 2’ye 3.
Adım 2: 2 Numaralı Şekli İnceleyelim
Bu da bir dik üçgen.
Dik kenarlarından biri 4 birim (dikey), diğeri 6 birim (yatay).
Oran: 4/6. Bunu sadeleştirirsek 2/3 olur.
Yani 1. şekil ile benzerdir (2 kat büyütülmüş hali).
Adım 3: 3 Numaralı Şekli İnceleyelim
Bu da bir dik üçgen.
Dik kenarlarından biri 4 birim (dikey), diğeri 6 birim (yatay).
Oran: 4/6. Sadeleştirirsek 2/3 olur.
Bu da 1. ve 2. şekil ile benzerdir.
Adım 4: 4 Numaralı Şekli İnceleyelim
Bu şekil bir ikizkenar üçgene benziyor ancak benzerlik için dik üçgen parçalarına bakalım.
Tam ortadan ikiye bölersek, yüksekliği 3 birim, tabanının yarısı 4 birim olan iki dik üçgen oluşur.
Buradaki kenar oranı 3’e 4‘tür.
Diğer şekillerde oran 2’ye 3 idi.
Sonuç: 1, 2 ve 3 numaralı üçgenlerde kenar oranları 2/3 iken, 4 numaralı üçgenin yapısı ve oranları diğerlerinden farklıdır.
Cevap: D) 4
13. Yandaki şekilde |AB| = |DE|, |BC| = |CD|, |AC| = (x + 5) cm ve |CE| = (3x – 7) cm’dir. B, C, D ve A, C, E doğrusal olduğuna göre x’in santimetre cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
Çözüm:
Merhaba, bu soruda iki üçgenin eşliğini (birbiriyle tıpatıp aynı olmasını) kullanacağız.
Adım 1: Üçgenlerin Eşliğini Görelim
ABC üçgeni ile EDC üçgenine dikkatlice bakalım:
- Her iki üçgende de birer dik açı var (B ve D köşeleri 90°).
- Soruda bize |BC| = |CD| olduğu verilmiş. (Birer dik kenarları eşit).
- C noktasındaki açılar “ters açılar” olduğu için birbirine eşittir (Makas gibi düşünebilirsin).
Birer kenarları ve o kenara ait açıları eşit olduğu için bu iki üçgen Eş Üçgenlerdir.
Adım 2: Hipotenüsleri Eşitleyelim
Üçgenler eş ise, 90 derecenin karşısındaki en uzun kenarlar (hipotenüsler) de birbirine eşit olmak zorundadır.
Yani; |AC| uzunluğu |CE| uzunluğuna eşittir.
Adım 3: Denklemi Kuralım ve Çözelim
Verilen değerleri yerine yazalım:
x + 5 = 3x – 7
Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayalım. Küçük olan x’i büyük olan 3x’in yanına gönderelim (-x olarak geçer), -7’yi de +5’in yanına gönderelim (+7 olarak geçer).
5 + 7 = 3x – x
12 = 2x
Her iki tarafı 2’ye bölersek:
x = 6
Cevap: C) 6