Harika bir çalışma! Merhaba sevgili öğrencim, 8. sınıf matematik dersimize hoş geldin. Gönderdiğin bu alıştırmaları birlikte, adım adım ve anlayarak çözeceğiz. Unutma, kareköklü sayılar ilk başta biraz karmaşık görünebilir ama mantığını kavradığında çok keyifli bir konudur. Hadi başlayalım!
Soru 1:Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
Bu soruda kareköklü sayılarla çarpma ve bölme kurallarını hatırlayacağız. Çarpma yaparken katsayıları kendi arasında, kök içindeki sayıları da kendi arasında çarparız. Bölmede de kural aynıdır.
a) √5 ⋅ √7 = ?
Adım 1: Her iki sayı da karekök içinde olduğu için, bunları tek bir karekök içinde çarpabiliriz.
Adım 2: √(5 ⋅ 7) = √35
Sonuç: √35
b) √53 ⋅ √53 = ?
Adım 1: Bu özel bir durum. Bir kareköklü ifade kendisiyle çarpıldığında, karekök ortadan kalkar ve içindeki sayı dışarı çıkar. Tıpkı (√a)² = a olduğu gibi.
Adım 2: √53 ⋅ √53 = 53
Sonuç: 53
c) 4√2 ⋅ √11 = ?
Adım 1: Burada bir katsayımız var (4). √11’in gizli katsayısı 1’dir. Kök dışındaki sayıları kendi arasında, kök içindekileri kendi arasında çarpalım.
Adım 2: (4 ⋅ 1) ⋅ √(2 ⋅ 11) = 4√22
Sonuç: 4√22
ç) 2√10 ⋅ 3√13 = ?
Adım 1: Katsayıları (2 ve 3) ve kök içlerini (10 ve 13) ayrı ayrı çarpalım.
Adım 2: (2 ⋅ 3) ⋅ √(10 ⋅ 13) = 6√130
Sonuç: 6√130
d) √400 : √16 = ?
Adım 1: Önce bu sayıların karekökten çıkıp çıkmadığını kontrol edelim. Evet, ikisi de tam kare sayı!
Adım 2: √400 = 20 ve √16 = 4’tür.
Adım 3: İşlemimiz 20 : 4 haline geldi.
Sonuç: 5
e) √100 : √25 = ?
Adım 1: Yine tam kare sayılarla karşı karşıyayız.
Adım 2: √100 = 10 ve √25 = 5’tir.
Adım 3: İşlemimiz 10 : 5 oldu.
Sonuç: 2
f) √500 : √5 = ?
Adım 1: Bu sayıları tek bir karekök içinde bölebiliriz.
Adım 2: √(500 / 5) = √100
Adım 3: √100 tam kare bir sayıdır.
Sonuç: 10
g) (30√7) : (6√7) = ?
Adım 1: Bölme işleminde de kural çarpmadaki gibi: katsayılar kendi arasında, kök içleri kendi arasında bölünür.
Adım 2: (30 : 6) ⋅ (√7 : √7) = 5 ⋅ 1 = 5
Sonuç: 5
Soru 2:Yandaki paralelkenarda [EF] ⊥ [AB] dır. |AB| = √50 cm ve |EF| = 2√2 cm olduğuna göre paralelkenarın alanı kaç santimetrekaredir?
Sevgili öğrencim, bir paralelkenarın alanını bulmak için taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliği çarpmamız gerektiğini hatırlayalım. Soruda bize taban (|AB|) ve bu tabana ait yükseklik (|EF|) verilmiş.
Adım 1: Alan = Taban × Yükseklik = |AB| ⋅ |EF|
Adım 2: Verilen değerleri yerine yazalım: Alan = √50 ⋅ 2√2
Adım 3: Çarpma yapmadan önce √50 sayısını daha sade bir hale getirelim (a√b şeklinde yazalım). 50 sayısı 25 × 2’dir. 25 tam kare olduğu için kök dışına 5 olarak çıkar.
Yani, √50 = √(25 ⋅ 2) = 5√2 olur.
Adım 4: Şimdi işlemi tekrar yazalım: Alan = (5√2) ⋅ (2√2)
Adım 5: Katsayıları kendi arasında (5 ⋅ 2 = 10), kök içlerini kendi arasında (√2 ⋅ √2 = 2) çarpalım.
Adım 6: Alan = 10 ⋅ 2 = 20
Sonuç: Paralelkenarın alanı 20 cm²‘dir.
Soru 3:( (–√3) ⋅ (–√48) ) / √16 işleminin sonucu kaçtır?
Bu soruda işlem önceliğine ve işaretlere dikkat ederek adım adım ilerleyelim.
Adım 1: Önce pay kısmındaki çarpmayı yapalım: (–√3) ⋅ (–√48). Unutma, eksi ile eksinin çarpımı artıdır. Yani sonuç pozitif olacak.
√3 ⋅ √48 = √(3 ⋅ 48) = √144
Adım 2: √144’ün 12 olduğunu biliyoruz. Demek ki pay kısmının sonucu 12’dir.
Adım 3: Şimdi paydaya bakalım: √16. Bu da tam kare bir sayıdır ve değeri 4’tür.
Adım 4: İşlemimiz 12 / 4 haline geldi.
Sonuç: 3
Soru 4:x ⋅ √160 = √10 denklemini sağlayan x değerini bulunuz.
Bu bir denklem sorusu. Amacımız x’i yalnız bırakmak. Bunun için eşitliğin her iki tarafını da √160’a bölmemiz gerekiyor.
Adım 1: x = √10 / √160
Adım 2: Bölme işlemini tek bir kök içinde yapabiliriz.
x = √(10 / 160)
Adım 3: Kesri sadeleştirelim. Pay ve paydadan birer sıfır atabiliriz: 10/160 = 1/16.
x = √(1/16)
Adım 4: Bir kesrin karekökü, payın karekökü bölü paydanın kareköküdür.
x = √1 / √16 = 1 / 4
Sonuç: x = 1/4
Soru 5:Aşağıda verilen kareköklü ifadeleri, örnekteki gibi iki kareköklü ifadenin çarpımı şeklinde yazınız.
Burada bizden istenen, kök içindeki sayıyı iki sayının çarpımı olarak düşünüp bunları ayrı ayrı kökler halinde yazmak. Genellikle sayılardan birini tam kare seçmeye çalışırız ki ifade sadeleşsin.
- b) √45 = ?
45’i 9 × 5 olarak yazabiliriz. 9 tam kare bir sayıdır.
√45 = √9 ⋅ √5
- c) √72 = ?
72’yi 36 × 2 olarak yazabiliriz. 36 tam kare bir sayıdır.
√72 = √36 ⋅ √2
- ç) √95 = ?
95’i çarpanlarına ayıralım: 5 × 19. İkisi de tam kare değil. Bu yüzden sadece bu şekilde yazabiliriz.
√95 = √5 ⋅ √19
- d) √120 = ?
120’yi 4 × 30 olarak yazabiliriz. 4 tam kare bir sayıdır.
√120 = √4 ⋅ √30
- e) √150 = ?
150’yi 25 × 6 olarak yazabiliriz. 25 tam kare bir sayıdır.
√150 = √25 ⋅ √6
Soru 6:Aşağıdaki tablolarda verilen çarpma ve bölme işlemlerini yaparak tabloları tamamlayınız.
Hadi tabloları dolduralım. Satır ve sütunların kesiştiği kutucuklara istenen işlemi yapacağız.
Çarpma Tablosu (Turuncu)
Birinci Satır:
- √2 ⋅ √3 = √6
- √2 ⋅ 3√2 = 3 ⋅ (√2⋅√2) = 3 ⋅ 2 = 6
- √2 ⋅ 4√5 = 4 ⋅ √(2⋅5) = 4√10
İkinci Satır:
- √5 ⋅ √3 = √15
- √5 ⋅ 3√2 = 3 ⋅ √(5⋅2) = 3√10
- √5 ⋅ 4√5 = 4 ⋅ (√5⋅√5) = 4 ⋅ 5 = 20
Üçüncü Satır:
- 2√2 ⋅ √3 = 2√6
- 2√2 ⋅ 3√2 = (2⋅3) ⋅ (√2⋅√2) = 6 ⋅ 2 = 12
- 2√2 ⋅ 4√5 = (2⋅4) ⋅ √(2⋅5) = 8√10
Bölme Tablosu (Yeşil)
Birinci Satır (7√3 bölünen):
- 7√3 / √2 = 7√6 / 2 (Paydayı kökten kurtarmak için √2 ile genişlettik)
- 7√3 / 2√2 = 7√6 / 4 (Yine √2 ile genişlettik)
- 7√3 / 3√2 = 7√6 / 6 (Yine √2 ile genişlettik)
İkinci Satır (5√10 bölünen):
- 5√10 / √2 = 5 ⋅ √(10/2) = 5√5
- 5√10 / 2√2 = (5/2) ⋅ √(10/2) = 5√5 / 2
- 5√10 / 3√2 = (5/3) ⋅ √(10/2) = 5√5 / 3
Üçüncü Satır (√12 bölünen):
- √12 / √2 = √(12/2) = √6
- √12 / 2√2 = (1/2) ⋅ √(12/2) = √6 / 2
- √12 / 3√2 = (1/3) ⋅ √(12/2) = √6 / 3
Soru 7:√(360/20) ⋅ √2 işleminin sonucunu bulunuz.
İşlem önceliğine göre önce parantez içi yapılır. Burada da ilk kökün içindeki bölme işlemini yaparak başlayalım.
Adım 1: 360 / 20 işlemini yapalım. Sıfırları sadeleştirirsek 36 / 2 = 18 olur.
Adım 2: Sorumuz şimdi şu hale geldi: √18 ⋅ √2
Adım 3: Kök içlerini tek bir kök altında çarpabiliriz.
√(18 ⋅ 2) = √36
Adım 4: √36 tam kare bir sayıdır.
Sonuç: 6
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Kareköklü sayılarla ne kadar çok alıştırma yaparsan o kadar pekiştirirsin. Takıldığın başka bir nokta olursa çekinmeden sorabilirsin. Başarılar dilerim!