Merhaba sevgili öğrencim! Seninle bu güzel matematik sorularını birlikte inceleyip, adım adım çözeceğiz. Cebirsel ifadeler konusu biraz dikkat gerektirir ama mantığını kavradığında bulmaca çözmek kadar zevklidir. Hazırsan başlayalım!
11. Soru ve Çözümü
Soru: Uzun kenarının uzunluğu 16 cm, kısa kenarının uzunluğu 12 cm olan yandaki ABCD dikdörtgeninin ortasına şekildeki gibi bir KLMN dikdörtgeni çizilmiştir. KLMN dikdörtgeninin kenarları ABCD dikdörtgeninin kenarlarına eşit uzaklıkta olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi KLMN dikdörtgeninin alanını veren bir cebirsel ifadedir?
Çözüm:
Bu soruda bizden istenen, içteki küçük dikdörtgenin (KLMN) alanını bulmamızdır. Bunun için önce KLMN dikdörtgeninin kenar uzunluklarını bulmalıyız.
- Adım 1: Büyük dikdörtgenin (ABCD) kenarlarını inceleyelim. Şekilde dikey kenar (uzun kenar) 16 cm, yatay kenar (kısa kenar) 12 cm olarak verilmiş.
- Adım 2: İçteki KLMN dikdörtgeninin kenarlarına bakalım. Şekilde görüldüğü gibi, içteki dikdörtgenin kenarları dıştakinden her iki taraftan da “a” cm kadar içeride.
Yani;
KLMN’nin Kısa Kenarı (Yatay): Dış kenar 12 cm idi. Sağdan “a” ve soldan “a” çıkarırsak:
12 – a – a = (12 – 2a) cm olur.
KLMN’nin Uzun Kenarı (Dikey): Dış kenar 16 cm idi. Üstten “a” ve alttan “a” çıkarırsak:
16 – a – a = (16 – 2a) cm olur. - Adım 3: Şimdi KLMN dikdörtgeninin alanını hesaplayalım. Dikdörtgenin alanı kısa kenar ile uzun kenarın çarpımıdır.
Alan = (16 – 2a) . (12 – 2a) - Adım 4: Bu çarpma işlemini dağılma özelliği kullanarak yapalım:
16 . 12 = 192
16 . (-2a) = -32a
(-2a) . 12 = -24a
(-2a) . (-2a) = +4a² - Adım 5: Şimdi bulduğumuz terimleri toparlayalım:
4a² – 32a – 24a + 192
Benzer terimleri (-32a ve -24a) toplarsak:
4a² – 56a + 192 sonucuna ulaşırız.
Cevap: Doğru seçenek A şıkkıdır.
12. Soru ve Çözümü
Soru: Uzun kenarının uzunluğu (2m+1) cm, kısa kenarının uzunluğu (m+3) cm olan dikdörtgen şeklindeki duvara, bir kenar uzunluğu (m–2) cm olan kare şeklinde 2 çerçeve yan yana asılmıştır. Duvardaki boş kısmın alanını gösteren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Boş kısmın alanını bulmak için; tüm duvarın alanından, asılan çerçevelerin toplam alanını çıkarmamız gerekir.
- Adım 1: Önce duvarın toplam alanını bulalım.
Duvar Alanı = (Uzun Kenar) . (Kısa Kenar)
Duvar Alanı = (2m + 1) . (m + 3)
Dağılma özelliğini kullanalım:
2m . m = 2m²
2m . 3 = 6m
1 . m = m
1 . 3 = 3
Toplarsak: 2m² + 7m + 3 (Duvarın Alanı) - Adım 2: Şimdi çerçevelerin alanını bulalım. Çerçeveler kare şeklinde ve bir kenarı (m-2) cm.
Bir Çerçevenin Alanı = (m – 2)²
(m – 2)² = m² – 4m + 4 (Tam kare açılımı)
Duvarda 2 tane çerçeve olduğu için bu alanı 2 ile çarpıyoruz:
Toplam Çerçeve Alanı = 2 . (m² – 4m + 4) = 2m² – 8m + 8 - Adım 3: Son olarak boş alanı bulmak için çıkarma işlemi yapalım.
Boş Alan = (Duvar Alanı) – (Toplam Çerçeve Alanı)
Boş Alan = (2m² + 7m + 3) – (2m² – 8m + 8)
(Dikkat! Çıkarma işleminde ikinci parantezin önündeki eksi işareti, parantez içindeki tüm işaretleri değiştirir.)
= 2m² + 7m + 3 – 2m² + 8m – 8 - Adım 4: Benzer terimleri işleme sokalım:
(2m² – 2m²) + (7m + 8m) + (3 – 8)
0 + 15m – 5
Sonuç: 15m – 5
Cevap: Doğru seçenek B şıkkıdır.
13. Soru ve Çözümü
Soru: Uzun kenarının uzunluğu 2a santimetre, kısa kenarının uzunluğu a santimetre olan dikdörtgen şeklindeki bir kâğıt, aşağıda görüldüğü gibi üst üste katlanarak bir kare elde ediliyor. Elde edilen kareden, bir kenarının uzunluğu b santimetre olan kare kesiliyor. Kalan kâğıt açıldığında alanı kaç santimetrekare olur?
Çözüm:
Bu tip sorularda kâğıt katlandığında oluşan kat sayısına dikkat etmek çok önemlidir.
- Adım 1: Başlangıçtaki kâğıdın alanını hesaplayalım.
Uzun kenar: 2a, Kısa kenar: a
Toplam Alan = 2a . a = 2a² - Adım 2: Kâğıt tam ortadan ikiye katlanıyor. Bu durumda elimizde 2 katlı bir kâğıt oluşur.
- Adım 3: Katlanmış haldeki bu kâğıttan bir kenarı “b” olan bir kare kesilip atılıyor.
Kesilen karenin alanı = b . b = b²
Ancak dikkat etmelisin! Kâğıt 2 katlı olduğu için, biz bir makas darbesiyle aslında üst üste duran 2 tane kare parçasını kesip atmış oluyoruz.
Yani toplamda eksilen alan = 2 . b² = 2b² - Adım 4: Kalan alanı bulmak için başlangıçtaki alandan, eksilen toplam alanı çıkarırız.
Kalan Alan = (Başlangıç Alanı) – (Kesilen Toplam Alan)
Kalan Alan = 2a² – 2b² - Adım 5: Seçeneklere baktığımızda bu ifadeyi çarpanlarına ayrılmış halde görüyoruz.
Önce “2” ortak parantezine alalım:
2(a² – b²)
Parantez içindeki (a² – b²) ifadesi iki kare farkıdır ve (a – b)(a + b) şeklinde açılır.
Sonuç: 2(a – b)(a + b)
Cevap: Doğru seçenek D şıkkıdır.