8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Ada Yayınları Sayfa 25

Merhaba sevgili öğrencilerim! Bugün sizlerle birlikte matematik alıştırmalarından birkaç soru çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!

ALIŞTIRMALAR

1. Aşağıdaki doğal sayıların en büyük ortak bölenlerini bulunuz.
a. 80, 120
b. 54, 90
c. 105, 168

Bu soruda bizden iki sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) bulmamız isteniyor. EBOB’u bulmak için sayılarımızı asal çarpanlarına ayırıp, ortak olan asal çarpanların en küçük üslülerini alıp çarpmamız gerekiyor.

a) 80 ve 120

• 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 = 2⁴ x 5
• 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 2³ x 3 x 5

Ortak olan asal çarpanlar 2 ve 5’tir. En küçük üsleri alırsak 2³ ve 5¹ olur.

EBOB(80, 120) = 2³ x 5 = 8 x 5 = 40

b) 54 ve 90

• 54 = 2 x 3 x 3 x 3 = 2 x 3³
• 90 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 x 3² x 5

Ortak olan asal çarpanlar 2 ve 3’tür. En küçük üsleri alırsak 2¹ ve 3² olur.

EBOB(54, 90) = 2 x 3² = 2 x 9 = 18

c) 105 ve 168

• 105 = 3 x 5 x 7
• 168 = 2 x 2 x 2 x 3 x 7 = 2³ x 3 x 7

Ortak olan asal çarpanlar 3 ve 7’dir. En küçük üsleri alırsak 3¹ ve 7¹ olur.

EBOB(105, 168) = 3 x 7 = 21

2. 300 ve 420 sayılarının kalansız bölen en büyük doğal sayıyı bulunuz.

Bu soru da aslında ilk sorunun aynısı. Bizden 300 ve 420 sayılarının en büyük ortak bölenini (EBOB) bulmamız isteniyor. Yine asal çarpanlarına ayırma yöntemini kullanacağız.

• 300 = 2 x 2 x 3 x 5 x 5 = 2² x 3 x 5²
• 420 = 2 x 2 x 3 x 5 x 7 = 2² x 3 x 5 x 7

Ortak olan asal çarpanlar 2, 3 ve 5’tir. En küçük üsleri alırsak 2², 3¹ ve 5¹ olur.

EBOB(300, 420) = 2² x 3 x 5 = 4 x 3 x 5 = 12 x 5 = 60

3. 36 ve 45 litrelik iki bidon pekmez ile doldur. Bu iki bidonun içindeki pekmezin tamamı en büyük ve eşit ölçüdeki şişelere birbirine karıştırılmadan doldurulacaktır. Doldurma işlemi için en az kaç şişeye ihtiyaç olduğunu bulunuz.

Bu soruda, elimizdeki pekmezleri eşit ve en büyük hacimli şişelere doldurmak istiyoruz. Bu da demek oluyor ki, şişenin hacmi hem 36’yı hem de 45’i tam bölmeli ve bu hacim en büyük olmalı. İşte bu da bize EBOB’u soruyor!

• 36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2² x 3²
• 45 = 3 x 3 x 5 = 3² x 5

Ortak olan asal çarpan sadece 3’tür ve üssü 2’dir.

EBOB(36, 45) = 3² = 9 litre.

Bu, her bir şişenin 9 litre olabileceği anlamına gelir. Şimdi kaç şişe gerektiğini bulalım:

• 36 litrelik bidon için: 36 / 9 = 4 şişe
• 45 litrelik bidon için: 45 / 9 = 5 şişe

Toplam şişe sayısı: 4 + 5 = 9 şişe.

4. Aşağıdaki doğal sayıların en küçük ortak katlarını bulunuz.
a. 18, 30
b. 150, 240
c. 72, 90

Bu soruda bizden iki sayının en küçük ortak katını (EKOK) bulmamız isteniyor. EKOK’u bulmak için de yine asal çarpanlarına ayırma yöntemini kullanacağız, ama bu sefer ortak olmayan asal çarpanları da en büyük üsleriyle alıp çarpacağız.

a) 18 ve 30

• 18 = 2 x 3 x 3 = 2 x 3²
• 30 = 2 x 3 x 5

Ortak olan asal çarpanlar 2 ve 3. Ortak olmayan asal çarpan ise 5. En büyük üsleri alırsak 2¹, 3² ve 5¹ olur.

EKOK(18, 30) = 2 x 3² x 5 = 2 x 9 x 5 = 18 x 5 = 90

b) 150 ve 240

• 150 = 2 x 3 x 5 x 5 = 2 x 3 x 5²
• 240 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 2⁴ x 3 x 5

Ortak olan asal çarpanlar 2, 3 ve 5. En büyük üsleri alırsak 2⁴, 3¹ ve 5² olur.

EKOK(150, 240) = 2⁴ x 3 x 5² = 16 x 3 x 25 = 48 x 25 = 1200

c) 72 ve 90

• 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2³ x 3²
• 90 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 x 3² x 5

Ortak olan asal çarpanlar 2 ve 3. Ortak olmayan asal çarpan ise 5. En büyük üsleri alırsak 2³, 3² ve 5¹ olur.

EKOK(72, 90) = 2³ x 3² x 5 = 8 x 9 x 5 = 72 x 5 = 360

5. Dairesel pistte koşan Hale 10, Aydın 16 dakikada turlarını tamamlıyor. Koşuya aynı anda, aynı yönde ve aynı yerden başlayan Hale ve Aydın, koşuya başladıktan sonra ilk kez kaç dakika sonra yan yana gelirler?

Hale her 10 dakikada bir başlangıç noktasına geliyor, Aydın ise her 16 dakikada bir. İkisinin birlikte tekrar başlangıç noktasına gelmeleri için geçen süreyi bulmak istiyoruz. Bu, hem 10’un hem de 16’nın ortak bir katı olmalı ve bu kat en küçük olmalı. Yani bizden EKOK(10, 16) isteniyor.

• 10 = 2 x 5
• 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 2⁴

Ortak asal çarpan 2. Ortak olmayan asal çarpan 5. En büyük üsleri alırsak 2⁴ ve 5¹ olur.

EKOK(10, 16) = 2⁴ x 5 = 16 x 5 = 80 dakika.

Yani Hale ve Aydın 80 dakika sonra ilk kez yan yana gelirler.

6. Uzun kenarının uzunluğu 18 cm, kısa kenarının uzunluğu 8 cm olan dikdörtgenleri aralarında boşluk bırakılmadan yan yana ve üst üste koyarak bir kare oluşturmak için en az kaç dikdörtgene ihtiyaç vardır?

Bu soruda, 18 cm ve 8 cm’lik dikdörtgenleri yan yana ve üst üste koyarak bir kare oluşturacağız. Oluşturacağımız karenin bir kenar uzunluğu hem 18’in hem de 8’in katı olmalı ve bu kenar uzunluğu en küçük olmalı. Bu da bize EKOK(18, 8) sorusunu soruyor.

• 18 = 2 x 3 x 3 = 2 x 3²
• 8 = 2 x 2 x 2 = 2³

Ortak asal çarpan 2. Ortak olmayan asal çarpan 3. En büyük üsleri alırsak 2³ ve 3² olur.

EKOK(18, 8) = 2³ x 3² = 8 x 9 = 72 cm.

Bu, oluşturacağımız karenin bir kenarının en az 72 cm olacağı anlamına gelir. Şimdi kaç dikdörtgen gerektiğini bulalım:

• Karenin bir kenarı boyunca kaç tane 18 cm’lik kenar sığar: 72 / 18 = 4 tane
• Karenin diğer kenarı boyunca kaç tane 8 cm’lik kenar sığar: 72 / 8 = 9 tane

Toplam dikdörtgen sayısı = 4 x 9 = 36 tane.

7. Aşağıdaki sayı çiftlerinden aralarında asal olanların önündeki kutucuğu işaretleyiniz.

Aralarında asal sayılar, EBOB’u 1 olan sayılardır. Yani bu iki sayının 1’den başka ortak böleni yoktur.

a) 7 ve 12

• 7’nin bölenleri: 1, 7
• 12’nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Ortak bölenleri sadece 1’dir. Bu yüzden 7 ve 12 aralarında asaldır. İşaretle.

b) 48 ve 49

• 48’in bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
• 49’un bölenleri: 1, 7, 49

Ortak bölenleri sadece 1’dir. Bu yüzden 48 ve 49 aralarında asaldır. İşaretle.

c) 14 ve 63

• 14 = 2 x 7
• 63 = 3 x 3 x 7 = 3² x 7

Ortak bölenleri 7’dir. Bu yüzden 14 ve 63 aralarında asal değildir.

d) 222 ve 315

• 222’yi asal çarpanlarına ayıralım: 222 = 2 x 111 = 2 x 3 x 37
• 315’i asal çarpanlarına ayıralım: 315 = 3 x 105 = 3 x 3 x 35 = 3 x 3 x 5 x 7 = 3² x 5 x 7

Ortak bölenleri 3’tür. Bu yüzden 222 ve 315 aralarında asal değildir.

e) 540 ve 888

• 540 = 54 x 10 = (2 x 3³) x (2 x 5) = 2² x 3³ x 5
• 888 = 8 x 111 = 2³ x 3 x 37

Ortak bölenleri 2 ve 3’tür. Bu yüzden 540 ve 888 aralarında asal değildir.

8. Aralarında asal iki doğal sayının EKOK’u 72 olduğuna göre bu sayıları bulunuz.

İki sayı aralarında asalsa, bu sayıların EKOK’u bu iki sayının çarpımına eşittir. Yani, öyle iki sayı bulmalıyız ki hem aralarında asal olsunlar hem de çarpımları 72 etsin.

72’nin çarpanlarını düşünelim ve aralarında asal olan çiftleri bulalım:

• 72 = 1 x 72 (1 ve 72 aralarında asaldır.)
• 72 = 2 x 36 (2 ve 36 aralarında asal değildir, EBOB=2)
• 72 = 3 x 24 (3 ve 24 aralarında asal değildir, EBOB=3)
• 72 = 4 x 18 (4 ve 18 aralarında asal değildir, EBOB=2)
• 72 = 6 x 12 (6 ve 12 aralarında asal değildir, EBOB=6)
• 72 = 8 x 9 (8 ve 9 aralarında asaldır, EBOB=1)

Bu durumda sayılarımız 1 ve 72 veya 8 ve 9 olabilir.

9. Aralarında asal iki doğal sayının EBOB’u ile EKOK’unun toplamı 649’dur. Sayılardan biri 8 olduğuna göre diğer sayıyı bulunuz.

Sevgili öğrenciler, aralarında asal iki sayının EBOB’u her zaman 1’dir. Soruda bu bilgi bize verilmiş. O zaman:

EBOB + EKOK = 649

1 + EKOK = 649

EKOK = 649 – 1 = 648

Şimdi biliyoruz ki aralarında asal iki sayının EKOK’u, bu iki sayının çarpımına eşittir. Sayılardan biri 8 olarak verilmiş. Diğer sayıyı ‘x’ olarak adlandıralım.

EBOB(8, x) = 1

EKOK(8, x) = 8 * x = 648

Şimdi ‘x’i bulmak için 648’i 8’e bölelim:

648 / 8 = 81

Yani diğer sayımız 81 olmalı.

Şimdi kontrol edelim: 8 ve 81 aralarında asal mı? 8’in çarpanları: 1, 2, 4, 8. 81’in çarpanları: 1, 3, 9, 27, 81. Ortak bölenleri sadece 1. Evet, aralarında asallar.

Diğer sayımız 81‘dir.

Umarım bu çözümlerimiz anlaşılır olmuştur. Aklınıza takılan bir yer olursa çekinmeden sorun lütfen! Başarılar dilerim!

25