Merhaba sevgili öğrencim,
Harika bir çalışma kağıdı! “Çarpanlar ve Katlar” konusu, matematiğin temel taşlarından biridir ve bu konuyu iyi anlaman ilerideki konular için sana çok yardımcı olacak. Gel şimdi bu soruları birlikte, adım adım ve anlayarak çözelim. Sanki sınıftaymışız gibi düşün, takıldığın yer olursa tekrar tekrar okuyabilirsin.
***
1. Yanda verilen çarpan ağacındaki boş kutucuklara gelmesi gereken sayıları yazınız.
Çarpan ağacı, bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmanın en eğlenceli yollarından biridir. Ağacın en tepesindeki sayıdan başlayıp dalları takip ederek aşağıya doğru ilerleyeceğiz.
Adım 1: En tepede 20 sayısı var. 20, dallarından birinde 2‘ye ayrılmış. Düşünelim, 2 ile neyi çarparsak 20 eder? Tabii ki 10! O zaman ilk boş kutucuğumuz 10 olmalı.
20 = 2 x 10
Adım 2: Şimdi ağacın alt katına bakalım. Soldaki 2 zaten bir asal sayı olduğu için dalı daha fazla uzamaz, bu yüzden altındaki kutuya yine 2 yazarız. Sağ tarafta ise az önce bulduğumuz 10 sayısı var. 10’un dallarından birinde 2 yazıyor. 2 ile neyi çarparsak 10 eder? Elbette 5! O zaman son boş kutucuğumuz da 5 olmalı.
10 = 2 x 5
Sonuç: Ağacın en altındaki sayılar (2, 2 ve 5) 20’nin asal çarpanlarıdır. Kontrol edelim: 2 x 2 x 5 = 20. Harika!
Boş kutucuklara sırasıyla 10, 2 ve 5 sayıları gelmelidir.
***
2. Aşağıda verilen sayılardan asal sayı olanların önündeki kutucuğa ✓, olmayanların önündeki kutucuğa X koyunuz.
Önce hatırlayalım: Asal sayı neydi? 1’den büyük, sadece 1’e ve kendisine bölünebilen sayılardı. Bu tanımı aklımızda tutarak sayıları tek tek inceleyelim.
- 53: Bu sayıyı 1 ve 53 dışında bölebilen başka bir sayı var mı diye düşünelim. 2, 3, 5, 7 gibi sayılara bölünmüyor. O zaman 53 bir asal sayıdır. Kutucuğa ✓ koyuyoruz.
- 101: 101 de aynı şekilde 1 ve kendisinden başka bir sayıya bölünmez. Bu yüzden 101 bir asal sayıdır. Kutucuğa ✓ koyuyoruz.
- 111: Bu sayıya dikkat! Rakamlarını toplayalım: 1 + 1 + 1 = 3. Rakamları toplamı 3’ün katı olduğu için bu sayı 3’e tam bölünür (111 / 3 = 37). Kendisinden ve 1’den başka böleni olduğu için asal sayı değildir. Kutucuğa X koyuyoruz.
- 71: 71 sayısı da sadece 1’e ve 71’e bölünür. Bu yüzden 71 bir asal sayıdır. Kutucuğa ✓ koyuyoruz.
- 39: Rakamlarını toplayalım: 3 + 9 = 12. 12, 3’ün katı olduğu için 39 sayısı 3’e tam bölünür (39 / 3 = 13). Bu yüzden asal sayı değildir. Kutucuğa X koyuyoruz.
- 97: 97, iki basamaklı en büyük asal sayıdır. Sadece 1’e ve kendisine bölünür. Bu yüzden 97 bir asal sayıdır. Kutucuğa ✓ koyuyoruz.
***
3. Kenar uzunlukları birer asal sayı olan bir dikdörtgenin alanı 65 cm² ise çevresinin uzunluğu kaç santimetredir?
Bu soruyu çözmek için dikdörtgenin alan ve çevre formüllerini hatırlamalıyız.
Adım 1: Alanı kullanarak kenarları bulalım.
Dikdörtgenin alanı, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımına eşittir. Bize alanın 65 cm² olduğu söylenmiş. Yani, çarpımları 65 olan iki sayı bulmalıyız. Ayrıca soruda önemli bir ipucu var: bu kenar uzunlukları birer asal sayı olmalı!
65’in çarpanlarını düşünelim: 1 x 65 ve 5 x 13.
Bu çarpan çiftlerinden hangisinde her iki sayı da asaldır?
- 1 ve 65: 1 asal değildir, 65 de 5’e bölündüğü için asal değildir. Bu olamaz.
- 5 ve 13: 5 bir asal sayıdır. 13 de bir asal sayıdır. İşte aradığımız kenarlar bunlar!
Demek ki dikdörtgenimizin kenar uzunlukları 5 cm ve 13 cm imiş.
Adım 2: Çevreyi hesaplayalım.
Dikdörtgenin çevresi, bütün kenarlarının toplamıdır. Formülü: Çevre = 2 x (kısa kenar + uzun kenar).
Çevre = 2 x (5 + 13)
Çevre = 2 x (18)
Çevre = 36 cm
Sonuç: Dikdörtgenin çevresi 36 santimetredir.
***
4. Δ3 iki basamaklı bir asal sayıdır. Buna göre Δ yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır?
Burada Δ yerine gelebilecek rakamları (1’den 9’a kadar) tek tek deneyerek oluşan sayının asal olup olmadığını kontrol edeceğiz.
- Δ = 1 ise sayı 13 olur. 13 asaldır. (Δ=1 olabilir)
- Δ = 2 ise sayı 23 olur. 23 asaldır. (Δ=2 olabilir)
- Δ = 3 ise sayı 33 olur. 33, 3’e bölünür.
Asal değildir. - Δ = 4 ise sayı 43 olur. 43 asaldır. (Δ=4 olabilir)
- Δ = 5 ise sayı 53 olur. 53 asaldır. (Δ=5 olabilir)
- Δ = 6 ise sayı 63 olur. 63, 3’e ve 7’ye bölünür.
Asal değildir. - Δ = 7 ise sayı 73 olur. 73 asaldır. (Δ=7 olabilir)
- Δ = 8 ise sayı 83 olur. 83 asaldır. (Δ=8 olabilir)
- Δ = 9 ise sayı 93 olur. 93, 3’e bölünür.
Asal değildir.
Adım 1: Δ yerine gelebilecek rakamları bulduk: 1, 2, 4, 5, 7, 8
Adım 2: Şimdi bu rakamları toplayalım.
1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 = 27
Sonuç: Δ yerine yazılabilecek rakamların toplamı 27‘dir.
***
5. 54 ve 90 sayılarının ortak doğal sayı bölenlerini yazınız.
İki sayının ortak bölenlerini bulmanın en garantili yolu, bu sayıların En Büyük Ortak Bölen’ini (EBOB) bulmaktır. Çünkü bütün ortak bölenler, aynı zamanda EBOB’un da bölenleridir.
Adım 1: 54 ve 90’ın EBOB’unu bulalım.
Bunu asal çarpan algoritması ile yapalım:
54 90 | 2* (ikisini de böldü)
27 45 | 3* (ikisini de böldü)
9 15 | 3* (ikisini de böldü)
3 5 | 3
1 5 | 5
1 1
İkisini de bölen sayıları (yanına * koyduklarımızı) çarpalım: EBOB(54, 90) = 2 x 3 x 3 = 18.
Adım 2: EBOB’un bölenlerini bulalım.
Şimdi 18’in bölenlerini (çarpanlarını) bulalım. Bunlar aynı zamanda 54 ve 90’ın ortak bölenleridir.
18’in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Sonuç: 54 ve 90 sayılarının ortak doğal sayı bölenleri 1, 2, 3, 6, 9 ve 18‘dir.
***
6. 50 ve 60 sayılarının 0’dan büyük 1000’den küçük doğal sayı olan ortak katlarını yazınız.
Bu sefer de ortak katları bulmamız isteniyor. Bunun için de önce En Küçük Ortak Kat’ı (EKOK) bulmalıyız. Diğer bütün ortak katlar, EKOK’un katları olacaktır.
Adım 1: 50 ve 60’ın EKOK’unu bulalım.
Yine asal çarpan algoritmasını kullanalım:
50 60 | 2
25 30 | 2
25 15 | 3
25 5 | 5
5 1 | 5
1
Sağdaki tüm asal sayıları çarpalım: EKOK(50, 60) = 2 x 2 x 3 x 5 x 5 = 300.
Adım 2: EKOK’un katlarını bulalım.
Şimdi 300’ün katlarını yazalım ve 1000’den küçük olanları seçelim.
300 x 1 = 300
300 x 2 = 600
300 x 3 = 900
300 x 4 = 1200 (Bu 1000’den büyük olduğu için alamayız.)
Sonuç: 50 ve 60’ın 0’dan büyük 1000’den küçük ortak katları 300, 600 ve 900‘dür.
***
7. 120 litrelik ve 150 litrelik tanklardaki suyun tamamı karıştırılmadan eşit hacimli bidonlara konmak isteniyor. Kullanılacak bidonların hacimleri kaç litrelik olamaz?
Bu bir EBOB problemidir. Çünkü büyük tanklardaki suları, hiç artmayacak şekilde daha küçük ve eşit hacimli bidonlara paylaştırıyoruz. Bu demek oluyor ki, bidonun hacmi hem 120’yi hem de 150’yi tam olarak bölebilen bir sayı olmalı. Yani 120 ve 150’nin bir ortak böleni olmalı.
Şıklardaki sayıların hangisinin 120 ve 150’nin ortak böleni olmadığını bulmalıyız.
- A) 6
120 ÷ 6 = 20 (Tam bölünüyor)
150 ÷ 6 = 25 (Tam bölünüyor)
6, ikisini de böldüğü için bidon hacmi 6 litre olabilir. - B) 8
120 ÷ 8 = 15 (Tam bölünüyor)
150 ÷ 8 = 18,75 (Tam bölünmüyor!)
8, 150’yi tam bölmediği için bidon hacmi 8 litre olamaz. - C) 10
120 ÷ 10 = 12 (Tam bölünüyor)
150 ÷ 10 = 15 (Tam bölünüyor)
10, ikisini de böldüğü için bidon hacmi 10 litre olabilir. - D) 15
120 ÷ 15 = 8 (Tam bölünüyor)
150 ÷ 15 = 10 (Tam bölünüyor)
15, ikisini de böldüğü için bidon hacmi 15 litre olabilir.
Sonuç: Kullanılacak bidonların hacmi 8 litre olamaz. Doğru cevap B şıkkıdır.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Unutma, matematik bol bol pratik yaparak öğrenilir. Başarılar dilerim