Merhaba sevgili öğrencim! Ben Türkçe, Matematik, Fen Bilimleri, İngilizce ve Sosyal Bilimler öğretmeninim. Bugün seninle Pisagor bağıntısı konusunu pekiştireceğiz. Gönderdiğin “ALIŞTIRMALAR” sayfasındaki soruları tek tek, senin için en anlaşılır şekilde çözeceğim. Hazırsan başlayalım!
Pisagor Bağıntısı Nedir? Bir dik üçgende, dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün (90 derecenin karşısındaki kenar) uzunluğunun karesine eşittir. Yani; a² + b² = c².
1. Aşağıda üçgenlerde verilen uzunluklara göre |AC|, |DF| ve |KM| nun kaç santimetre olduklarını bulunuz.
Bu soruda bizden dik üçgenlerde verilmeyen en uzun kenarı (hipotenüsü) bulmamız isteniyor.
a. Çözümü:
Burada dik kenarlar 7 cm ve 24 cm. Hipotenüs olan |AC| kenarını bulacağız.
- Adım 1: Pisagor bağıntısını kuralım: 7² + 24² = |AC|²
- Adım 2: Kareleri alalım: 49 + 576 = |AC|²
- Adım 3: Toplama işlemini yapalım: 625 = |AC|²
- Adım 4: Hangi sayının karesi 625 eder? Bu özel bir üçgendir (7-24-25 üçgeni).
- Sonuç: |AC| = 25 cm
b. Çözümü:
Burada dik kenarlar 24 cm ve 32 cm. Hipotenüs olan |DF| kenarını bulacağız.
- Adım 1: Bu sayılar biraz büyük olduğu için özel üçgen katlarına bakabiliriz. 3-4-5 üçgenini hatırla.
- Adım 2: Kenarları inceleyelim:
24 = 3 x 8
32 = 4 x 8 - Adım 3: Gördüğün gibi bu üçgen 3-4-5 üçgeninin 8 katı büyüklüğündedir. O zaman hipotenüs de 5’in 8 katı olmalıdır.
- Adım 4: |DF| = 5 x 8
- Sonuç: |DF| = 40 cm
Not: İstersen uzun yoldan 24² + 32² = 576 + 1024 = 1600; √1600 = 40 şeklinde de bulabilirsin.
c. Çözümü:
Burada dik kenarlar 14 cm ve 20 cm. Hipotenüs olan |KM| kenarını bulacağız.
- Adım 1: Pisagor bağıntısını kuralım: 14² + 20² = |KM|²
- Adım 2: Kareleri alalım: 196 + 400 = |KM|²
- Adım 3: Toplama işlemini yapalım: 596 = |KM|²
- Adım 4: Her iki tarafın karekökünü alalım. |KM| = √596
- Adım 5: 596 sayısını çarpanlarına ayıralım: 596 = 4 x 149
- Sonuç: |KM| = 2√149 cm
2. Aşağıda kenar uzunluklarının ölçüleri verilen üçgenlerin dik üçgen olup olmadıklarını bulunuz.
Bir üçgenin dik üçgen olması için, en kısa iki kenarın kareleri toplamının, en uzun kenarın karesine eşit olması gerekir.
a. Çözümü:
Kenarlar: 10 cm, 15 cm ve 5√13 cm. En uzun kenarı bulmak için 5√13’ün yaklaşık değerine bakalım veya karesini alalım. (5√13)² = 25 x 13 = 325. 15’in karesi 225. Demek ki en uzun kenar 5√13.
- Adım 1: 10² + 15² = ? (Acaba eşit mi 325’e?)
- Adım 2: 100 + 225 = 325
- Adım 3: En uzun kenarın karesi de 325 idi.
- Sonuç: 325 = 325 olduğu için bu bir DİK ÜÇGENDİR.
b. Çözümü:
Kenarlar: 9 cm, 20 cm ve 25 cm.
- Adım 1: En küçük iki kenarın karelerini toplayalım: 9² + 20²
- Adım 2: 81 + 400 = 481
- Adım 3: En uzun kenarın karesine bakalım: 25² = 625
- Sonuç: 481 sayısı 625’e eşit değildir. Bu yüzden bu bir DİK ÜÇGEN DEĞİLDİR.
c. Çözümü:
Kenarlar: 18 cm, 24 cm ve 30 cm.
- Adım 1: Bu sayılar 6 ile sadeleşebilir mi?
18 ÷ 6 = 3
24 ÷ 6 = 4
30 ÷ 6 = 5 - Adım 2: Bu kenarlar 3-4-5 üçgeninin 6 katıdır. 3-4-5 üçgeni her zaman dik üçgendir.
- Sağlaması: 18² + 24² = 324 + 576 = 900. 30² = 900.
- Sonuç: Eşitlik sağlandığı için bu bir DİK ÜÇGENDİR.
3. Kısa kenarının uzunluğu, uzun kenarının uzunluğunun yarısına eşit olan bir dikdörtgenin köşegen uzunluğu 10 cm’dir. Bu dikdörtgenin çevresinin uzunluğunun kaç santimetre olduğunu bulunuz.
Bu bir problem sorusu. Adım adım denklemi kuralım.
- Adım 1: Dikdörtgeni hayal et. Bir kısa kenarı, bir uzun kenarı ve bunları birleştiren bir köşegeni var. Bu şekil bir dik üçgen oluşturur.
- Adım 2: Kısa kenara x diyelim. Uzun kenar, kısa kenarın iki katı olacağı için (çünkü kısa kenar uzun kenarın yarısıymış) uzun kenara 2x diyelim.
- Adım 3: Pisagor bağıntısını uygulayalım:
x² + (2x)² = 10² - Adım 4: Denklemi çözelim:
x² + 4x² = 100
5x² = 100
x² = 20 - Adım 5: x’i bulalım (Kısa kenar):
x = √20 = 2√5 cm (Kısa Kenar) - Adım 6: Uzun kenarı bulalım (2x):
2 x 2√5 = 4√5 cm (Uzun Kenar) - Adım 7: Çevreyi hesaplayalım. Çevre = 2 x (Kısa Kenar + Uzun Kenar)
Çevre = 2 x (2√5 + 4√5)
Çevre = 2 x (6√5) - Sonuç: 12√5 cm
4. Aşağıda koordinatları verilen noktalar arasındaki uzaklığı Pisagor bağıntısı yardımıyla bulunuz.
Koordinat sisteminde iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için, noktalar arasında hayali bir dik üçgen oluştururuz.
a. L ve K Noktaları Arasındaki Uzaklık:
L noktası (-5, -2) ve K noktası (2, 5) koordinatlarındadır.
- Adım 1: Yatay uzaklığı (dik üçgenin alt kenarı) bulalım. x değerleri arasındaki fark:
-5’ten 0’a 5 birim, 0’dan 2’ye 2 birim. Toplam: 5 + 2 = 7 birim. - Adım 2: Dikey uzaklığı (dik üçgenin yan kenarı) bulalım. y değerleri arasındaki fark:
-2’den 0’a 2 birim, 0’dan 5’e 5 birim. Toplam: 2 + 5 = 7 birim. - Adım 3: Pisagor bağıntısını uygulayalım (|LK| uzaklığına h diyelim):
7² + 7² = h²
49 + 49 = h²
98 = h² - Adım 4: h = √98. Bunu sadeleştirelim (49 x 2).
- Sonuç: 7√2 birim
b. M ve N Noktaları Arasındaki Uzaklık:
Grafiğe bakarak koordinatları belirleyelim: M noktası (-2, 3) ve N noktası (6, 1).
- Adım 1: Yatay uzaklığı bulalım (x ekseni boyunca):
-2’den 6’ya kadar olan mesafe. |-2| + 6 = 2 + 6 = 8 birim. - Adım 2: Dikey uzaklığı bulalım (y ekseni boyunca):
3 ile 1 arasındaki fark. 3 – 1 = 2 birim. - Adım 3: Pisagor bağıntısını uygulayalım (|MN| uzaklığına d diyelim):
8² + 2² = d²
64 + 4 = d²
68 = d² - Adım 4: d = √68. Bunu sadeleştirelim. 68 sayısı 4 x 17 demektir.
- Sonuç: 2√17 birim
Umarım çözümler senin için açıklayıcı olmuştur. Anlamadığın bir yer olursa sormaktan çekinme. Matematik, adım adım ilerlediğinde çok zevkli bir ders haline gelir. Başarılar dilerim!